七年级数学上册压轴题六个专题知识点讲解练习

七年级数学上册压轴题六个专题知识点讲解练习汇总

第1讲相反数与绝对值

【知识梳理】

1.绝对值

⑴绝对值的定义(几何意义)

数轴上，表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值，记作用.

2.绝对值的性质：

⑴绝对值的非负性，可以用下式表示：

420,这是绝对值非常重要的性质；

a(a>0)

⑵同=«0(a=0)；

-a(a<0)

⑶若则°2O；若同=一。，则GWO；

⑷若|。=网，贝h=b或°=一6;

(5)|o|=|-a|o

3.相反数

(1)相反数的定义

符号不同、绝对值相同的两个数互为相反数.

(2)相反数的表示方式

这个数的前面添加一个“一”号.

数本身的表示方式

这个数的前面添加一个‘+号.

⑶多重符号的化简

在不含绝对值形式前提下

若一个正数前面有偶数个“一”，其结果为正，

若一个正数前面有奇数个其结果为负.

(4)相反数的一些形式

a,b互为相反数<-->a+b=O

7+b的相反数是一〃一6

-的相反数是

〃一b的相反数是一n+b或

、一q—b的相反数是4+b

【例题精讲】

【例1】已知/2|+(y-1)2=0,则(x+y)2016=1.

【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方.

【分析】根据非负数的性质进行计算即可.

【解答】解：・・・,+2|+(y-1)2=0,

.\x+2=0,y-1=0,

；・x=-2,y=l,

(x+y)2016=(—2+1)2016=],

故答案为1.

【例2】如图是一个正方体的平面展开图，正方体中相对的面上的数字或代数式

互为相反数，则2x+y的值为-1.

【考点】相反数；专题：正方体相对两个面上的文字.

【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形确定出相对面，再根

据相对面上的数字互为相反数列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解.

【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形.

“5”与2-3”是相对面,

“了’与是相对面,

“-2”与“2”是相对面，

•・•相对的面上的数互为相反数，

2x-3+5=0,r+^=0,

解得x=-1,y=l,

.•.2x+y=2x(-1)+1=-1.

故选：-1.

［例3］知识前铺

绝对值的性质：

⑴绝对值的非负性，可以用下式表示：

同20,这是绝对值非常重要的性质；

a(a>0)

⑵同=•om=o)；

-a(a<0)

⑶若同=%则”20；若同=一。，则〃W0；

⑷若同=同,则。=力或4=一比

⑸|。|=卜。|。

［例3］如果两个有理数的绝对值分别是3和1,求表示这两个数的点之间的距

函向・

【考点】数轴；绝对值.

【分析】根据绝对值的性质求出这两个数，然后分情况讨论求解即可二

【解答】解：设有理数。的绝对值等于3,则。=3或。=-3;设有理数b的绝

对值等于1,则b=1或6=-1,

(1)当。=3,6=1时，两点相距2个长度单位；

(2)当。=3,b=-1时，两点相距4个单位长度；

(3)当。=-3,力=1时，两点相距4个单位长度；

(4)当々=-3,6=-1时，两点相距2个长度单位.

综上所述，表示这两个有理数的点相距2个或4个单位长度.

【例4】若网=5,|川=7,w+«<0,则〃7-〃的值是()

A.-12或-2B.-2或12C.12或2D.2或—12

【考点】绝对值；有理数的加法；有理数的减法.

【分析】根据题意，利用绝对值的代数意义求出〃7与〃的值，再代入所求式

子计算即可.

【解答】解：,.•阿=5,|川=7,且〃z+〃VO,

m=5yn=-7;tn=-5,n=-7,

可得加-〃=12或2,

则m-n的值是12或2.

故选：C.

【例5】已知同=5,烟=3,S]a-b\=b-af求a+b的值.

【考点】绝对值；有理数的加法；有理数的减法.

【分析】根据绝对值的性质求出。、生再判断出。、b的对应情况，然后相加

即可得解.

【解答】解：・・・同=5,步|=3,

.•.。=±5,力=±3,

V\a-b\=b-a,

；・0=-5时,b=3或-3,

/.a+b=-5+3=-2,

或。+6=-5+(-3)=-8,

所以，的值是-2或-8.

【例6】若有理数x、》满足,|=5,[y|=2,且仅+y|="y,求x-y的值.

【考点】绝对值；有理数的加法；有理数的减法.

【分析】根据恸=5,『|=2,求出x=±5,尸土2,然后根据|x+y|=x+y,可得

x+yK),然后分情况求出x-V的值.

【解答】解：・・卞|=5,

；・x=±5,

又帆=2,

二.尸土2,

又=\x+y\=x+yy

**.x+y>0,

.*.x=5,y=±2,

当x=5,尸2时，工_尸5—2=3,

当x=5,y=-2时，x-y=5-(-2)=7.

【例7】已知“c是非零有理数，那么向哈育可能的值有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【考点】绝对值；1D:有理数的除法.

【分析】根据绝对值的性质，将绝对值符号去掉，然后计算.由于不知道。、权c的符

号，故需分类讨论.

【解答】解：•・"，仇c是非零有理数,

:.(1)当。>0,b>0,c>0时,aJbLcl+l+l=3;

HTr-Jd

(2)当〃V(),力VO,cVO时,1-1-1=-3；

laibIcl

(3)当a>0,Z>>0,”0时,^__lkLl

lai+b+Icl1+1-1=1;

同理，a>0,bvO,c>0;a<0,b>0,c>0时原式的值均为1.

(4)当QVO,bvo,c>0时，=-1-14-1=-1；

laibIcl

同理，当。<0,b>0,c<0;f/>0,b<0,cVO时原式的值均为-1.

故选：D.

【出门测试】

【测试1】对于|〃7-”，下列结论正确的是()

A.\m-1|>|m|B.\m-l|<|m|C.|m-1|>|m|-1D.|m-l|<|m|-1

【考点】绝对值.

【分析】分情况讨论〃?的值，利用绝对值的代数意义化简得到结果，即可求解.

【解答】解：①当〃7Vl时|加一1|二一根+1,可得〃?一1|>|〃2|-1

②当旭②时-l\=m-1,可得|加-1|=|?M|-1,

综上所述|m-1以制-1,

故选：C.

【测试2](1)已知|〃|=8,|b|=5,R\a+b\=a+b,则”8=3或13.

(2)已知x、y互为相反数，。、力互为倒数，m的绝对值为3.求代数式4(x+y)-ab+m3

的值.

【考点】相反数；绝对值；倒数；代数式求值.

【答案】见试题解答庆容

【分析】(1)根据绝对值的性质求出。、力的值，然后确定出。、匕的对应情况，再代入

代数式进行计算即可得解；

(2)根据互为相反数的定义可得xtx—0,互为倒数的两个数的积等丁1可得他一1,再

根据〃?的绝对值求出桁的值，然后代入代数式进行计算即可得解.

【解答】解：(1)・・・|a=8,步|=5,

.•・。=8或-8,b=5或一5,

V\a+b\=a+b,

；・a=8时，6=5或一5,

。=一8时不成立，

-b=8-5=3,

或"b=8-(-5)=13,

所以，"一8的值为3或13,

故答案为：3或13;

(2)•・”、y互为相反数，

/.x+^=0,

•・Z、人互为倒数，

/.ab=1,

的绝对值为3,

；•m=3亘/一3,

:.4(x+y)-ab+m^=4x0-1+33=-1+27=26;

或4(x+y)-QZ>+"[3=4XO-1+(-3)3=-1-27=-28.

【测试3]若网=5,|川=7,m+n<(),则〃的值是()

A.-12或-2B.-2或12C.12或2D.2或-12

【考点】绝对值；有理数的加法；有理数的减法.

【分析】根据题意，利用绝对值的代数意义求出〃，与〃的值，再代入所求式子计算即可.

【解答】解：*•*M=5,|〃|=7,且7n+〃V0,

；・=5,n=-7;-5,n=-7,

可得m-n=12或2,

则m~n的值是12或2.

故选：C.

【测试4】已知2.3|=3-2%则》的取值范围是()

A..r>3B.x>\.5C.A<3D.烂1.5

【考点】绝对值.

【分析】由于2》-3与3-2》互为相反数，根据绝对值的定义，可知2X-3W0,解这个不

等式，即可求出x的取值范围.

【解答】»'V|2x-3|=3-2v,

/.2Y-3<0,

.••烂1.5.

故选：D.

【测试5】若。、b互为相反数，c、"互为倒数，"7的绝对值为2.

(1)直接写出。+写cd,加的值;

(2)求m+cd+竺^的值.

m

【考点】相反数；绝对值；倒数.

【分析】(1)根据互为相反数的和为0,互为倒数的积为1,绝对值的意义,

即可解答；

(2)分两种情况讨论，即可解答.

【解答】解：(1)・；。、〃互为相反数，c、△互为倒数，，〃的绝对值为2,

a+b=0,cd=1,i7i=±2.

(2)当〃?=2时，M+小/+竺=2+1+0=3;

m

当m=-2时，〃?+〃+"=-2+1+0=-1.

m

【测试6】实数6,。在数轴上的对应点如图,ma\+\c-b\-\a-b\+\a-c\=

2c-3a.

1I-----LJ

ba0c

【考点】绝对值；实数与数轴.

【分析】先根据数轴上各点的位置判断出。、权c的符号，再去绝对值，合并同类项即可.

【解答】解：:由图可知,bVbVOVc,|a|V|c|V|b|,

；・原式=-。+(c-b)-[a-h)-(c-a)

=-a+c-b-a+b-c+a

=2c-3a

故答案是:2c-3a.

【测试7】已知有理数即dc满足4+?+?=1,求零的值.

abcabc

【考点】绝对值；有理数的乘法.

|c|

【分析】根据…\a\+(\b\+」=1可以看出，明仇c中必有两正一负，从而可得出求\a匕bc」\的

abcabc

值.

【解答】解：：弓+号+F=1，

，明b,c中必有两正一负，即Me之积为负，

.labc|

••--------=—1.

abc

第2讲零点分段法化简绝对值

【知识梳理】

零点分段法：

此方法在初中主要运用于多个绝对值式子的加减化简。因为含有参数的绝对值化简，化简的

结果是随着参数的情况而改变的(绝对值的代数意义)，所以需要用零点分段法将参数的情

况分类化，然后将每一类化简得出即可。

首先要明确两个词义：

1、零点：是使式子等于。时，未知数的值；如2x-3的零点就是方程2x-3=0的解：x=1.5,

且一般来说，一个题目中有几个不相同的绝对值，就有几个式子，就对应有几个零点，

如|x|+|x+l|应该有两个式子，对应有两个零点，而|x+3|就只有一个式子，只有一个零点。

2、分段：分段是指将题目中所求出的所有零点在数轲上标出，并且将数轴分割成小段；如

有两个零点时，在数轴上标出后可以发现数轴被这两个点分成了3段，一般来说，有n

个不相同的零点就应该把数轴分成n+1段。

一、步骤

通常分三步：

(1)求出所有式子的零点；

⑵将所有求得的零点在数轴上标出来，然后将数轴分段表示出来；

⑶在分出的段中，每一段上讨论原式子的正负形，并将绝对值求出。

例：

(1)化简:|x+l|+|x-l|

分析：首先，在这个题中，应该明确知道有两个式子，对应应该有两个零点，分别将他

们求出，得到X+1的零点为X=-l,X-1的零点为x=l；其次，在数轴上标出两个零点，

并可以看出它们将数轴分割为3段：-----◎；0A

将每一段表示出来：・

第一段：x<-l；第二段：-IWxVl；第三段：IWX

(注：也可以表示为：第一段：xW-1；第二段：-IVxSl；第三段：IVx；分段中必须

在零点左右两段中必须而且只能有一段包含零点，比如上面例题中，在第一段表示出零

点xW-1后，第二段就不可以含有零点，所以第二段若表示成-IWxVl是错误的。)

然后在每一段上去看绝对值内式子的正负性，然后求出来。

解：由题意，得：

零点为：

①x+l=0得x=-l；②x-l=0得x=l；

所以：

①当X<-1时：

原式=[-(x+l)]+[-(x-l)]=-x-l+(-x)+l=-2x

②当-IWxVl时：

原式=(x+l)+[-(x-1)]=x+1+(-x)+1=2

③当IWX时：

原式=(x+1)4-(x-l)=x+1+x-l=2x

(2)化简:|x|+|x+l|+|x-l|

分析：首先，在这个题中，应该明确知道有三个式子，而不是两个，对应应该有三个零

点，分别将他们求出，得到X的零点为x=0,x+1的零点为x=-Lx-1的零点为x=l；其

次，在数轴上标出三个零点，并可以看出它们将数轴分割为四段。

解：由题意，得:

零点为：

①x=0：②x+l=0得x=-l：③x-l=0得xT；

所以：

①当xV・l时：

原式=(-x)+[-(x+l)]=-x-l+(・x)+l=-3x

②当JWxVO时：

原式=(・x)+(x+l)+[-(x・l)]=(・x)+x+l+(・x)+l=・x+2

③当OWxVl时：

原式=x+(x+l)+[-(X-l)]=X+X+l+(-X)4-l=X+2

④当IWx时：

原式=x+(x+l)+(x-l)=x+x+l+x-l=3x

附注：

关于零点分段法结果的检验方法：

因为在分段时，发现零点这个点分在其左边或者其右边的段都是可以的，所以把零点的值代

入其左右两段，看结果是否一样，如在例1中，把x=・l代入①与②的化简结果中可以得到

结果值都是2,把x=l代入②与③的化简结果中可以得到结果值都是2,所以结果是正确的。

【典型例题】

【例1】化简|1-。|+|2〃+1|+同，其中。＜-2.

【考点】绝对值.

【分析】根据。＜-2,判断出1-4,267+1,。的符号，然后按照绝对值的应

用去掉绝对值，化简得到最后的结果.

【解答】解：MV-2,

/.|1-q|+|2a+l|+同，

=\-a-(2〃+1)-％

=1-a-2a-1-a,

=-4a.

【例2】已知k-l|+|x-5|=4,求x的取值范围.

【考点】绝对值.

【分析】分类讨论工的范围，利用绝对值的代数意义化简，求出满足题意x的范

围即可.

【解答】解：当xvl时，k—l|+|x—5|=l—x+5—x=6—2x＞4;

当仁烂5时，|x-l|+|x-5|=x-l+5-x=4;

当方＞5时，|x-l|+|x-5|=x-l+x-5=2工一6＞4;

综上所述，x的取值范围是1£5.

【例3】化简：\x-\\+x+2\+\x-4\.

【考点】绝对值.

【分析】分类讨论：当烂-2时或-2〈烂1或IV烂4或x>4时，根据绝对

值的意义分别去绝对值，然后合并即可.

【解答】解：当烂-2时，原式="x-x-2+4-x=5-3x;

当-2V烂1时，原式=1-x+x+2+4-工=7-x;

当IV烂4时，原式=x-l+x+2+4-x=x+5;

当x>4时，原式=1-1+x-2+x-4=3x—7.

【例4】化简：

(1)|2x-l|;(2)|x-l|+|x-3|;(3)||x-l|-2|+|x+l|.

【考点】绝对值.

【分析】(1)就公-吐0,公-1<0两种情形去掉绝对值符号；

(2)将零点1,3在同一数轴上表示出来，就工<1,1%<3,迂3三种情况进

行讨论；

(3)由零点共有-1、1、3三点，就应3,l<r<3,-1夕<1,不<-1四种情

况进行讨论.

【解答】解：(1)①当工之(原式=2尢-1;

②当原式=-(2x-1)=i-2x;

(2)①当xV1,原式=一(r-1)-(r-3)=4-2.r;

②当1SXV3,原式=(x-1)-(x-3)=2;

③当应3,原式=支-1)+(x-3)=2x-4;

(3)①应3,原式=|x-1-2|+x+l=x-3+x+l=2工-2;

@l<t<3,原式=仅一1-2|+x+l=3-x+x+l=4;

③一1夕VI,原式=|1-x-2|+x+l=|-(x+l)\+x+1=x+1+x+1=2x+2;

@x<-1,原式=|1一1一2|一(x+1)=|-(x+1)|-x-1=-(x+1)-x-1

=-2x-2.

【例5】求=||二台|的最小值.

解法一：当工〈一2时，贝IJ

|X+2|4-|X-3|=—(X+2)+[—(X-3)]=T-2-X+3=-2X+1>5

当》10^至^时,则|X+2|+|X_3|=(X+2)+[_(X_3)]=X+27+3=5

当》4含时,则|x+2|+|x—3|=(x+2)+(x-3)=x+2+x-3=2x-l>5

综上：当》席*时,』||匕台|取得最小值为:5.

解法二：借助数轴分类讨论：①x<-2;②>但置；③港.

■的几何意义为给对应的点到-2对应点的距离与绝对应点

到3对应点的距离和.

CD—

由图明显看出时取最小值.

所以，>|||=之时,取最小值5.

【出门测试】

1、已知—3<aV2,化简：|〃+3|—H—2|.

【考点】绝对值.

【分析】根据绝对值的性质去掉绝对值号，然后解答即叽

【解答】解：・・・-3V〃V2,

。+3>0,iz-2<0,

\a+3\-\a-2|=a+3+a-2=2Q+1.

2、已知aVb,求卜-G|+|X-目的最小值.

【考点】绝对值.

【分析】根据：广川表示数轴上一点到。的距离，以-。邱-”即数轴上一点

到。与b的两点的距离的和，据此即可求解.

【解答】解：•斗-。|+w-加即数轴上一点到。与人的两点的距离的和，

・・・当点在。与b之间时，式子的值最小，最小值是

3、化简：|2x+l|+|2-3x|.

【考点】绝对值.

【分析】分类讨论x的范围，利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果.

【解答】解：当2x+lN0,2-3.r>0,即|之在一加j,原式=2x+l+2-3x=-"3;

当2-3xV0,x>-,原式=2x+l+3x-2=5x-1;

当2x+lv0,x<—原式=-2x-1+2-3x=-5x+l.

4、计算：lx+l|+|x-2|+|x-3|.

【考点】绝对值.

【分析】分xV-l,-lSx<2,2〈烂3,x>3四种情况，根据绝对值的性质,

去掉绝对值号，然后计算即可得解.

【解答】解：xV—1时，|x+l|+|x—2|+|X—3|=—(X+1)-(x-2)-(x-3)

=-x-1-x+2-x+3=-3x+4;

烂2时，|X+1|+|J-2|+|x-3|=(x+1)-(x-2)-(x-3)=x+l-x+2-

x+3=-x+6;

2<x<30'j,|x+l|+|x-2|+|x-3|=(x+1)+(x-2)-(x-3)=x+l+x-2-x+3

=x+2;

x>3时，|x+l|+|x-2|+|x-3|=(x+1)+(x-2)+(x-3)=x+l+x-2+x-3=

3x-4.

5、若肘5|+|x+2|=7,求，的取值范围.

【考点】绝对值.

【分析】根据绝对值的性质分别分3种情况进行讨论，当烂-5时，-5〈烂

-2时，x>-2时，从而得出答案.

【解答】解：当烂-5时，得出-1-5-工一2=-2%-7,7,不成立；

当-5V烂-2时，x+5-工-2=3,不成立；

当%>-2时，x+5+x+2=7,成立，

则x取值范围为x>-2.

第3讲绝对值最值问题

【知识梳理】

1、绝对值的性质

⑴绝对值的非负性，可以用下式表示：

司20,这是绝对值非常重要的性质；

a(a>0)

⑵同=,0(fl=0)；

[-O(a<0)

⑶若4=%贝若|。|=一。，贝IJoWO；

⑷若°=同，则a=b或°=一》；

⑸同=|一叽

2、绝对值最值问题探究

x-4+|x-b|的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数a、数b两点的距离之和，其中数a、数b的

对应点为数转上的一个定点，数x的对应点为一个动点，可以在数轴上移动.

绝对值的最值问题，用零点分段法可以解决，但是会比较繁琐，而采用数形结合的方法，运用绝对值

的几何意义求解，往往能取得事半功倍的效果.

如计算,_1|+卜_2|的最小值.

(1)将使两个绝对值分别为。时的x值标在数轴上(如图)，数粕被

分为3个区域；$

(2)假设代表动点工的点(图中小黑球)从左到右在数轴上移动，根厂工7一工一,

据绝对值的几何意义，我口可将所求表示为两条线段的和，即S1+S2.11)

12

(3)在3个区域中分别画出线段并比较，可以发现当1SXW2时，

两线段和最小，为定值1.

若将题目改为计算k-1|+k-2|+卜-3|的最小值.我们使用相同的,1V%、

方法进行分析，发现只有当x=2时取得最小值，而不再是在一个范围内।।7

取得最小值了.1123

经过总结归纳我们发现了这样的规律：

①对于代数式：

Ix-^l+lx-aJ+lx-^l+.+lx-aJ(a,a2a3<■■■<aK)：

当正为奇数时，在x=4z处取最小值，即在〃个点的中心点处；

2

当力为偶数时，在区域取最小值，即数轴被打个点分成八+1段的中心区域.

ir1

②对于代数式|3-6|+他/-勾+|3-％|+…+的最值问题，我们先将代数式转化为特殊形

式：|x—Oj|+|x—|+|x—a14----F|x-|(<a2<a3<L<an)t然后通过上述方法求解.

|2x-l||x2|=2x-||x2|=x-l

如:++++

【典型例题】

【例1】阅读材料：我们知道，若点/、8在数轴上分别表示有理数。、b,力、

3两点间的距离表示为48.则=-".所以式子卜-3|的几何意义是数轴上

表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离.根据上述材料，解答下列

问题:

(1)数轴上表示2和5两点之间的距离是;数轴上表示1和-3的两点

之间的距离是

(2)数轴上表示x和2两点之间的距离表示为

(3)若，则卜一3|=5,贝ijx=；

(4)式子仅一3|+k+1|=8,则x的值为；

(5)若x表示一个有理数，式子,-3|+,+1|的最小值为.

4B

-J------------------------------>

a0V

【考点】数轴；绝对值.

【分析】(1)根据两点间的距离公式可得；(2)根据两点间的距离公式即可得；

(3)由题意知x-3=5或x-3=-5,据此求解可得；(4)分xV-1、x>3和-1-3三

种情况，根据绝对值的性质分别求解可得；(5)求|x-3|+|x+l|的最小值，由线段的性质，两

点之间，线段最短，可知当-12时，卜-3|+/1|有.最小值.

【解答】解：(1)数轴上表示2和5两点之间的距离是5-2=3；数轴上表示1

和-3的两点之间的距离是1-(-3)=4,

故答案为：3、4;

(2)数轴上表示x和2两点之间的距离表示为仅-2|,

故答案为：卜-2|;

(3)若i=5,

则工一3=5或》一3=-5,

解得：工=8或x=-2,

故答案为：-2或8;

(4)式子卜一3|+了+1|=8表示:数轴上表示x的点到3和-1的距离和为8,

若xV-1,则3-工-工一1=8,解得：x=-3;

若x>3,则x-3+x+l=8,解得：x=5;

若一1人3,贝IJ3-;v+x+l=4#8;

故答案为：-3或5;

(5)根据题意，可知当-1姿3时，--3|+|-1|有最小值.

|x-3|=3-x,|x+l|=x+l,

\x-3|+|x+l|=3-A+x+1=4,

故答案为:4.

【例2】认真阅读下面的材料，完成问题.

材料1：绝对值的几何含义：例如|5-3|表示5,3在数轴上对应的两个点之间

的距离；|5+3|=|5-(-3)|,所以|5+3|表示5,-3在数轴上对应的两点之间

的距离；|5|=|5-0|,所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离.一般地，

点/、8在数轴上分别表示有理数〃、b,那么点/、3之间的距离可表示为|〃

-外

材料2:求打一3|+以一2|十|工一1|的最小值.

分析:|x-3|+|x-2|+lr-l|=(|x-3|+|x-l|)+|x-2|,要使k一3|+卜一1|的值最

小，借助数轴可知x的值只要取1到3之间(包括1,3)的任意一个数；要

使卜-2|的值最小，/应取2,显然当x=2时能同时满足要求，把x=2代入原

式计算即可.

利用上述材料方法求卜-7|+|x-3|+|x-1|十］》+11的最小值为.

【考点】数轴；绝对值；有理数的加法.

【分析】首先读懂题目中求解最小值的方法，|工-7|+h-3|+伏-1|+附1|的最小值

可以看成b-7|+h+l|最小,和卜-3|+,-1|最小,两个最小值的求和.

【解答】解：要使卜一7|+以一3|+以一1|+卜+1|最小，可以使得k一7|+卜+1|最小，|x-

3|+|x-1|最小.

对于卜一7|+卜+1|最小,借助数轴可知x的值只要取-1到7之间（包括-1,

7）的任意一个数；

对于仅-3|+,-1|最小，借助数轴可知x的值只要取1到3之间（包括1,3）

的任意一个数；

综上，我们只需要在1到3之间（包括1,3）取一个数代入即可，比如我们

取2,

\x-7\+\x-3|+|x-1|+|x+1|=|2-7|+|2-3|+|2-11+|2+1|=10.

故答案为：10.

【例3】认真阅读下面的材料，完成有关I可题.

材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如|5-3|表示5、3

在数轴上对应的两点之间的距离;|5+3|=|5-（-3）|,所以|5+3|表示5、-3

在数轴上对应的两点之间的距离；|5|=|5-0|,所以|5|表示5在数轴上对应的

点到原点的距离.一般地，点4、点8在数轴上分别表示有理数人b,那么

点4、点8之间的距离可表示为

（0点小B、C在数轴上分别表示有理数--2、1,那么点/到点8的距离

与点A到点C的距离之和可表示为k+2|+|x-11（用含绝对值的式子表示）；

(2)利用数轴探究：

①满足值+2|+K-1|=3的x的取值范围是-2g1;

②满足卜+2|+,-1|=5的x的所有值是2或-3;

③设h+31+卜-5|=p：当x的值取在不小于-3且不大于5的范围时，尸的值是

不变的，而且是产的最小值，这个最小值是8;

(3)拓展

①仇-1|+反一2|的最小值为1;

②"1|+反一2|+仅一3|的最/卜值为2;

③k-ll+lx-2|+k-3|+仇-20201的最小值为2020,此时x的取值范围为

2<x<3.

【考点】数轴；绝对值；列代数式.

【分析】(1)由题意可得43+/。=附2|+值-1];

(2)由绝对值的意义，分情况去掉绝对值符号，将绝对值方程转化为一元一

次方程即可；

(3)根据x的取值范围，分情况去掉绝对值符号,将绝对值方程转化为一元

一次方程，再由一元一次方程的取值范围确定所求最小值.

【解答】解：⑴由已知可得”=/2|,AC=\x-\\,

AB+AC=\x+21+|.r-11,

故答案为k+2|+|x—l|;

(2)①当.2W烂1时，|x+2|+|x_l|=x+2+l-x=3;

故答案为-2M1;

@V\x+2\+\x-1|=5

当x>l时，|x+2|+[x-11=x+2+x-1=2x+1=5,

.*.x=2,

当x<一2时，|x+2|-|x-1|=-x-2+1-x=-lx-1=5,

；・x=-3,

故答案为2或-3;

③由已知可得k+3|+k-5|表示数轴上点到-3、5的距离和，

・•・最小距离为1=8,

故答案为8;

(3)①,一1|+卜一2|的最小距离为1与2之间的距离，

故答案为1；

②由上述讨论可知,卜-1|+|工-2|+卜-3|取最小值时，x应该在1、3之间,

当1k烂2时，\x-1|+[x-2\+\x-3|=x-1+2-x+3-x=4-x,

.•.2<|x-l|+|x-2|+|x-3|<3,

当2〈烂3时，\x-l|+|x-2|+|x-3|=x-1+x-2+3-x=x,

2Vlx-11+<-2|+|x—3|<3,

；・|x-1|+|x-2|+归一3|最小值为2,

故答案为2;

(§)伏—1|+,-2|+枚一3|+,-2020|取最小值时，、应该在1、2020之间，

当烂烂2时，|x-1|+|x-2\+\x-3|+|x-2020|=-2x+2024,

当2<x<3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-2020|=2020,

当3V烂2020时，，-1|+|x-2|+|x-3|4-|x-2020|=2x+2020,

/.|x-l|+|x-2|+|x-3|+|x-2020|最小值为2020:

故答案为2020,2<x<3;

【点评】本题考查实数、绝对值的几何意义；能够根据绝对值的性质，由x的

取值范围去掉绝对值符号，将绝对值方程转化为一元一次方程是解题的关键.

【例4】在学习绝对值后，我们知道，⑷表示数〃在数轴上的对应点与原点的距

离.如：|5|表示5在数轴上的对应点到原点的距离.而|5|=|5-0|,即|5-0也

可理解为5、0在数轴上对应的两点之间的距离.类似的，|5-3|表示5与3之

差的绝对值，也可理解为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离.如

X-3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示数x的点之间的距离

一般地，点4、8在数轴上分别表示数〃、b,那么43之间的距离可表示为

\a-b\.

请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题：

-5-4-3-2-10~1~2~3~4~5~6^

(1)数轴上表示2和3的两点之间的距离是」；数轴上表示数a的点与

表示-2的点之间的距离表示为|。+2|;

(2)数轴上点尸表示的数是2,尸、。两点的距离为3,则点。表示的数是

5或-1；

(3)〃、b、c、d在数轴上的位置如图所示，若族-d|=7,

=9,贝Mb-c|等于4.

c

【考点】数轴；绝对值.

【分析】(1)根据两点之间的距离公式直接计算即可；

(2)设点。表示的点为x,根据两点间的距离公式得到关于x的方程，解方

程即可；

(3)根据题意，得到一个四元一次方程组，解方程组即可解答.

【解答】解:(1)根据题意,得：|3-2|=1,|〃-(-2)|=|«+2|,

故答案为：1,|〃十2|;

(2)设点。表示的点为x,根据题意，得：,-2|=3,

**.x-2=3,或工-2=-3,

解得:x=5或x=-1,

故答案为：5或-1;

(d—a=12①

(3)根据题意，可知：\d-b=7@,

(c-Q=9(3)

①-③，得：d-c=3®,

④-③，得：b-c=-4,

•.\b-c|=4,

故答案为：4.

【点评】本题主要考查绝对值与数轴的综合应用，解决此题时，能够熟练掌握

绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，。的绝对值是0,负数的绝对值是它

的相反数是解决此题的关键.

【出门测试】

1、综合应用题：

|加-川的几何意义是数轴上表示m的点与表示〃的点之间的距离.

(I)M的几何意义是数轴上表示X的点与原点之间的距离；伙|=k

-o|(>,=,<)；

(2)|2-1|的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则|2-

(3)lx-3|的几何意义是数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离,

若,一3|=1,则工=4或2.

(4)反+2|的几何意义是数轴上表示x的点与表示-2的点之间的距离,

若|x+21=2,贝ijx=0或-4.

(5)找出所有符合条件的整数x,使得反+5|+1-2|=7这样的整数是-5,

-4,-3,-2,0,1,2.

【考点】数轴；绝对值.

【分析】(1)根据两点之间的距离，即可解答.

(2)根据两点之间的距离，即可解答.

(3)根据两点之间的距离，即可解答.

(4)根据两点之间的距离，即可解答.

(5)根据两点之间的距离，即可解答.

【解答】解：(1),的几何意义是数轴上表示工的点与原点之间的距离；团=

x-0|,故答案为：X,原点,=；

(2)|2-1|的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则|2-

1|=1,故答案为：1；

(3)卜-3|的几何意义是数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离，若仇-

3|=1,则x=4或2,故答案为：x,3,4或2.

⑷卜+2|的几何意义是数轴上表示x的点与表示-2的点之间的距离，若附2|

=2,则工=0或—4.

⑸使得附5|+,-2|=7这样的整数是-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2;

故答案为：-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2.

2、数轴上两点之间的距离等于相应两数差的绝对值.

①数轴上表示-3和-9的两点之间的距离是-6;数轴上表示2和-8的两

点之间的距离是一10；

②数轴上表示x和-2的两点4和8之间的距离是一|x+2|;如果|力用=4,

那么x为2或-6;

③当代数式卜+1|+卜-2|+卜-3|取最小值时,相应的x的值是-2.

【考点】数轴；绝对值.

【分析】(1)分别根据结论列式计算即可得解；

(2)根据结论列式距离表达式，再根据绝对值的性质计算即可得解；

(3)根据条件判断出表示x到-1、2、3这三个点的距离之和，从而判断出x

在点2的位置，从而得解.

【解答】解:(1)I(-3)-(-9)|=|-3+9|=6,

12-(-8)|=|2+8|=10;

(2)由已知得，已-(-2)|=附2|,

•・・|幽=4,

|.r+2|=4,

.,.x+2=4或x+2=-4,

解得工=2或%=-6;

(3)由条件可知，卜+1|+以-2|+|x-3|表示x到-1、2、3这三个点的距离之和,

所以，当x在点2的位置时，其距离之和最小.

故答案为：(1)6,10;(2)卜+2|,2或-6;(3)2.

【点评】本题考查了绝对值与数轴的知识，读懂题目信息，理解结论的并掌握

数轴上两点间的距离的求法是解题的关键，也是本题的难点.

3、点力、A在数轴上分别表示有理数即b,/、A两点之间的距离表示为/用

在数轴上力、8两点之间的距离力8=|a-旬.

利用数形结合思想回答下列问题：

(1)数轴上表示2和10两点之间的距离是」数轴上表示2与-10的两

点之间的距离是一12.

(2)数轴上表示x和-2的两点之间的距离表示为上

(3)若x表示一个有理数，且卜-l|+|x+2|=5,则x=2或-3.

(4)若x表示一个有理数，#|x-l|+|x-2|+[x-3|+|x-4|+...+|x-2014|+|x-

2015|的最小值.(只需写当x取何值时，代入求出此代数式的最小值.)

63~~»

【考点】数轴；绝对值.

【分析】(1)根据题意和题目中的数据可以求得数轴上表示2和10两点之间

的距离和数轴上表示2与-10的两点之间的距离；

(2)根据题意可以求得数轴上表示x和-2的两点之间的距离；

(3)根据题意，利用分类讨论的方法可以求得卜-1|+,+2|=5时的x的值；

(4)根据题意可以得到当x=1008时，题目中的式子取得最小值，并求出这

个最小值.

【解答】解：(1)V|10-2|=8,|2-(-10)|=12,

故答案为：8,12;

(2)数轴上表示x和-2的两点之间的距离表示为：卜-(-2)|=|x+2|,

故答案为:4+2|;

(3)当%>1时，

|x-1|+|x+2|=x-1+J+2=5,得x=2,

当-2<x<l时,|x-l|+|x+2|=1-x+x+2=3r5,

当xV-2时，|x-1|+|x+2|=1-x-x-2=5,得x=-3,

故答案为：2或-3;

(4)当x=1008时，|x-I|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+...+|x-2014|+|x-2015|取得最

小值，

・,.|x-l|+|x-2|+|x-3\+\x-4|+...+|x-2014|+|x-2015|

=2x(1007+1006+...+1)+0

=2x1+1007x1007+0

2

=1015056,

即以一1|+k-2|+|x-3|+|x-4|+...+|x-2014|+|x-2015|的最小值是1015056.

【点评】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题

需要的条件，利用数轴和绝对值的知识解答.

4、如图表示数在数轴上四个点的位置关系，且它们表示的数分别为p、八八

s.若i=10,|p-s|=12,|夕一|=9,则0一”的值是7・

Pqrs

【考点】数轴；绝对值.

【分析】根据数轴可知pVqV/Ys,根据绝对值的性质得：

s=-12,q-s=-9,所以q-r=-7,根据绝对值的性质，得出〃-7|的值.

【解答】解：根据数轴可得，p<q<r<s,

V|p-r|=10,|p-s|=12,|g-s|=9,

••p-r=-10,p-s=-12,q-s=-9,

•»p=r-10,p=s-12,

.*.r-10=5-12,

...$=什2,

*.q-s=q-r-2=-9,

:・q-v=-7,

・・・|夕一尸|=7.

故答案为7.

5、如图，已知数轴上点/表示的数为8,B是数轴上位于点/左侧一点，且48

=20,

(1)写出数轴上点3表示的数-12;

(2)|5-3|表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上

所对的两点之间的距离.如卜-3|的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表

示有理数3的点之间的距离.试探索：

①：若,一司=2,则丫=6或10.

②：|x+l2|+|x—81的最/卜值为20.

(3)动点尸从。点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,

设运动时间为/Q>0)秒.求当，为多少秒时？力，。两点之间的距离为2;

(4)动点P,。分别从。，4两点，同时出发，点夕以每秒5个单位长度沿

数轴向右匀速运动，。点以。点速度的两倍，沿数轴向右匀速运动，设运动

时间为，(Z>0)秒.问当，为多少秒时？P,。之间的距离为4.

BA

'08~>

【考点】数轴；绝对值；一元一次方程的应用；两点间的距离.

【分析】(1)根据两点间的距离公式可得数轴上点B表示的数；

(2)①根据绝对值的性质即可求解；

②根据两点间的距离公式即可求解；

(3)设经过，秒时，A,尸之间的距离为2,根据距离的等量关系即可求解;

(4)设经过，秒时，P,。之间的距离为4,根据距离的等量关系即可求解.

【解答】解：(1)点8表示的数8-20=-12.

故答案为：-12;

(2)®|x-8|=2,

x-8=±2,

则x=6或10.

故答案为：6或10;

②仅+12|+|x-8|的最小值为8-(-12)=20.

故答案为：20;

(3)设经过/秒时，4。之间的距离为2.比时尸点表示的数是5/,

则|8-5/|=2,

解得f=2或，='.

故当，为2或渺时，儿。两点之间的距离为2;

(4)设经过，秒时，P,。之间的距离为4.

此时尸点表示的数是夕,。点表示的数-12+101,

则12+10-4=4

解得，=¥或'=?•

故当，为千或g秒时，P,。之间的距离为4.

6、我们知道，若点人B在数轴上分别表示有理数人仇48两点间的距离表

示为,则43=|〃-句.所以式子以-3|的几何意义是数轴上表示数3的点与

表示数x的点之间的距离.根据上述材料，解答下列问题：

(1)若仅一5|=|工+1|,则x=2;式子k+31+lx—1］的最小值为4;

(2)请说出|x+3|+|x-1|=7所表示的几何意义在数轴上与3和-1的距离和

为7的点对应的x的值，并求出x的值为-2.5或4.5.

(3)在数轴上点。到表示-3和1的点的距离差是2,满足条件的所有点P

对应的数0.

【考点】数轴；绝对值.

【分析】(1)根据绝对值的意义，去绝对值符号，由此可得到关于工的方程,

求出x的值即可；求卜-3|十附1|的最小值，由线段的性质，两点之