2026年初中九年级数学强化寒假作业每日一练（30天）

2026年初中九年级数学强化寒假作业每日一练（30天）说明：本作业每日包含5种题型（选择题、填空题、解答题、证明题、拓展题），贴合九年级数学重难点（二次函数、圆、相似三角形、锐角三角函数、一元二次方程），注重基础强化与能力提升，每天练习时长控制在40-50分钟，做完后对照答案自查自纠，查漏补缺。第1天一、选择题（每题3分，共10分）1.下列函数中，是二次函数的是（）A.y=3x-1B.y=3x²C.y=3/xD.y=3x³+2x2.一元二次方程x²-2x-3=0的根的情况是（）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根二、填空题（每题3分，共10分）1.二次函数y=x²-4x+5的顶点坐标是________。2.若一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根是1，则a+b+c=________。三、解答题（每题8分，共16分）1.解一元二次方程：x²-6x+8=02.已知二次函数y=2x²+4x-1，求当x=2时的函数值。四、证明题（10分）已知：在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，求证：AD⊥BC。五、拓展题（14分）已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图像经过点（0，3），（1，0），（2，-1），求这个二次函数的解析式，并判断其图像的开口方向。第2天一、选择题（每题3分，共10分）1.若点A（-2，y₁）、B（1，y₂）、C（2，y₃）都在二次函数y=(x-1)²+2的图像上，则y₁、y₂、y₃的大小关系是（）A.y₁>y₂>y₃B.y₁>y₃>y₂C.y₃>y₂>y₁D.y₃>y₁>y₂2.用配方法解一元二次方程x²-4x-1=0，配方后得到的方程是（）A.(x-2)²=5B.(x+2)²=5C.(x-2)²=3D.(x+2)²=3二、填空题（每题3分，共10分）1.一元二次方程2x²-5x+1=0的两根之和是________。2.二次函数y=-x²+2x+3的最大值是________。三、解答题（每题8分，共16分）1.解一元二次方程：2x²-7x+3=02.已知二次函数的顶点坐标为（1，-2），且经过点（2，1），求该二次函数的解析式。四、证明题（10分）已知：在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，求证：AO=CO，BO=DO。五、拓展题（14分）某商场销售一批进价为20元/件的商品，售价为x元/件，每天可卖出（100-x）件，设每天的利润为w元，求w与x之间的函数关系式，并求出当售价为多少元时，每天的利润最大，最大利润是多少？第3天一、选择题（每题3分，共10分）1.下列各组线段中，能构成相似三角形的是（）A.2cm、3cm与4cm、5cmB.3cm、4cm与6cm、8cmC.1cm、2cm与2cm、3cmD.4cm、5cm与5cm、4cm2.如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，DB=3，则△ADE与△ABC的相似比是（）（注：图略，可自行画图理解）A.2:3B.2:5C.3:5D.4:25二、填空题（每题3分，共10分）1.若△ABC∽△DEF，相似比为2:3，则它们的周长比是________。2.已知线段AB=4cm，点C是AB的黄金分割点，且AC>BC，则AC=________cm（结果保留根号）。三、解答题（每题8分，共16分）1.已知△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，求证：△ABC是直角三角形。2.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，求sinA、cosA、tanA的值。（注：图略，可自行画图理解）四、证明题（10分）已知：在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，AB/DE=AC/DF，求证：△ABC∽△DEF。五、拓展题（14分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于点D，若AC=3，BC=4，求CD的长及AD的长。（注：图略，可自行画图理解）第4天一、选择题（每题3分，共10分）1.下列说法正确的是（）A.所有的圆都是相似图形B.所有的正方形都不是相似图形C.所有的等腰三角形都是相似图形D.所有的菱形都是相似图形2.若锐角α满足sinα=cos30°，则α的度数是（）A.30°B.45°C.60°D.90°二、填空题（每题3分，共10分）1.若tanα=1（α为锐角），则α=________°，sinα=________。2.已知⊙O的半径为5cm，点P到圆心O的距离为3cm，则点P在⊙O________（填“内部”“外部”或“圆上”）。三、解答题（每题8分，共16分）1.计算：sin60°+cos45°-tan30°（结果保留根号）2.已知⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm，求圆心O到弦AB的距离。四、证明题（10分）已知：AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，且∠ACB=90°，求证：BC是⊙O的切线。五、拓展题（14分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，若AB=10，AC=6，求BD的长。（注：图略，可自行画图理解）第5天一、选择题（每题3分，共10分）1.一元二次方程x²+kx-3=0的一个根是1，则k的值是（）A.-2B.2C.-4D.42.二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图像开口向下，则a的取值范围是（）A.a>0B.a<0C.a≥0D.a≤0二、填空题（每题3分，共10分）1.若△ABC∽△DEF，面积比为4:9，则它们的对应边之比是________。2.⊙O的弦AB垂直于直径CD，垂足为E，若CE=2，DE=8，则AB=________。三、解答题（每题8分，共16分）1.解一元二次方程：(x-3)²=2(x-3)2.已知二次函数y=-x²+2x+3，求其图像与x轴、y轴的交点坐标。四、证明题（10分）已知：在△ABC中，DE∥BC，AD/DB=AE/EC，求证：DE是△ABC的中位线。五、拓展题（14分）某工厂生产的一种产品，每件成本为10元，销售价为x元，每月的销售量为y件，且y与x之间的函数关系式为y=-10x+500，设每月的利润为w元，（1）求w与x之间的函数关系式；（2）当销售价定为多少元时，每月的利润为2000元？（3）当销售价定为多少元时，每月的利润最大？最大利润是多少？第6天一、选择题（每题3分，共10分）1.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，若∠APB=60°，则∠AOP的度数是（）（注：图略，可自行画图理解）A.30°B.60°C.90°D.120°2.下列函数中，图像经过原点的是（）A.y=3x²+1B.y=3x²C.y=3x+1D.y=3/x二、填空题（每题3分，共10分）1.一元二次方程x²-3x+2=0的两根之积是________。2.已知锐角α，cosα=√3/2，则sin(90°-α)=________。三、解答题（每题8分，共16分）1.计算：2sin30°+cos60°-tan45°2.如图，在⊙O中，弧AB=弧AC，∠A=30°，求∠BOC的度数。（注：图略，可自行画图理解）四、证明题（10分）已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC的中点，DE⊥AB于点E，求证：△ADE∽△ABC。五、拓展题（14分）已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图像经过点（-1，0），（3，0），（0，3），（1）求该二次函数的解析式；（2）求该二次函数图像的顶点坐标和对称轴；（3）当x取何值时，y随x的增大而增大？第7天一、选择题（每题3分，共10分）1.若△ABC∽△DEF，且AB=2DE，BC=4，则EF的长是（）A.2B.4C.8D.162.一元二次方程2x²+3x-1=0的根的判别式的值是（）A.1B.17C.13D.5二、填空题（每题3分，共10分）1.二次函数y=2(x-3)²+1的对称轴是直线________。2.若点P（m，n）在⊙O上，⊙O的半径为r，圆心O的坐标为（a，b），则(m-a)²+(n-b)²=________。三、解答题（每题8分，共16分）1.解一元二次方程：3x²+6x-9=02.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=3/5，BC=4，求AC的长。四、证明题（10分）已知：AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为E，求证：CE=DE。五、拓展题（14分）如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，点D是BC的中点，以D为圆心，DC为半径作⊙D，求证：AB是⊙D的切线。（注：图略，可自行画图理解）第8天一、选择题（每题3分，共10分）1.二次函数y=-x²+4x-3的图像与x轴的交点个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个2.下列说法正确的是（）A.相似三角形的对应角相等，对应边成比例B.相似三角形的对应边相等，对应角成比例C.相似三角形的周长相等D.相似三角形的面积相等二、填空题（每题3分，共10分）1.计算：tan60°-√3=________。2.若⊙O的半径为6cm，圆心O到直线l的距离为4cm，则直线l与⊙O的位置关系是________。三、解答题（每题8分，共16分）1.已知二次函数y=2x²-4x+1，用配方法将其化为y=a(x-h)²+k的形式，并写出顶点坐标。2.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=8，求AC和BC的长。（注：图略，可自行画图理解）四、证明题（10分）已知：在△ABC中，∠B=∠C，点E、F分别在AB、AC上，且BE=CF，求证：△BEF≌△CFE。五、拓展题（14分）某商店销售一批服装，每件售价为150元，可获利25%，求每件服装的进价；若每件服装按售价的八折出售，可获利多少元？每件的利润率是多少？第9天一、选择题（每题3分，共10分）1.若一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，则下列等式成立的是（）A.b²-4ac>0B.b²-4ac=0C.b²-4ac<0D.b²=4ac+12.如图，在⊙O中，OA⊥OB，若OA=2，则弧AB的长是（）（注：图略，可自行画图理解）A.πB.2πC.4πD.8π二、填空题（每题3分，共10分）1.二次函数y=-x²+2x+8的图像与x轴的两个交点之间的距离是________。2.已知△ABC∽△DEF，∠A=50°，∠B=60°，则∠F=________°。三、解答题（每题8分，共16分）1.解一元二次方程：x²-5x+6=02.计算：sin45°·cos45°+tan30°·sin60°四、证明题（10分）已知：PA是⊙O的切线，A为切点，AB是⊙O的直径，求证：∠PAB=90°。五、拓展题（14分）已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2，-3），且经过点（3，1），（1）求该二次函数的解析式；（2）求该函数图像与x轴的交点坐标；（3）当y>0时，x的取值范围是多少？第10天一、选择题（每题3分，共10分）1.下列线段中，能成为直角三角形斜边的是（）A.3cm、4cm、5cmB.2cm、3cm、4cmC.1cm、2cm、3cmD.4cm、5cm、6cm2.二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图像经过点（0，0），（1，2），（2，3），则a、b、c的大小关系是（）A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a二、填空题（每题3分，共10分）1.若tanα=√3（α为锐角），则α=________°，cosα=________。2.⊙O的半径为5cm，弦AB=6cm，则弦AB所对的圆心角的度数是________。三、解答题（每题8分，共16分）1.已知在△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，求AB的长及sinB的值。2.解一元二次方程：2x²-5x-3=0四、证明题（10分）已知：在▱ABCD中，AB=BC，求证：▱ABCD是菱形。五、拓展题（14分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为直径作⊙O，交AB于点D，过点D作DE⊥BC于点E，（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AC=4，BC=3，求DE的长。（注：图略，可自行画图理解）第11天一、选择题（每题3分，共10分）1.二次函数y=3(x+1)²-2的图像，可由二次函数y=3x²的图像（）得到A.向左平移1个单位，再向下平移2个单位B.向右平移1个单位，再向下平移2个单位C.向左平移1个单位，再向上平移2个单位D.向右平移1个单位，再向上平移2个单位2.若△ABC∽△DEF，相似比为1:2，则它们的面积比是（）A.1:2B.1:4C.2:1D.4:1二、填空题（每题3分，共10分）1.一元二次方程x²-6x+9=0的根是________。2.已知sinα=1/2（α为锐角），则cosα=________，tanα=________。三、解答题（每题8分，共16分）1.计算：√3tan60°+2sin30°-cos60°2.已知二次函数y=x²-4x+3，求其图像的顶点坐标和对称轴，并画出函数的大致图像（可简要描述图像特征）。四、证明题（10分）已知：在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE=DF。五、拓展题（14分）某果园有100棵苹果树，每棵树平均结600个苹果，现准备多种一些苹果树以提高产量，但是如果多种树，那么树与树之间的距离和每棵树所接受的阳光就会减少，根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个苹果，设多种x棵苹果树，果园总产量为y个，（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当多种多少棵苹果树时，果园总产量最大？最大总产量是多少？第12天一、选择题（每题3分，共10分）1.如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠ACD=30°，则∠BAD的度数是（）（注：图略，可自行画图理解）A.30°B.45°C.60°D.90°2.一元二次方程x²+2x-1=0的解是（）A.x₁=1+√2，x₂=1-√2B.x₁=-1+√2，x₂=-1-√2C.x₁=2+√2，x₂=2-√2D.x₁=-2+√2，x₂=-2-√2二、填空题（每题3分，共10分）1.二次函数y=-2x²+4x+1的最大值是________。2.已知⊙O的直径为12cm，点A到圆心O的距离为7cm，则点A与⊙O的位置关系是________。三、解答题（每题8分，共16分）1.解一元二次方程：(x+2)(x-3)=62.如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=1，DB=2，AE=2，求EC的长。（注：图略，可自行画图理解）四、证明题（10分）已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的中线，求证：CD=1/2AB。五、拓展题（14分）已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图像与x轴交于点A（-2，0）、B（4，0），与y轴交于点C（0，-8），（1）求该二次函数的解析式；（2）求△ABC的面积；（3）若点P是该二次函数图像上的一点，且S△PAB=2S△ABC，求点P的坐标。第13天一、选择题（每题3分，共10分）1.下列函数中，当x>0时，y随x的增大而增大的是（）A.y=-x²+1B.y=-x+1C.y=x²-1D.y=1/x2.若锐角α满足cosα=1/2，则α的度数是（）A.30°B.45°C.60°D.90°二、填空题（每题3分，共10分）1.相似三角形的对应高的比等于________。2.⊙O的弦AB=8cm，圆心O到AB的距离为3cm，则⊙O的半径是________cm。三、解答题（每题8分，共16分）1.计算：sin60°·cos30°-tan45°·tan30°2.已知二次函数y=2x²-8x+5，求当x取何值时，y有最小值，最小值是多少？四、证明题（10分）已知：AB、CD是⊙O的两条直径，求证：四边形ACBD是矩形。五、拓展题（14分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点E、F分别在AC、BC上，且AE=CF，EF的中点为D，连接CD并延长至点P，使CD=DP，连接PA、PB，（1）求证：四边形PAEB是平行四边形；（2）求PA的最小值。（注：图略，可自行画图理解）第14天一、选择题（每题3分，共10分）1.一元二次方程2x²-7x+5=0的根的情况是（）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，若AC=6，AD=4，则AB的长是（）（注：图略，可自行画图理解）A.9B.10C.11D.12二、填空题（每题3分，共10分）1.二次函数y=x²+2x-3的图像与y轴的交点坐标是________。2.若△ABC∽△DEF，AB=3，DE=6，EF=8，则BC的长是________。三、解答题（每题8分，共16分）1.解一元二次方程：3x²-4x-1=02.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=10，求BC的长。四、证明题（10分）已知：在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，且AD=AE，求证：△BDC≌△CEB。五、拓展题（14分）某商场购进一批进价为20元/件的商品，售价为x元/件，每天的销售量为y件，且y与x之间的函数关系式为y=-2x+100，设每天的利润为w元，（1）求w与x之间的函数关系式；（2）若每天的利润不低于200元，求x的取值范围；（3）当售价定为多少元时，每天的利润最大，最大利润是多少？第15天一、选择题（每题3分，共10分）1.二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图像开口向上，且与y轴交于负半轴，则（）A.a>0，c>0B.a>0，c<0C.a<0，c>0D.a<0，c<02.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，若OA=3，AP=4，则OP的长是（）（注：图略，可自行画图理解）A.5B.6C.7D.8二、填空题（每题3分，共10分）1.一元二次方程x²-5x=0的根是________。2.计算：sin30°+cos30°+tan30°=________（结果保留根号）。三、解答题（每题8分，共16分）1.计算：2cos60°+√3sin60°-tan45°2.已知二次函数y=-x²+2x+3，求其图像与x轴的交点坐标，并求出两交点之间的距离。四、证明题（10分）已知：在△ABC中，DE∥BC，且DE=1/2BC，求证：D、E分别是AB、AC的中点。五、拓展题（14分）如图，在⊙O中，AB是直径，C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D，若∠D=30°，CD=2√3，求⊙O的半径及AB的长。（注：图略，可自行画图理解）第16天一、选择题（每题3分，共10分）1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（）A.2cm、3cm、4cmB.3cm、4cm、6cmC.5cm、12cm、13cmD.4cm、6cm、7cm2.二次函数y=3(x-2)²+5的最小值是（）A.2B.3C.5D.-5二、填空题（每题3分，共10分）1.若△ABC∽△DEF，相似比为3:2，则它们的周长比是________，面积比是________。2.⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系是________。三、解答题（每题8分，共16分）1.解一元二次方程：x²-7x+12=02.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=4/5，AB=10，求AC和BC的长。四、证明题（10分）已知：在▱ABCD中，对角线AC⊥BD，求证：▱ABCD是菱形。五、拓展题（14分）已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图像经过点（1，-1），（2，-4），（0，2），（1）求该二次函数的解析式；（2）求该函数图像的顶点坐标；（3）当x取何值时，y随x的增大而减小？第17天一、选择题（每题3分，共10分）1.一元二次方程x²+4x+4=0的根的情况是（）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根2.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，BC=2，则AC的长是（）（注：图略，可自行画图理解）A.2√2B.2√3C.4D.4√2二、填空题（每题3分，共10分）1.二次函数y=-2x²+8x-5的顶点坐标是________。2.已知tanα=√3/3（α为锐角），则α=________°，sinα=________。三、解答题（每题8分，共16分）1.计算：sin45°+cos60°-√3tan30°2.如图，在⊙O中，弧AB=弧BC，∠AOB=60°，求∠BOC和∠AOC的度数。（注：图略，可自行画图理解）四、证明题（10分）已知：在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD=BE，求证：△ABC是等腰三角形。五、拓展题（14分）某服装店销售一批羽绒服，每件进价为800元，售价为1200元，每天可卖出10件，为了扩大销售，增加利润，商店决定降价销售，经调查发现，每件羽绒服每降价50元，每天可多卖出5件，设每件羽绒服降价x元，每天的利润为w元，（1）求w与x之间的函数关系式；（2）当每件羽绒服降价多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？第18天一、选择题（每题3分，共10分）1.下列函数中，是二次函数的是（）A.y=2x-3B.y=2x²-3C.y=2/xD.y=2x³2.如图，PA是⊙O的切线，A为切点，AB是⊙O的