函数与方程（解析版）-高中数学必修第一册题型考点突破

第12讲函数与方程

【知识点总结】

1、函数的零点与方程的解

（1）函数零点的概念

对于一般函数/（£），我们把使"工）=0的实数X叫做函数），=的零点.

（2）函数零点与方程实数解的关系

方程/（"=0有实数解u函数），=/"）有零点u函数），=/（力的图象与x轴有公共点.

（3）函数零点存在定理

如果函数），=/（"在区间句上的图象是一条连续不断的曲线，且有

那么,函数），=/（»在区间（〃力）内至少有一个零点，因存在cw（a,b）,使得f（c）=O,这

个c也就是方程/（"=0的解.

2、二分法

（1）对于在区间m，加上连续不断且/®）/s）＜（）的函数），=f（x）,通过不断把函数

的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值

的方法叫做二分法.

（2）对于给定精确度〜利用二分法求函数/（幻零点近似值的步骤如下：

①确定区间3佥证/（a）/S）＜0,给定精确度£；

②求区间（4,勿的中点C；

③计算/（c）；

a.若/（c）=0,则c就是函数的零点；

b.若/（a）/（c）＜0,则令b=c（此时零点/w（〃，c））；

c.若＜0,则令a=c（此时零点/€（c,b））.

④判断是否达到精确度£,即：若则得到零点近似值a（或〃）；否则重复

【解题技巧】

1、若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则/（外至多有一个零点.

2、连续不断的函数/3）,其相邻的两个零点之间的所有函数值同号.

3、连续不断的函数/（幻通过零点时，函数值不一定变号.

4、连续不断的函数/（x）在闭区间［a,b］上有零点,不一定能推出/（a）/（b）v0.

题型考点一：求函数的零点或零点所在区间

l,x>0

例1.(2023•新疆乌鲁木齐•统考三模)定义符号函数sgru=・0,x=0,则方程fsgnx=fx-6

-l,x<0

的解是()

A.2或-6B.3或-6C.2或3D.2或3或-6

【答案】D

【解析】依题意，当x>0时，方程才，;丘1=5工-6为：x2=5x-6，解得x=2或x=3,因此

x=2或工=3，

当x=0时，方程.Fsgnx=5x-6为：0=5x-6,解得工=5，于是无解，

当XV。时，方程fsgiu=5x-6为：-X2=5x-6»解得工=-6或x=l,因此x=-6,

所以方程Jsgnx=5x6的解是x=2或％=3或x=-6.

故选：D

例2.(2023・北京•高三统考学业考试)函数/(X)=1-1的零点是()

A.-2B.-IC.1D.2

【答案】C

【解析】令/(力=1=0,则x=l；

故选：C.

例3.(2023・全国•高三专题练习)已知.%是函数/*)=2'+；一的一个零点，若

\-x

大£0田),七£(%+8),则()

A./(X))<0,/(x,)<0B./(X])<0,/(%)>0

C./(x,)<0D./(-v,)>0,/(-r2)>0

【答案】B

因为.是函数巾)=2、占的一个零点，则/是函数)，*与)，=占的交点的

【解析】

下方，即/(内)<0；

当9w(xo，+oc)时，>=2、在)，=一二上方，即/(9)>0,

X-I

故选；B

变式1.(2023・全国•模拟预测)设函数/(力=^一,一4〃£1<,则()

A.若/(%)在区间(-2,-1)和(-1,0)都有零点，则在区间(0,1)也有零点

B.若/")在区间(-2,-1)和(-1,0)都有零点，则在区间(0,1)没有零点

C.若/(x)在区间(-2,-1)和(-1,0)都没有零点，则在区间(0,1)有零点

D.若在区间(-2,-1)和(-1,0)都没有零点，则在区间(0,1)也没有零点

【答案】A

【解析】去绝对值可得=

e-x+a,x>a

xMa时,r(x)=e'+l>0,因此函数在(YOM］单调递增；

时，,f(x)=ev-l.

(i)a«0»)时,因此尸(x)在(a,+oo)单调递增.

当lva<e+l时，/(0)=1-«<0,/(l)=e+l-«>0,因此在区间(0,1)有零点，且在区间

和(-1,0)都没有零点；

当〃>e+l时，/⑴<0,故在区间(—2,—1),(—1,0)和(0,1)者瞰有零点，故C选项和D选项

均错误.

(ii)a«YO,0)时，令/。)=。得与=(),因此函数在区间m0)单调递减，在(0,+的单调

递增.

/（O）=H-«,/（a）=ew＞OJ（-l）=e-,-|«4-l|,/（-2）=e-2-|«+2|

当a«T,O）时,/（O）＞OJ（-l）=e-,-（«+l）,/（-2）=e-2-（«+2）.

（1）时，在区间（T,a）存在唯一零点，而在区间没有零点.

（2）。£[-1产一1）时，f（.r）在区间（—1,0）没有零点.

当a«_2,T）时，/（0）＜0,/（-l）=e-'+（«+!）,/（-2）=e-2-（^+2）,/（l）=e-1+f/.

①，«-1一厂,-1）时，/（-2）/（-1）＜0,/（-1）/（0）＜0,因此在区间（—2,-1）和（-1,0）都有零

点，此时”0）/。）＞0,故在区间（0,1）也有零点.

②ae（-8,-l-e-[时，/（X）在区间（一1,0）没有零点.

综上所述，本题正确答案是A.

故选：A

变式2.（2023.甘肃金昌.永昌县第一高级中学统考模拟预测）已知凡是函数

f(x)=-x+4的一个零点，若不e(%,+R),则()

A.%£(2,4)B./(x,)>/(x2)

C./(x,)<0,/(x,)<0D./(x,)>0,/(x2)>0

【答案】B

【解析】函数y在区间（2,+m）上单调递减，函数产7+4在区间（2,+8）上单调递减,

故函数f（x）=g）-x+4在区间（2,+8）上单调递减,

又f⑵＞0J（3）＞0J（4）＞0J（5）＜0,

所以小«4,5）,

因为/（毛）=°，€（2,^）,x,e（x0,+oo）,

由单调性知/（内）＞0,/（电）＜0,即/（%）＞八毛）.

故选：B

jr*—5X＜—2

变式3.（2023・北京•统考模拟预测）已知函数一’二,若方程/。）=1的

xlg（x+2）/＞-2

实根在区间（A，A+l）«eZ上，则k的最大值是（）

A.-3B.-2C.1D.2

【答案】C

【解析】当时，/"）=/—5,当/。）=1时，解得工=_6；

当x>—2时，/（x）=xlg（x+2）,其中〃l）=lg3vl,/（2）=2lg4=lgl6>l,

当〃x）=l时，解得x«l,2）,综上人的最大值是1.

故选：C.

变式4.（2023・全国•高三专题练习）函数/"）=Jx+x-3的零点所在区间是（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

【答案】B

【解析】/⑴在口也）上单调递增，

/（l）=-l<0,/（2）=V2-l>0,

所以的零点在区间（1,2）.

故选：B

【方法总结】

求函数f（x）零点的方法：

（1）代数法，即求方程/（x）=0的实根，适合于宜因式分解的多项式；（2）几何法，

即利用函数）=/（X）的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数.

题型考点二：利用函数的零点确定参数的取值范围

例4.（2023・全国•高三专题练习）函数/（x）=V-公+a-1有两个不同的零点的一个充分不

必要条件是（）

A.a=3B.a=2C.a=1D.a=0

【答案】A

【解析】/（力=1-1-。（％-1）=（4-1乂/+工+1-。），则1是/（力的一个零点，

则“X）有两个不同的零点有两种情形：

①1是方程f+x+l-4=0的根，

则l+l+l-a=O,即4=3,此时方程Y+x-2=O有1,-2两个根，

故/“）有1，-2两个不同的零点；

②1不是方程42+犬+1_。=（）的根，则方程/+犬+1_.=0有两个相同的实数根，

则△=l-4（l-a）=0,得〃='，此时V+x+1=0,

故/(x)有i,一万两个不同的零点；

综上，函数/(x)=V—依+。—1有两个不同的零点，贝h=3或

所以。=3是/(力有两个不同的零点的一个充分不必要条件，

故选：A.

X+2x~+x,x>0

例5.(2023・辽宁大连•大连二十四中校考模拟预测)已知函数/(x)=・,若

-2x,x<0

函数g(x)=〃x)-收-44(&eR)恰有4个零点，则女的取值范围()

A.(3,-1)=(2技+°°)B.石”(。，2)

C.(-OO,0)J(0,2+2>/2)D.(-oo,0)J(2+2x/5,+oo)

【答案】D

【解析】当xNO,/(x)=M+2f+x,贝lj,(工)=3/+4]+1,

因为式之()，/'(%)=3/+4x+l>0,

所以当xNO时，/J)单调递增，

若函数g(”="X)-&-甸，(攵GR)恰有4个零点，

则/(力=收一4区有四个根,

即y=/(x)与尸〃(幻=同一4目有四个交点，

当k=0时，y=/(x)与产|-4田=川山图象如下：

两图象只有两个交点，不符合题意，

当A<()时，尸收_甸与x轴相交与两点玉=0与七=(区<K)图象如下:

当x时，函数.丫=收-甸的函数值为

KK

24

当x时，函数），=-2x的函数值为

KK

所以两图象有四个交点，符合题意，

4

当上＞0时，丁=收_4可与x轴相交与两点N=0与七=工。2＞%）

图象如下:

4

在［0,：）内两图象有两个交点，所以若有四个交点，

k

只需要），=丁+2入二+工与9=收-4.在（孑+00）内还有两个根,

因为所以丁=|去2-4耳=丘2-4x,

4

所以有炉+2V+%=kx2-4x在（：,茁）内还有两个根，

k

4

即kx2=炉+2./+5%在（7,”）内还有两个根，

K

54

所以在％=工+—+2在（二,内0内还有两个根，

xk

因为）,=x+,+2之2石+2（当且仅当工=百时，取等号），

x

所以?＜不且〃＞2后+2,解得女＞2班+2,

综上所述，上的取值范围为(-00.。川(2逐+2,+8).

故选：D.

lnx+x»x>1

例6.(2023•黑龙江•高三校联考开学考试)已知函数/(x)=L,m「若

2x--ntx+—,x<l

2

g(x)=/(x)T〃有三个零点，则实数〃?的取值范围是()

A.1/B.(1,2]C.1,；D.[1,3]

【答案】C

【解析】当x>1时，/(x)=lnx+x单调递增且/(”=lnx+x>l,此时身(x)=/(x)-皿至

多有一个零点，

若g(x)=/(x)-，〃有三个零点，则X41时，函数有两个零点；

当人>1时，/(x)-=lnx+x>1,故/〃)1；

当XW1时，要使g(x)=/(x)-〃?=2/-〃有两个零点，

2-in-->0

2

4

所以。vV§,又加>1,

所以实数机的取值范围是

故选：C.

变式5.(2023・全国•高三专题练习)若方程=有两个不同的实数根，则实数〃”勺取

值范围为()

A.(0,+OP)B.(0J]C.(OJ)D.(l,+oo)

【答案】C

【解析】令/(4)=卜-1|，

由于当XV。时，-IveTvO,=且/(/)«0,1)；

当工之。时，ev-l>0,.,./(r)=ev-1,且,f(T)«0,4<c),

作出函数/(X)的图象如图所示,

则当0<〃Y1时，函数/⑴=卜-1|与y=m的图象有两个交点，即方程W-1|=用有两个不

同的实数根，

••・，〃的取值范围是(0,1).

故选：C.

ax2+2ar+l,x<0

变式6.(2023•全国•校联考模拟预测)若函数h6十近。恰有2个零点则

实数。的取值范围为()

A.(-2o,0)u(l,+oo)B.(0,1)C.(-8,1)D.(0,+oo)

【答案】A

【解析】①当。=0时，之o则/(x)只有一个零点。，不符合题意；

②当"0时，作出函数的大致图象，如图1,/‘(”在(ro,0)和［0,内)上各有一个零

点，符合题意；

③当〃〉0时，作出函数/(%)的大致图象,如图2,/(力在［。,+8)上没有零点.

则“X)在(F，())上有两个零点，此时必须满足=解得々>1.

综上，得。<0或a>l.

变式7.(2023・陕西商洛・统考二模)已知函数g(x)=2x-21nx,若函数=g(x)-2m+3

有2个零点，则实数，〃的取值范围是()

11

A.--,+coB.不，+8

【212

(5(5

C.--,+<»D.二，+8

I212

【答案】D

【解析】g(x)定义域为(0，+的，，(％)=2二=生_11,

XX

.•.当xe(O,l)时，g<x)<0；当x«l,+oo)时，g(t)>0；

・•・g(x)在(0,1)上单调递减，在(L+oo)上单调递增；/.g㈤由=86=2,

可得g(x)图象如下图所示，

55

•••/(X)有2个零点，.•.2,〃-3>2,解得：〃小不即实数机的取值范围为5，+8

故选：D.

变式8.(2023.陕西汉中.统考一模)若函数〃*=|1,目-3r的两个零点是〃?,〃，则()

A.mn=\B.nvn>\

C.()<〃z〃<lD.无法判断

【答案】C

【解析】令/(x)=o,则现2司="，如图分别画出y=|iog2H和片最，

两个零点分别设为〃，且函数y二上•单调递减，

3

如图可知，Rog?w|>|log2",-log2/«>log,n,即log2m+log2n=log2nm<0,

所以0vnm<1.

故选：C

【方法总结】

本类问题应细致观察、分析图像，利用函数的零点及其他相关性质，建立参数关系，列

关于参数的不等式，解不等式，从而获解.

题型考点三：方程根的个数与函数零点的存在性问题

例7.（2023・全国•模拟预测）已知函数“X）满足/卜+：）=/1-£|.当xe［0.3）时，

/（A）=2/-1If+I©,则f（x）在［-120,120］上的零点个数为.

【答案】160

【解析】因为函数/（»满足/卜+|）=＞卜一"1）

所以/（x+3）=/（x）,所以/（”的最小正周期为3,

当x«0,3）时，令/（力=〃3—152+14.1=0=工（工一2）（21-7）=0,

解得x=0或x=2,所以当xe［0,3）时，/"）有两个零点，

170

所以“X）在［-120,120］上的零点个数为2x号x2=160个.

故答案为：160.

例8.（2023•浙江•二模）已知函数/3=k一归，则/（/（必=。至多有个实数解.

【答案】7

【解析】由/"）=打一。忖可得/（6之0,由/（/（x））=。知/（0）=。，

当xWa时，/（x）=（a-x）e',/'（耳=3-工一1把“，

当xWa-1时，r(x)＞0,/(x)在(-oo,a-l］单调递增,

当时，/'(戈)＜0,/(X)在单调递减，

x,x

当时，f(x)=(x-a')eff(x)=(x-a+V)e＞01/(x)在(a内)单调递增,

则可作出函数/(司=卜-4金的大致图像如图：

设，=/(x)，则/(/(x))=a即/(i)=a,

则的解的个数问题即为)，=/())=，的交点个数问题，

结合〃力=打一同＜?的图象可知)，=/Q),y=a的交点个数最多是3个，

即为图2个和图3所示情况，

不妨设交点横坐标为中2"3出＜，2＜，3,当如图2所示时，彳＜0冉=0山＞0,

此时八=fM无解，，2=/(X)有1个解，。=f(x)最多有3个解,

故此时最多有4个解；

当如第3个图所示时，。=0,0vq

此时。=/*)有一个解，：2=/。)最多有3个解，，3=/(x)最多有3个解，

故此时最多有7个解；

故答案为：7

例9.(2023.四川・四川省金堂中学校校联考三模)函数“x)=siru-log/的零点个数为

【答案】1

(解析】注意、到1。822=1,在同一坐标系中作出y=siiu与，=log2A的图象,

易知零点个数为1.

故答案为：1.

变式9.(2023•全国•必三专题练习)函数=:+，”0,当x>0时/(x)的零

4x+l,x<0

点个数是_.

【答案】2

[解析]x>0,/,(x)=-2A+2+—=2K+2"+1,

XX

令r(x)=0,x=当时，

22

当乎时，r(x)<0,故在x=L坐处取得极大值，

且“X)在(0,上手'上单调递增，则

(\\12

又/一=-1--^+一<0,/(e)=-e2+2e+l<0,

Ie/ee

则⑴<0，/(I)/(e)<0,且函数在(0,+⑹上连续不间断，

则存在为€(，,1,e(l,e),使得/&)=0,/(七)=0，

所以x>()时，有两个零点.

故答案为：2.

变式10.(2023•全国•模拟预测)已知/("=1号；>°：八则函数

[-X-2x+l,x<0,

)，=4[/(切2_8/(力+3的零点个数是.

【答案】7

【解析】函数)，=4[〃切2-8/3+3的零点即为方程4[〃力了-8/3+3=0的根，解方

程4[731一8/(刈+3=0得〃力=弓或/(力=：.

作出函数y=/(x)的图像，如图所示.

由图像知直线产a:与)，=/5)的图像有4个交点，直线)，=：1与尸/(力的图像有3个交

点.

因此函数y=4[/(力7-8/(x)+3的零点有7个.

故答案为：7

(x+l)e\x<0

变式11.(2023•北京大兴高三校考开学考试)己知函数/("二则函数f(x)

ev-2X2,X>0

的零点个数为.

【答案】3

【解析】当xvO时，/(A)=(x+l)er=0,解得％=-1；

当X之0时，/(x)=ev-Zr2=0得/=2x2,

易得〃2)=/-8<0,

作出函数>=d，)=2/的图象，如图，

所以，结合指数函数与制函数性质，函数.尸e,,»，=2/在(0,+8)有两个交点,

所以当“NO时，/(x)=e-2V=()有两个实数根,

所以，函数/")的零点个数为3

故答案为：3

州v<0

变式12.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/(%)=｛；%一八，则函数

|lnx\,x>0

网力=尸(力―3/(工)+2零点的个数是.

【答案】6

【解析】令g(i)=O,W/2W-3/(X)+2=0,解得〃力=1或/(力=2,

作出函数/(%)的图象如图，

由图可知，方程〃x)=l有3个实数解，/(x)=2有3个实数解，且均互不相同,

所以，g(x)=0的实数解有6个，

所以，函数g")=/2(x)-3/(力+2零点的个数是6个.

故答案为：6

【方法总结】

方程的根或函数零点的存在性问题，可以依据区间端点处函数值的正负来确定，但是

要确定函数零点的个数还需要进一步研究函数在这个区间的单调性，若在给定区间上是单调

的，则至多有一个零点；如果不是单调的，可继续分出小的区间，再类似做出判断.

题型考点四：嵌套函数的零点问题

例10.(2023•江苏•高三专题练习)设定义在R上的函数/(M=J|KT|,若关于x的方

l,x=l.

程f。)+"3+C=o有3个不同的实数解x,与，与，贝I"]+七+与=.

【答案】3

【解析】作出函数的图象，如图，

若关于X的方程r（A-）+勿㈤+C=0有3个不同的实数解X,乙，当，

则方程尸（x）+V（x）+c=O必有一个根使/"）=1,不妨设为巧,

而另外两根占，七关于直线工=1对称，

于是X+W+S=3.

故答案为：3.

例11.（2023•江西赣州•高三校联考）已知函数/（工）是定义域为R的偶函数，当xNO时，

.2J-4-J_0Vx<2

/3）二2'一一，若关于X的方程力［/"）『+〃・/*）+1=0恰好有7个不同的

log4x,x>2

实数根，那么，〃-〃的值为.

【答案】4

【解析】根据已知部分的函数解析式和偶函数对称性，画/（X）图象如图，令/。）=八则原

方程可化为/〃/+〃・f+1=0,

只需+1=0有两个不等的实数根/、!

由韦达定理可知，^+1=--,^x2=l,解得,〃=：,〃=_?,

22m22m33

故m-n=4.

故答案为：4.

打1_「？r>0

例12.(2023・全国•高三专题练习)设定义域为R的函数/*)=,,-，若关于1

x-+4x+4?x<0

的方程f2(x)-(2m+1)/(A)+"/=o有7个不同的实数解,则m=

【答案】2

【解析】•・•题中原方程/。)-(2〃7+1)/(X)+〃/=O有7个不同的实数根，.••即要求对应于

等于某个常数有3个不同实数解和4个不同的实数解，.••故先根据题意作出的简

图：

由图可知，只有当〃力=4时，它有三个根，故关于

X

的方程f2(x)-(2/n+1)/(A)+/W2=0有一个实数根4,:.42-4-4(2//?+1)+/=0,工6=2或

〃?=6,〃?=6时，方程

「(幻-(2〃?+1)/@)+,〃2=0=/(力一13/(6+36=00/(力=4或/(力=9,有5个不同

的实数根，，根=2.

变式13.(2023.四川成都高三石室中学校考)已知函数/(》)=(,\八,若关于x的

-ex,x<0

方程尸(x)=2研〃"-2］有8个不同的实数解，则整数机的值为.(其中e是

自然对数的底数)

【答案】5

A1.V>()

【解析】因为/G)=x\z所以当x>0时，f(r户-e'・(T)T=eFT=/a),

当xvO时，/(_x)=eT(-x)T=-eT•尸=/(%),即f(x)满足f(t)J(x),则/(x)是偶

函数.

当x>0时，则/")=《，=当工>1时，/^.r)>0,/(x)单调递增；

X

当Ovx<1时，r(x)<0,f(x)单调递减：当T=1时，/(x)niin=e,

作出函数/(.，)的图象，如图所示：

设“力=/次，因为尸卜)=2〃?卜")-2]有8个不同的实数解，

所以由图象可得，关于，的方程/-2〃"+4加=0有2个不同的实数解，且都大于e,

A=-16m>02

所以有《〃?>e,解得4</〃<二一，

e2-2me+4m>02e4

又因为5VM<6’所以整数制的值为5,

故答案为：5.

变式14.(2023•江苏扬州•高三扬州中学校考)已知函数/(刈=|1/2卜-1||,若关于x的方程

[”x)F+a./3+〃=()有6个不同的实数解，且最小实数解为-3,则的值为.

【答案】-2

【解析】由题意，作出函数/(x)=|log2|x-l||图象，如图所示：

令，=/(》)=隧2卜-1||,根据图象可知，

关于X的方程[/(x)]2+G/(X)+〃=0有6个不同的实数解，

可转化为关于〔的方程产+〃./+〃=()有2个不同的实数解，

且必有一个解为0,另一个解大于0,所以8=0.

则/+〃“=(),解为八=一。，

所以4=-a=/(—3)=|log;|-3-1||=2,即a=—2.

所以a+b=-2.

故答案为：-2.

2卡-"+|e])

变式15.（2023•山东枣庄高三阶段练习）设定义域为R的函数/"）=《

«=1)，

关于x的方程2/2（.r）_（2a+3）/3+M=U杓五个不同的实数解，则。的取值范围是

33

【答案】(l,-)u(-,2).

2-川+1/>1

【解析】/(x)=L,x=l,所以〃力关于直线x=l对称,

2"'+l,x<I

/(x)在(l,+oo)上递减，El</(x)<2；/(x)在(-oo,l)上递增，jai</(x)<2.

x=1是方程2尸(A)-(2。+3)/(幻+3a=0的根.

令Z=/（X）（XH1）,/£（1,2）,

由于关于X的方程2/2（x）-（2a+3）/（x）+34=0有五个不同的实数解,

所以2『一（加+3）/+3a=0有两个大于1且小于2的不相等的实数根，

令g«)=2/2_(为+3)+3a,

A=(24+3f-240。(2a-3)S0

,2a+3.』w〃v93q

1<-----<2

则4即22，解得」呜)5*2).

g⑴>0a>1

g⑵>0a<2

故答案为：。令5|,2）

4sill7LX;0<A<1

变式16.（2023中肃张掖•高台县第一中学校考模拟预测）已知函数=/

2x-'+x,x>l

若关于x的方程"（刈2-（2-刈/（司+1-根=0恰有5个不同的实数解，则实数机的取值集

合为.

【答案】（―3,-1）

【解析】作出函数“X）的大致图象，如图所示，

令f=/（x）,则"-（2-加）f（x）+1-m=0可化为

r—（2-/??）r+1-7/2=（r-14-/?i）（r-1）=0,

则6=1或，2=।一〃?，

则关于X的方程"（工）］2-（2-m）/（汇）+1-〃7=0恰有5个不同的实数解

等价于t=/（x）的图象与直线t=tvt=t2的交点个数之和为5个,

由图可得函数/=/（»的图象与直线f=A的交点个数为2,

所以/=/（"的图象与直线，=，2的交点个数为3个，

即此时解得一3v〃z<-l.

【方法总结】

1、涉及几个根的取值范围问题，需要构造新的函数来确定取值范围.

2、二次函数作为外函数可以通过参变分离减少运算，但是前提就是函数的基本功要扎

实.

题型考点五：函数的对称问题

例13,（2023•全国•高三专题练习）若不同两点P、。均在函数），=/（"的图象匕且点尸、

Q关于原点对称，则称（?Q）是函数），=/（"的一个“匹配点对”（点对（P,Q）与x=（）视为同

一个'‘匹配点对”).已知=恰有两个“匹配点对”，则。的取值范围是()

2av2,x<0

【答案】B

[解析】函数y=2av2a<0)的图象关于原点对称的图象所对应的函数为)，=-2ad[x>0),

/(x)的图象上恰好有两个，匹配点对”等价于函数y=二(.120)与函数y=-2ax-(x>0)有两

e

个交点，

即方程-2/=—。>。)有两个不等式的正实数根，

e

即-2〃=「*>())有两个不等式的正实数根，

即转化为函数仪刈==("。)图象与函数y=-2a图象有2个交点.

e

V

当Ovxvl时,g'(x)>0,g(x)单调递增.

当x>l时，g'(x)<0,g(x)单调递减.且xfO时，g(x)-O,戈->田时，g(x)-O

所以g(x)Mg⑴=1

e

所以g(x)=?*>0)图象与函数y=-2a图象有2个交点.

e

例14.(2023♦黑龙江哈尔滨•高一哈尔滨三中校考期中)若函数旷=/(幻图象上存在不同的

两点A,8关于y轴对称，则称点对［A4］是函数y=/（x）的一对“黄金点对”（注：点对［4用

3,,x<0

与［&A］可看作同一对“黄金点对”）.已知函数/（幻=<*+4工，0"K4,则此函数的

x2-10x+24,x>4

“黄金点对''有（）

4.0对B.I对C.2对D.3对

【答案】D

【解析】由题意，不妨设46%）,8（-%,%）且小>0,

①当0</《4时，-/2+4/=3i，即/为y=_/+以与y=3-在（0,4］的交点的横坐标,

如下图：

故此函数在（。，4］的“黄金点对”有2对；

②当%>4时，嫣-10%+24=3f，而为"/一必+为与y=3-x在（4,田）的交点的横坐

标，如下图：

故此函数在（4,+8）的“黄金点对”有I对,

综上所述，此函数的“黄金点对”有3对.

故选：Q.

例15.（2023•山东德州•高一德州市第一中学校考期末）若函数图象上不同两点M,N关

于原点对称，则称点对［M.N］是函数/（X）的一对“姊妹点对”（点对［M,N］与［MM］看作同

px—1x<（）

一对“姊妹点对''），已知函数J八，则此函数的“姊妹点对”有（）

x--2x,x>0

A.0对B.1对C.2对3对

【答案】B

［解析】根据题意可得/（A）的“姊妹点对"数即为），="-1（XV0）与

），=—［（f『-2（r）］二—f一2.》<0）的图象的交点个数，

画出两个函数的图象如下：

由图可得两个函数的图象有1个交点，即此函数的“姊妹点对”有I对.

故选：B.

变式17.（2023・全国•高三专题练习）若N为函数/（“）图象上的两个不同的点，且M,N

两点关于原点对称，则称点对（M,N）为函数“幻的一个“配合点对”（点对（M,N）与点

x2+2cx+m-\,x^,0

2

对（MM）为同一“配合点对”）.现给定函数/（幻二,e（e为自然对数的

X4--,X>0

X

底数），若函数/（X）的图象上恰有两个“配合点对”，则实数〃?的取值范围是（）

A.nt.e+\B.w<（e-l）2C./?/,,e2D.m..e2+1

【答案】B

【解析】函数.y=/+2ex+，〃-1QW0）的图象关于原点对称的图象所对应的函数为V=

-x2+2e.r-m+l（x>0）

〃幻的图象上恰好有两个置合点对”等价于函数y=x+C*>0）与函数），=-丁+25-〃？

x

+1（x20）有两个交点，

即方程-/+25-〃?+1=］+《*>0）有两个不等式的正实数根，

X

即/+(1_2山+2=1-》(工>0)有两个不等式的正实数根,

2

即转化为函数81)=/-2夕+.1+/。>0)图象与函数了=1一切图象有2个交点.

X

g'(x)=2x-2e+\-^j,g"(x)=2+^->0*>。),

所以g[x)=2x-2e+l-*在(0,y)上单调递增，且g(e)=。

所以当Ovxve时,/(“<(),g(x)单调递减.

当x>e时，g[x)>0,g(x)单调递增.且x->0时，g(x)T4<o,x—e时，g(x)T+oo

所以g(x)之g(e)=2e-e2

2

如图，函数g(x)=『-2e.r+x+J(x>0)图象与函数y=图象有令个交点.

x

则l-〃?>2e-e2,解得机<(e-l)2.

故选：B.

变式18.(2023•陕西西安・西安中学校考模拟预测)已知函数/(x)=f(-<x<e,e为

e

自然对数的底数)与g(x)=e'的图象上存在关于直线)'=工对称的点，则实数〃的取值范围

是()

A.1,^+-B.\,e~—C.e--,e+-D.e--,e

6」Le」Lee」[_e_

【答案】A

【解析】因为函数/(幻=42一如(_!.八.<。)与g(x)=d的图象上存在关于直线y=x对称

e

的点，

则函数人工)=/-⑪(-<x<e,。为自然对数的底数)

与函数g(x)=lnx的图象有交点，

即f-ar=lnx在-,e上有解，

_e_

即〃='一口，在上有解,

xl_e」

令,(%』)，

一/、x2-1+Inx

h(x)=—3一，

当时，"")<(),函数为减函数，

e

当1W时,//(x)>o,函数为增函数,

故人=1时，函数取得最小值1,

当工=，时，/?[-|=^+-,

e\eje

当x=e时，h(e)=e,

故实数。的取值范围是|\e+'.

_e_

故选：A

变式19.(2023・全国•高三专题练习)已知函数g(x)=a-『(*),e为自然对数的底

数)与"(x)=3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数。的取值范围是()

A.1,-y+3B.[1,/-3]C.—+3,—3D.[/-3,+oo)

【答案】B

【解析】由题意可知方程g(x)=f(x)在区间->e上有解,

e

一—

再转化为方程a=/-31nx在内有解，构造函数/(切=/-31nx,

f\x)—3x2——=——-=0»得x=l,

.IX

当3X<1时，r(x)<0,此时函数)，=/(x)单调递减；当时，/Rx)>0,此时函

数)，=/(同单调递增.

函数)，=/(x)在x=l处有最小值/⑴=1,

又d)T+3,f(e)=/-3,且上)W

所以，iWaWe』，

故选：B.

【方法总结】

转化为零点问题

题型考点六：函数的零点问题之分段分析法模型

例16.（2023・全国・模拟预测）若函数/（月=/7-夕川十届11浜（工£1<,6是自然对数的底

数，。>0）存在唯一的零点，则实数。的取值范围为.

【答案】（。彳

【解析】函数/（月=“1-"山十心皿0（工£1<,6是自然对数的底数，。>0）存在唯一的

零点等价于函数Wx）=asin⑪与函数g（x）=ei-ei的图像只有一个交点.

g⑴=。，

，函数O（x）=asin心与函数g（x）=d,'-6一的图像的唯一交点为（1,0）.

又=一*'——，且渣，>0,e^>0,

・・・/（力=---，-/7在区上恒小于零，即双工）=在R上为单调递减函数.

又・・・/（.丫）=-片，-片《-2,当且仅当《1=上，即戈=1时等号成立，且

G（x）=asin7u（a>0）是最小止周期为2.最大值为。的正弦型函数，

・••可得函数0（x）=asin;u与函数g（x）=/r-e'T的大致图像如图所示.

•••要使函数0（x）=asin;u与函数g（x）=ei-ei的图像只有唯一一个交点，则“⑴Ng'⑴.

*.*=7KZCOS7C=-Tia,短(1)=-2,

2

—Jizz>—2,解得aW—.

兀

(2-

对•••〃〉()，・••实数。的取值范围为0-.

I兀」

(2'

故答案为：。，一.

I兀」

例17.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/(x)=*-a(x+lnx)(e为自然对数的底数)有

两个不同零点，则实数。的取值范围是.

【答案】(仇内)

【解析】由/(%)=--a(x+lnx),得八力=(卜+1)6〜(1+3=。+1)•它X,且人>。

由x>0,则x+l>0,xex>0

若三0,贝Ge、-a>0,此时凡勾>0,“X)在(。,+8)上单调递增，至多有一个零点，不

满足题意.

若a〉0,设/心)二叱一明贝1」“(工)=(工+1修>0,所以万(工)在(0,+a)上单调递增

由力(0)=0,所以有唯一实数根，设为左,即天”=。

则当0cxe。时，/'3<0,则，(力在(。%)单调递减,

当x>%o时，/£冷>0,则/(”在(为+8)单调递增，

所以当x=/时，/(力而=/(与)=%