轨迹、路径类综合练习（提优）-2026年中考数学几何专项复习（解析版）

中考撤号

轨迹、路径类综合练习（提优）

一.选择题

1.如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm,在容器内壁离容器底部的点8

处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm的点/处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行

的最短路径为2（）C7〃，则该圆柱底面周长为（）

A.12cmB.14cMC.2QcmD.24cm

【分析】将容器侧面展开，建立4关于EG的对称点H,根据两点之间线段最短可知HB的长度即为

所求.

【解答】解：如图：将圆柱展开，EG为上底面圆周长的一半，

作力关于E的对称点4,连接A'B交EG于R则蚂蚊吃到蜂蜜需爬行的最短路径为/的长，即//+4P

=A'B=20cmt

延长8G,过4作/fO_L〃G于D,

•:AE=A'E=DG=4cm,

：.BD=\bcm.

RtAJ'DB+,由勾股定理得：A,D=V'202-162=12c/w,

・•・则该圆柱底面周长为24c”.

故选：

【点评】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计

算是解题的关键.同时也考查了同学们的创造性思维能力.

中考撤号

2.半圆柱底面直径4C是高力8的两倍，甲虫在半圆柱表面匀速爬行，若沿着最短路径从8经£到。（E

是上底面半圆中点），则甲虫爬行过程中离下底面的高度〃与爬行/之间的关系用图象表示最准确的是

【分析】平面展开图如图所示，根据两点之间线段最短可知，甲虫的最短路线是8-然后在圆柱的上

底面上，沿线段行走即可，此时甲虫离下底面的高度〃不变.由此即可判断.

【解答】解：平面展开图如图所示，根据两点之间线段最短可知，甲虫的最短路线是4-E,然后在圆柱

的上底面上，沿线段QE行走即可，此时甲虫离下底面的高度，不变.

B-----------------------C

由题意力£＞力从所以在甲虫到达E之前，离卜底面的高度*是逐渐升高，图形比较缓，

故选：D.

【点评】本题考兖平面展开-最短路径问题，函数图象等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学

知识解决问题.

3.棱长分别为80〃，6。"的两个正方体如图放置，点4,B,E在同一直线上，顶点G在棱8C上，点尸是

棱小K的中点.一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点力爬到点P,它爬行的最短距离是（）

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A.(3书+10)cmR.5413cmC.0211cmD.(248+3)cm

【分析】求出两种展开图0/I的值，比较即可判断.

【解答】解：如图，有两种展开方法：

方法一：PA=<142+92=y/277cm,

故需要爬行的最短距离是河皿.

故选：C.

【点评】本题考查平面展开-最短问题，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题

型.

4.如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中48=8c，〃，BC=4cm,BF=6c〃],点M在棱力B上,且4M=

2cm，点N是产G的中点，一只蚂蚁要沿着长方形盒子的外表面从点M爬行到点N,它需要爬行的最短

路程为()

A.1OcmB.C.6及cmD.2

【分析】利用平面展开图有3种情况，画出图形利用勾股定理求出MN的长即可.

【解答】解：如图1中，MN="N2+FM2=皿2+22=2庖(cm),

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丁长方体的宽为10,高为20,点B离点C的距禽是5,

/.BD=CD+BC=10+5=15,AD=20,

在直角三角形力4。中，根据勾股定理得：

：.AB=、归。2+402=25；

只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图:

•・•长方体的宽为10，高为20,点4离点。的距离是5,

ABD=CI>rBC=20+5=25,JD=10,

在直角三角形力4。中，根据与股定理得：

：.AB=\BD2+AD2=7l02+252=5相；

只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图:

—

__________

20D10C

图3

•・•长方体的宽为10,高为20,点〃离点C的距离是5,

：,AC=CCHAD=20+\0=30,

在直角三角形力8C中，根据勾股定理得：

:.AB=+BC?=^302+52=；

•••25V5招V5面，

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，蚂蚁爬行的最短距离是25,

故选：B.

【点评】本题考查的是平面展开-最短路径问题，勾股定理，根据勾股定理求解是解答此题的关键.

6.如图，在矩形片8c。中，AB=35/。=9,点尸是边上的一个动点，连接8P,将矩形48CO沿

BP折叠，得到△小P8,连接山C,取小。的三等分点0（。0＜小。），当点尸从点力出发：沿边4。运

动到点。时停止运动，点。的运动路径长为（）

A.nB.班乃C.空兀D.%

33

【分析】如图，连接力小，在8C取一点0,使得OC=；4c连接。。，BD.利用三角形的中位线定理

证明。。=\"=定值，推出点。的运动轨迹是以O为圆心，O0为半径的圆弧，圆心角为120。，即可

解决问题.

【解答】解:如图，连接/小，在4c取一点O,使得。C=g9C,连接00,BD.

•・•四边形/8CZ）是矩形，

：,ZBAD=90°,

9「

AtanZ.ABD=36=避,

；・430=60°,

•••小0=2。。，BO=2OC,

••CQ__CO__1

==,

•CAlCB3

：,OQ//BA},

・••△COQsACBAi，

中考核等

OQCQ1

••布=丽=9

11

：,OQ=-BA}=QAB=\'3,

・••点。的运动轨迹是以。为圆心，。。为半径的圆弧，圆心角为180°-2ZCOQ=\20°,

:,点Q的运动路径长=12°；曾3=宇7T

1803

故选：D.

【点评】本题考查轨迹，矩形的性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,

属于中考常考题型.

7.如图，是的直径，弦AB//MN,点C是直径上方半圆上的动点（包括端点A/,N）,ZACB

=60°,N4C4和NC48的平分线相交于点E,当点C从点”运动到点N时，则C,七两点的运动路径

「3；5

A.&B.-C.2D.匚

z2

【分析】如图，连接04,EB.设OM=L证明/力以=120。，利用弧长公式计算即可解决问题.

【解答】解：如图，连接04,E8.设

VZJCT=60°,

作△/E8的外接圆OJ,连接力，JB,OJ交AB于H.

当点C在点M的位置时，N4W8=60°,点七在点£的位置处，而点£在M/上，

当点C到点N的位置时，N4U8=60°,点E在点炉的位置处，而点?在N/上，

而MG=N7,OM=ON=OJ,

:.NMJN=90°

90•7T-r1

・••点£在。，上运动，运动路径的长二—^―二不入

loUZ

•・•点。的运动路径的长=m-，

1

AC,E两点的运动路径长的比值=m,:^rrr=2：1,

故选：C.

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【点评】本题考查弧长公式，圆周角定理，三角形的内心等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找点

的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题.

8.如图，正方形/18CN＞的边长为3,将长为2小的线段。尸的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动.如

果点。从点力出发，在上滑动，同时点尸在8c上滑动，当点尸到达点。时，运动停止，那么在这

个过程中，线段Q厂的中点必所经过的路线长为（）

【分析】求出两种特殊位置时，/ABM,/CBM\的值，利用弧长公式求解即可.

【解答】解：如图，连接8W.

当点0与力重合时，在中,

AB3S

-：cosZBAF=—=^=-.

；・NB4F=30°,

:,BM=AM=MF=5

：.ZABM=ZBAM=30Q,

当Fl与C重合时,同法可得4％5C=NM|C8=30°,

•••/Z8C=9(T,

Z.=90°-30°-30°=30°,

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•:BM=BMi=、氏

・•・线段。尸的中点M所经过的路线长==劣,

1806

【点评】本题考查轨迹，正方形的性质，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识

解决问题.

二.填空题

9.如图，长方体的棱/出长为3,棱4C长为4,棱4b长为2,。为CG中点，一只蚂蚁从点4出发，在长

那么它爬行的路程是二&

【分析】画出图形，利用勾股定理求出/P的长即可.

【解答】解：如图1,IP=〃C2+CP2=J(3+4)2+(2+2)2=5”,

B

图1

故它爬行的路程是5点.

故答案为:5M.

【点评】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，画出图形是解题关键.

10.如图.长方体的底面是边长2”?的正方形，高为6cm.如果从点力开始经过4个侧面缠绕2圈到达8,

那么所用细线最短需要，通

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【分析】如果从点如果从点力开始经过4个侧面缠绕2倦I到4点B,相当于直角三角形的两条直角切分

别是8和3,再根据勾股定理求出斜边长即可二

【解答】解：将长方体的侧面沿月4展开，取，夕的中点C,取力〃的中点C',连接夕C',AC,

则/C+E'C为所求的最短细线长，

t：AC2=AA,2+JzC2,AC=、园m,

:・B'C2=BB'2+Cf&=73,

.,.夕C'~-\/73(cm),

：,AC+BlC=2^73(cm),

答：所用细线最短长度是2灰cm,

故答案为：2、雨.

【点评】本题考查了平面展开-最短路线问题和勾股定理的应用，能正确画出图形是解此题的关键，用

了数形结合思想.

11.如图所示，X8C。是长方形地面，长A8=20〃?，宽AD=10m.中间竖有一堵砖墙高MN=2〃?.一只蚂

蚱从力点爬到。点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走26m的路程.

【分析】连接4C,利用勾股定理求出力C的长，再把中间的墙平面展开，使原来的矩形长度增加而宽度

不变，求出新矩形的对角线长即可.

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【解答】解：如图所示，将图展开，图形长度增加2MM

原图长度增加4米，则/8=20+4=24〃?，

连接AC,

:四边形"CQ是长方形，AB=24m,宽4D=10m,

'.AC=7AB2+BC2=+102=、，676=26m,

・•・蚂蚱从A点爬到C点，它至少要走26m的路程.

故答案为：26m.

【点评】本题考查的是平面展开最短路线问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此题的关键.

12.一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为15cm的圆盘，如图所示，居与CD

是水平的，8C与水平面的夹弁为60°,其中NB=60c〃?，C£）=40cw,BC=40cm,那么该小朋友将圆盘

从A点滚动到D点，其圆心所经过的路线长为（140・16落+5n）cm.

【分析】根据题意，知圆心所经过的路线的长度为线段0Q的长度+线段。|。2的长度+圆弧：）03的长度+

线段SQ的长度.

可以得出圆盘滚动过程中圆心走过的路线由线段。。1，线段。|。2，圆弧003,线段。3。4四部分构

成.

其中O]E_L/出，O\FLBC.O2C±BC,O3CA.CD,O4DLCD.

由（1）知。Oi=4E=（60-5\/3）cm,

易得RtAOi5f和RtAOi5F全等，

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:.BF=BE=5书cm,

：・O\O2=BC-BF=(40-5/)cm.

YABHCD,8c与水平夹角为60°,

AZBCD=120°.

又•••/。2。3=/。3。£>=90°,

••・/。2。。3=6()°.

则圆盘在。点处滚动，其圆心所经过的路线为圆心角为60°且半径为15c〃?的圆弧003.

60•7T•15

：・。2。3的长=Ton=5nc掰.

1oU

•・•四边形0QOC是矩形，

。3。4=CD=40c/〃.

综上所述，圆盘从4点滚动到D点，其圆心经过的路线长度是(60-5、8)+(40-5^/3)+5n+40=(140

-10\/3+5n)cm.

故答案为(140-I丽+5TT).

【点评】本题考查了弧长公式，切线的性质，切线长定理,解直角三角形等知识，综合性较强.解题的

关键是画圆心的轨迹图，进而理解圆心所走的路线是由哪几段组成的.

13.如图，平面直角坐标系中，一个点从原点。出发，按向右一向上~向右一向下的顺序依次不断移动，

每次移动1个单位，其移动路线如图所示，第1次移到点小，第二次移到点42,第三次移到点43,…，

第〃次移到点4,则点力2019的坐标是一(1010，1).

【分析】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，可先得下标为4的倍数的点的坐标A4(2,0),J8

(4,0)…，发现横坐标为下标的一半，从而可得出点力2019的坐标.

【解答】解:A\(1,0),A2(1,1),A3(2,1),A4(2,0),A5(3,0),A6(3,1),

2019+1

；22OI9的坐标为(，I),

却点力2019的坐标为<1010,1),

故答案为：(1010，1).

【点评】本题主要考查点的坐标的变化规律，解题的关键是根据图形得出下标为4的倍数时对应长度即

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为下标的一半，据此可得.

14.如图，。。的半径为5,弦/山=6,弦］。，弦40,点。为。。的中点，若点。在圆上逆时针运动的

5

路径长为”，则点P运动的路径长为7T.

【分析】如图，连接。1,OB,AD,OP,OD,过点。作于〃.证明0△C7Y）（力力S）,

推出0月=力"=3,推出点尸的运动轨迹是以。为圆心，0Q为半径的圆，求出点。旋转的角度即可解决

问题.

【解答】解：如图，连接。4,OB,AD,OP,OD,过点。作0〃_L48于凡

H

•；ACLBD,

：.ZDAC+ZADB=90°,

VZDOC=2ZDAC,N4OB=2NADB,

.•・NOOC+N〃M=I8()°,

'.'OH-LAB,DP=PC,

：,OPLCD,AH=HB=~AB=3,

'：OA=OB=OC=OD,

：.4A0H=/BOH,ZCOP=乙DOP,

ZAOH+ZCOP=90°,

VZAOH+ZOAH=90°,

^ZCOP=ZOAH,

VZAHO=ZCPO=90<>,OA=OC,

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：./\OlIA^ACPO(AAS),

：.OP=AH=3,

・•・点夕的运动轨迹是以。为圆心，OP为半径的圆，

5

•・•点D在圆上逆时针运动的路径长为不，设圆心角为〃，

n-7T•55

**180=3IT，

・・・〃=60°,

,：OD,O尸的旋转角度相等，

60•7T•3

・•・点P的运动路径的长==71.

1loqUn

故答案为：TC.

【点评】本题考查轨迹，垂径定理，全等三角形的判定和性质，弧长公式等知识，解题的关键是学会添

加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

15.如图，在矩形48CQ中，AB=V13,4)=3,点尸是4。边上的一个动点，连接8P,作点力关于直线8P

的对称点4,连接小C,设小C的中点为0，当点尸从点/出发，沿边力。运动到点。时停止运动，

IO-

点Q的运动路径长为_养.

【分析】如图，连接4小，取8C使得中点O,连接OQ,BD.利用三角形的中位线定理证明。。=号=

定值，推出点。的运动轨迹是以。为圆心，。。为半径的圆弧，圆心角为120°,即可解决问题.

【解答】解：如图，连接历h，取4C使得中点O,连接。。，BD.

APD

•・•四边形/8CQ是矩形，

:.NBAD=%0,

AD

tan/ABD==

AB

AZABD=60°,

中考撤号

••Z|Q=0C，BO=OC,

115

OQ=QBA、=-AB=芋

・••点。的运动轨迹是以。为圆心，。。为半径的圆弧，圆心角为120°,

巨/Q

・••点Q的运动路径长=12：8；芯=争.

故答案为小T.

3

【点评】本题考查轨迹，矩形的性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,

属于中考常考题型.

三.解答题

16.如图，长方体的长48=5s〃，宽BC=4cm,高力E=6CTM,三只蚂蚁沿长方体的表面同时以相同的速度

从点《出发到点G处.蚂蚁甲的行走路径S甲为：翻过棱石，后到达G处(即4蚂蚁乙的行

走路径S乙为：翻过棱£产后到达G处(即/一M-G),蚂蚁丙的行走路径S内为：翻过棱B产后到达G

处(即4-N-G).

(1)求三只蚂蚁的行走路径S甲，S乙，S丙的最小值分别是多少？

(2)三只蚂蚁都走自己的最短路径，请判断哪只最先到达？哪只最后到达？

【分析】(1)将长方体展开，根据勾股定理解答即可得到结论；

(2)根据(1)中的结论，比较三只蚂蚊的行走路径S甲，S乙，S丙的大小，即可得到结论.

【解答】解：(1)•长48=5皿，宽BC=4cm,高4£=6。〃，

:.EF=AB=5cm,CF=BC=EH=4cm,AE=BF=CG=6cm,

・•・S甲=+EF)2耳CF2=^/Tl24-42=、面(cm)

S乙=+E")2+GH?=4IO?+52-,125=5瓢(cm),

S丙=\+Be)」+"2=^92+62=17(cm),

答：三只蚂蚁的行走路径S甲，S乙,S内的最小值分别是Ji币c〃?，5&cm,V117cm：

(2)由(1)矢H,5甲=、口37(cm),S乙=5，5(cm),S丙=17(cm),

中考撤号

vV137>Vi25>VH7>

・•・蚂蚁丙最先到达，蚂蚁甲最后到达.

【点评】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用勾股定理进行计算是解题的关

腺

17.（I）根据所给的条件，求图1中8c边的长度.

（2）如图2所示，圆柱形玻璃容器，ISJ18cw,底面周长为60c〃?，在外侧距卜底lew,点S处有一蜘蛛，

与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处\cm的点尸处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛,

所走的最短路线的长度.（画出相应图形，并解答）

【分析】（1）利用勾股定理进行计算，即可得出4C的长；

（2）把立体图形展开为平面图形，根据两点之间线段最短，利用勾股定理即可解决问题.

【解答】解：（1）由题可得，口△48。中，BC=y!AB2-AC2=7172-82=15：

（2）如图是圆柱的侧面展开图，线段ST就是苍蝇走的最短路线，

1

在RtZXS^N中，'：/SNF=W,F；V=18-2=16,SN=；x60=30,

:・SF=\SN2+NF2=/。2+162=34{cm）.

・••蜘蛛所走的最短路线的长度为34cm

----------------1---------------

/尸

/：

S/一一二N

【点评】本题考查了平面展开-最短路径问题、勾股定理等知识，解题的关键是根据题意把立体图形展

开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径.一般情况是两点之间，线段最短.在平面图形上构造直

角三角形解决问题.

18.如图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，一个蚂蚁在图1中的4点,

围成图2后，蚂蚁从.4点开始沿正方体的棱爬行，求爬到8点的最短距离是多少？

中考撤号

图1

【分析】根据正方体的平面展开图与正方形的关系，正确找到点力、8的位置即可解决问题.

【解答】解：将图1中的小正方形围成图2的止方形后，点,4、8对应的位置如图，

图2

---

图1

所以蚂蚁从点4开始沿正方体的棱爬行，爬到B点的最短距离是1.

【点评】本题考查正方体平面展开图，最短问题等知识，把展开图围成正方体是解题的关键，属于中考

常考题型.

19.如图,一只杯子的上下底面分别是直径为5cm和7.5c/«的圆,母线48的长为15aH.

（1）求杯子的侧面积.

（2）从点4出发，绕着杯子两圈画一条装饰线，终点为力，求装饰线的最短长度.

nrc•0A

【分析】（1）将纸杯的侧面展开，设NO的度数是〃，则根据弧长的计算公式，可得7.5n=-^—，5n

loU

nrr・（0/1—15）一

=----------，解得O4=45s〃，〃=30°,最后求得纸杯的侧面展开图的面积；

loU

（2）将两个纸杯的侧面展开图拼接在一起，根据两点之间线段最短，并运用勾股定理，求得装饰线的最

短长度即可.

【解答】解：（1）纸杯的侧面展开如图所示：

中考撤号

延长力8,48,交于点O,

设NO的度数是〃，则

nn-OAnn•(OZ-15)

75n=180'5n=

解得：OA=45cm,n=30°,

J80=45-15=30。〃，

307r•452307r302375

・••纸杯的侧面展开图的曲积为：――———=—7T(。〃2)；

3603604

(2)如图所示，将两个纸杯的侧面展开图拼接在一起，连接8Q,则8。的长度是装饰线的最短长度.

O

过B作BE上OD于E,则RtZXBOE中，09=30,NBOE=6D0,

；・OE=15cni,BE=15/皿

：.DE=45-15=30(cm),

2222

：.在RSDE中，8。=\BE+DE=J(15x/3)+30=15^7(cm).

故装饰线的最短长度为15A斤cm.

【点评】本题考查了平面展开-最短路线问题，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等知识点的综

合运用，画出平面展开图，作辆助线构造扇形是解答此题的关键.

20.如图，四边形力AHK是边长为6的正方形，点C,。在边上，且/C=O8=1,点P是线段。。上

的动点，分别以AP,P8为边在线段4B的同侧作正方形4WVP和正方形欧QP,E,F分别为MN,QR

为中点，连接£*凡设E肝的中点为G,求当点。从点C运动到点。时，点G移动的路径长.

中考撤号

【分析】取K〃的中点〃，连接44ET,AT,PE,PF,PT,BF,TF.想办法证明四功形PCM是平行

四边形，推出GP=GT,推出G的运动轨迹是△TCO的中位线，由此即可解决问题.

【解答】解：取KH的中点"，连接4E,ET,AT,PE,PF,PT,BF,TF.

：,AM=MN,/AMN=900

,:ME=EN,

AM

.*.777=2,

ME

•・•四边形月是正方形,

:・AK=KH,ZK=90°,

•:KT=TH,

AK

：，KT=2t

.AMAK

，*'ME=~KTt

AMME

，，~AK=~KT，

•・・4ME=/K=90°,

・•・△AMES/\AKT,

:.NMAE=NKAT,

：.A.E.7共线，

同理可证：B,凡r共线,

中考撤号

AMPQ

*ME~QF~Z，

AMME

,,PQ=QF'

VZA\fE=ZPQF=90Q,

・•・XAMES^PQF,

：.ZAEM=NPFQ,

*：AB//MN//QR,

：.ZPAE=NMEA,NBPF=NQFP,

：,NBPF=NP4E,

：.PF//AT,

同法可证：PE//BT,

...四边形PETF是平行四边形，

・•・£〃与尸7互相平分，即TG=GP,

・・・G的运动轨迹是△7CO的中位线，轨迹的长=.CQ=；（6・2）=2.

【点评】本题考查轨迹，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理等知识，解题

的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考压轴题.

21.如图，△力EC是一块直角三角板，且NC=90°,ZA=30°,现将圆心为点。的圆形纸片放置在三角

板内部.

（1）如图①，当圆形纸片与两直角边4C、8c都相切时。，试用直尺与圆规作出射线CO；（不写作法与

证明，保留作图痕迹）

（2）如图②，将圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动1周，回到起点位置时停止，若BC=9,圆形纸

片的半径为2,求圆心。运动的路径长.

图①图②

中考撤号

【分析】(1)作N4C4的平分线得出圆的一条弦，再作此弦的中垂线可得圆心O,作射线CO即可;

(2)添加如图所示辅助线，圆心。的运动路径长为6OOQ,先求出△/14C的三边长度，得出其周长,

证四边形Of。。1、四边形Oi3，G、四边形OO2//7均为矩形、四边形OECF为正方形，得出/。0。2=

60°=AABC,/。|0。2=90"，从而知△OQ。2s/XCB人利用相似三角形的性质即可得出答案.

【解答】解：(1)如图①所示，射线CO即为所求；

A

(2)如图,圆心如的运动路径长为Cz\00102,

图②

过点O］作O|Q_L8C、O{FYAC.O\GVAB,垂足分别为点。、F、G,

过点。作O£_L4C,垂足为点£,连接3从

过点。2作O2“~U3,O2/-LAC,垂足分别为点〃、/,

在RtZ\<8C中，ZACB=90c、ZJ=30°,

BCl

：.AC=~~—=^=9V3>45=240=18，N4BC=60°，

tan300玄

:.C^ABC=9+9A/3+18=27+9、氏

中考撤号

'：O\DLBC.O\G1.AB,

G为切点，

:.BD=BG,

在RtAOi5D和Rt△d8G中,

..CBD=BG

•10避二0/'

•••△OiBO之ZXQBG(HL),

：.ZO[BG=ZO[BD=30°,

在RtZ\Q4。中，NQQ4=9()°,NQ8Q=30°,

OiD£-

,•8O=^^=W=2、J3

・・・。0=9-2-2次=7-2曲,

•：O1D=OE=2,OyDVBC,OE工BC,

：・O\D〃OE,且O]O=OE,

・•・四边形OEDOi为平行四边形，

VZOED=90°,

，四边形OEQOi为矩形，

同理四边形。1。2〃6、四边形。。2用、四边形OEC/为矩形,

又OE=OF,

・•・四边形OEC户为正方形，

•••NO|G〃=NCQO|=90°,/力8C=60°,

：.ZGOiD=\20°,

又•・•/")]£)=NO2OIG=9()°,

・・・/001。2=360°-90°-90°-120°=60°=NABC,

同理，NQOO2=90°,

•••△OOGs/XCB/L

.C^oo1o2。1。20△。。1。27—2y/3

••—,KIJ__—，

C^ABCBC27+9X(39

.'"△OOQ=I5+、G,即圆心。运动的路径长为15+A/3.

【点评】本题主要考查作图-复杂作图、切线的判定与性质、矩形和正方形的判定与性质及相似三角形

中考撤号

的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质、矩形和正方形的判定与性质及相似三角形的判定与性质是

解题的关键.

22.如图，是。。的直径，M,N是俞（异于点B）上的两点，点C是点上的一动点，N4C8的平

分线交。。于点力，力。的平分线交C力于点£

（I）试探究。E与的数量关系，证明你的结论；

（2）设。。的半径为「，当点C在从点M运动到点N时，点C的运动路径长为4，点上的运动路

径长为/2,求m的值.

42

【分析】（1）结论：AB=*DE.想办法证明即可解决问题.

（2）如图2中，设0。的半径为广，4MON=a.连接OM,ON,OD.由。/=。石，推出点E的运动轨

迹是图中E'R,证明NMON=ga,利用弧长公式，解决问题即可.

【解答】解：（1）如图1中，结论：AB"2DE.

理由：连接40,BD.

图1

，；CD平分NACB,

・•・/ACD=NBCD,

AD=BD,

:・AD=BD,

•・・力4是直径，

，NACB=NADB=90°,

中考撤号

/.ZACD=ZDAB=45a,

•・1£平分NC/14,

：.NCAE=NB4E,

,?ZAED=NCAE+NACE,NDAE=NBAD+NBAE,

/.ZDAE=NAED,

；・AD=DE,

•・•△48。是等腰直角三角形，

:.AB=WAD,

：,AB=避DE.

(2)如图2中，设。。的半径为厂，ZMON=a.连接OM,ON,OD.

图2

；DA=DE,

••点E的运动轨迹是图中E'E〃，

：OM=ON=OD,

•・ZODM=ZOMD,ZODN=ZOND,

\ZOMD+ZODM+ZODN+ZOND=2(ZODN+ZODM)=2/MON,

1

ZMON=~乙a,

arc-r_：•a?r•扬_an.扬

,•h=h=--------------=-----------

180'180360

a/r•r

h_180

T=art-<2r=、份.

360

【点评】本题考查轨迹，圆周角定理，弧长公式，等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和

性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型.

中考撤号

23.如图，把RtZX/lBC的斜边川！?放在直线L上，按顺时针方向在£上转动两次使它转到△。以'的位置，

设BC=®AC=\,则点A运动到点D的位置时，点A经过的路线长是多少？点A经过的路线与直线L

所围成的面积是多少？

【分析】先根据特殊角的三角函数值得出N48C的度数，进而可得出的度数，由勾股定理求出力3

的长，根据弧长公式及扇形的面积公式即可得出结论.

【解答】解：・・・1C=G，AC=\,

A。1lo_______

tanZABC=TTT=不=,AB—+（73）2=2,

AZJ5C=30°,

：・NCBF=150°,

150TTx290TTX1137r

・•・点力经过的路线长=----------+----------=-----

1801806

150TTx490nx1237r

・••点A经过的路线与直线L所围成的面积=----------+=

360-----360------12

【点评】本题考查的是轨迹，熟记弧长公式和扇形的面积公式是解答此题的关键.

24.如图，力用为。。的直径，且48=4,点。在半圆上，OCL4B,垂足为点O,P为半圆上任意一点（不

与点C重合），过P点作PE_L0C于点E,设△OPE的内心为连接OM、PM.

（1）求NOMP的度数；

（2）当点P在半圆上从点8运动到点力时，求内心M所经过的路径长.

【分析】（1）先判断出NM0P=N〃0C,4MPO=/MPE,再用三角形的内角和定理即可得出结论；

（2）分两种情况，当点M在扇形8OC和扇形4。。内，先求出NCMO=135°,进而判断出点M的轨

迹，再求出/0。。=90°,最后用弧长公式即可得出结论.