2026年西安交大少年班选拔考试数学试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页西交大少年班第二次阶段性联考数学试卷考试时间：100min

满分100分1．若二次函数的图象与轴交于两点，，则.2．在中，、、分别是、、的对边，且.则.3．在中，已知，，，为边的中点，且与的平分线交于点.则的长为.4．已知10个两两互不相等的正整数满足条件，，，，，.则的最小可能值为.5．如图，已知直线与抛物线交于、两点，点在直线上方的抛物线上运动.当的面积最大时，点的坐标为.

6．已知函数.则的整数部分为.7．已知关于的方程有两个实根.则的取值范围是.8．已知直角三角形的两条直角边、及斜边均为整数，且其内切圆的半径.则这样的直角三角形有个.9．如图，在中，已知是斜边的中点，于点，于点.若、、的长都是有理数，则线段、、、中，长不一定是有理数的为.

10．设实数，，，，满足，且任意两数之和共10个数中最小的三个数是，最大的两个数是.则.11．设由不超过1000的两个正整数组成的数对满足.求出所有这样的数对的个数.12．已知实数、、、满足，.求的最大值和最小值.13．如图，已知、分别与切于点、，过点的割线与交于、两点，作与弦交于点，的延长线与交于点.证明：.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．【分析】直接将二次函数与x轴的交点转化为一元二次方程的根，并结合根与系数的关系化简求值可得结果.【详解】由二次函数的图象与轴交于两点，，所以是方程，即的两个根，所以，，且，即，所以，故答案为：.2．【分析】先化简所求式子的形式，结合对应的余弦定理结论，替换式子中的部分项，进而得到式子的结果.【详解】，由，得，即.将代入分子，得分子与分母相等，故.故答案为：.3．【分析】由勾股定理可得为直角三角形，以为圆心，设为直径作圆交直线于，连接，，，根据角平分线的性质和直角三角形性质可求的长.【详解】因为，，，所以，所以为直角三角形，以为圆心，为直径作圆交直线于，连接，，，∵，平分，∴，∵，∴，∴，所以点与点重合，因为为直径，∴.故答案为：4．20【分析】根据条件可得，要使最小，需使取最小的不同正整数，且保证所有衍生出的数也互不相等，根据最小的正整数组合开始分别考虑，，，，……，逐一检验，直至发现时，的符合要求的组合即可.【详解】因，则，（*），又，则，而，故，又，代入（*），可得.依题意，是两两互不相等的正整数，要使最小，需使取最小的不同正整数，且保证所有衍生出的数也互不相等.先尝试最小的正整数组合（此时），如下表：组合检验①3124此时，与重复；②3214此时，与重复.再尝试组合（此时），如下表：组合检验①3125此时，与重复；②3215此时，与重复再尝试组合（此时），如下表：组合检验①2134此时，与重复；②2314此时，与重复.再尝试组合（此时），如下表：组合检验①4126此时，，与重复；②4216此时，与重复；③2135此时，与重复；④2315此时，与重复.再尝试组合（此时），如下表：组合检验①2136此时，与重复；②2316此时，，，，，，符合题意.由上表可见，当依次为时，符合所有条件，且的值最小.故答案为：20.5．【分析】因为三角形的一边的长度为定值，要使的面积最大，必有点到直线的距离最大，此时点既在抛物线上又在与直线平行的直线上，即直线与平行且与抛物线相切，所以设出直线的方程并用判别式等于0可得点的坐标.【详解】由直线与抛物线交于、两点，联立方程，消去y，得，解得，当时，；当时，.所以，得.点在直线上方的抛物线上运动.当的面积最大时，点到直线的距离最大，此时点既在抛物线上又在与直线平行的直线上，即直线与平行且与抛物线相切，如图：

设此条直线为，与抛物线联立消去y得，，即，令，得，此时方程的根为，再代入得，，此时点为.故答案为：6．【分析】先证，进而得，利用等差数列求和公式即可求解.【详解】因为，所以，所以，又，所以，所以，所以的整数部分为：，故答案为：.7．【分析】令，画出其图象，结合图象即可求解.【详解】令，当时，，当，，当，，即，

方程有两个实根，可转换成的图象和有两个交点，由的图象可知，，故答案为：8．3【分析】由，结合，得到，进而可求解.【详解】因为直角三角形内切圆的半径，由直角三角形内切圆性质可得：，又，所以，化简可得：，因为、均为整数，所以或或，解得，则或，则或，则所以满足条件的直角三角形有3个，故答案为：39．【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质可判断为有理数，再利用相关垂直条件，证明三角形相似，可得、为有理数，进而由不能判断其是否为有理数.【详解】因、、的长都是有理数，且是斜边的中点，则都是有理数，于是，是有理数；因，，，易得，，则都是有理数，而不一定是有理数.故答案为：.10．####【分析】由题意，用表示，并求出从而求得的值.【详解】因为，且任意两数之和共10个数中最小的三个数是，所以，所以.因为最大的两个数是，所以，所以.因为，所以，所以.所以.故答案为：.11．【分析】由数对满足，可得，由均是不超过1000的正整数可求得其取值范围，从而求得满足条件的数对的个数.【详解】由数对满足，可得.当时，满足条件的的个数为.记.因为，所以.当时，，所以或.记满足条件的数对的个数为S，则.所以满足条件的数对有个.12．最大值为，最小值为.【分析】设变量将用表示，结合已知条件推导的表达式，利用实数平方和的非负性建立不等式，求解不等式得到的取值范围，进而得解.【详解】设，则.由，得，代入、，得，故.因，展开得，又，代入得，