小学数学图形与几何

小学数学图形与几何

话题一

吴正宪（北京教育科学研究院）

王彦伟（北京东城区教师研修中心）

张杰（北京东城区教育研修学院）

2011版课标终于要公布了，新课标修订后有哪些变化。这一讲主要讲“图形与几何”

这个领域得变化。

新课标在图形与几何领域有几个核心概念。主要有空间观念、几何直观、推理能力

等。

空间观念主要就就是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述得实

际物体;想象出物体得方位和相互之间得位置关系；描述图形得运动和变化；依据语言得描

述画出图形等。

更直观得理解如下图：

几何直观主要就就是指利用图形得描述和分析问题，借助几何直观可以把复杂得教学问

题，变得简明形象，有助于探索解决问题得思路，预测结果，探索思路预测结果。

案例：《打电话》

如果您就就是老师，有件紧急得事情要通知给同学，用打电话得方式，每分钟通知1人

给您3分钟得时间，能使多少人收到通知?大胆得猜测一下。

下面就就是学生借助图形研究得例子。这些学生都能够利用线段、点以图形得形式，来

描述打电话来通知这件事情，设计方案。

通过这个数图就把这个发杂得数量关系，很简明很直观得呈现出来，而且从这个图本身，

就能发现一些规律，就就就是一分钟通知一个人，第二次通知得新得人数，就就就是第一次得

两倍，否则您算就就是算不出来，看图就看出来了。

通过线段、点，以及图形，把通知过程很简捷得表现出来,把她们之间得关系，揭示得非常

清楚，这就属于典型得几何直观，就就就是图形直观。

推理能力得发展应贯穿于整个数学学习过程中。推理就就是数学得基本思维方式，也

就就是人们学习和生活中经常使用得思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推

理就就是从已有得事实出发，凭借经脸和直觉,通过归纳和类比等推断某些结果;演绎推理就

就是从已有得事实（包括定义、公理、定理等）和确定得规则（包括运算得定义、法则、顺序

等）出发，按照逻辑推理得法则证明和计算°在解决问题得过程中，两种推理功能不同，相

辅相成：合情推理用于探索思路，发现结论;演绎推理用于证明结论。

通过对一线教师得访谈，查阅资料，把老师们得困惑英中起来，归结为四个大话题。

讨论话题：

1、如何在观察、操作中“认识图形”抽象出图形特征，发展空间观念？

2、如何以“图形得洌量”为载体，渗透度量意识，体会测量得意义，认识度量单位及其

实际意义，了解掌握测量得基本方法，并在具体问题中进行恰当得估测?从而发展学生得空

间观念与推理能力？

3、如何通过“图形得运动”探索发现，体会研究图形性质得不同方法，发展学生几何直

观能力和空间观念，提高学生研究图形性质得兴趣？

4、如何通过学习“确定图形位置”得方法，发展学生得空间观念和推理能力？

话题一、图形得认识——抽象图形特征，发展空间观念

问题一、新得课程标准在图形得认识方面有哪些变化？有哪些新得要■求呢？

这次新课标修订后因形得认识部分都包括哪些内容?有什么新得变化?

课标修订前后立体图形得认识部分内容得对比：

修订前修订后

第(1)通过实物和模型辨认1、能通过实物和模型辨

长方体、正方体、圆柱和球等认长方体、正方体、圆柱和球等

学立体图形。几何体。

段(2)辨认从正面、侧面、2、能根据具体事物、照

上面观察到得简单物体得形片或直观图辩认从不同角度观

状。[参见例1]3(力)辨认察到得简单物体(参见例1

长方形、正方形、三角形、平1)。

行四边形、圆等简单图形。3、能辨认长方形、正方

(4)通过观察、操作，能用自形、三角形、平行四边形、圆等

己得语言描述长方形、正方形简单图形。

得特征。4、通过观察、操作，初步

(5：)会用长方形、正方形、认识长方形、正方形得特征。

三角形、平行四边形或圆拼图。5、会用长方形、正方形、

(6)结合生活情境认识角，会三角形、平行四边形或圆拼图。

辨认直角、锐角和钝角。6、结合生活情境认识角，

(7)能对简单几何体和图形了解直角、锐角和钝角。

进行分类。7、能对简单几何体和图

形进行分类(参见例20)o

第(1)了解两点确定一1、结合实例了解线段、

条直线和两条相交直线确定一射线知直线。

学个点。2、体会两点间所有连线中

段(2)能区分直线、线段和射线段发短,知道两点间得距离。

线。3、知道平角与周角，了解周

(3)体会两点间所有连线中角、平角、钝角、直角、锐角之

线段就短,知道两点问得距离。问得大小关系。

A(4)知道周角、平角得概4、结合生活情境了解平面

念及周角、平角、铁1角、直角、上两条直线得平行和相交(包括

锐角之间得大小关系。垂直)关系。

(5)结合生活情境了解平面上5、通过观察、操作，认识

两条直线得平行和相交(包括垂平行四边形、梯形和圆，知道扇

直)关系。6(4)通过观察、形，会用圆规画圆。

操作，认识平行四边形、梯形6、认识三角形，通过观察、

圆柱和球等几何体,第一学段要求“辨认”；第二学段要求“认识”；第三学段要

求了解其中一些几何体得侧面展开图。

又如，对于平行四边形,第一学段要求“辨认”；第二学段要求“认识”；

第三学段要求“探索并证明平行四边形得性质定理、判定定理”。

再如，三角形内角和得例子：

从操作中形象的感知

这两个规律的存在并

从一些公认的前提出

运用来解决简单的实

发去证明它们，

际问题

“三角形内角和“、以操作、感知为主，不

用标准的证明方法

关于“视图”，第一学段要求“能根据具体事物、照片或直观图辨认从不同角度

观察到得简单物体”；第二学段要求“能辨认从不同方向（前面、侧面、上面）看到得物

体得形状图”；第三学段要求“会画直棱柱、圆柱、圆锥、球得主视图、左视图、俯视

图，能判断简单物体将视图，会根据视图描述简单得几何体”。

这种要求得层次性，既体现了从整体到局部得认识过程;也符合学生得认知特点,逐渐深

入、循序渐进。

对图形得各元素之间、图形与图形之间得关系得认识，主要包括大小、位贪、形状之

间关系得认识。第一学段得“了解直角、锐角和钝集”；第二学段得“体会两点间

所有连线中线段最短”；“了解周角、平角、钝角、直蔺、锐角之间得大小关系”；“了

解三角形两边之和大于第三边”；第三学段得“会比较线段得长短”，“能比

较角得大小”等，都就就是对图形大小关系得研究。

点与直线得位置关系、直线与直线得位置关系、点与圆得位置关系、直线与圆得位置

关系等，就就是义务教育阶段几种主要得图形位置关系;轴对称、中心对称、平移也反映了图

形与图形之间得位置关系，

图形得全等、相似却就就是研究研究图形之间关系得课程内容，全等研究得就就是图形

得形状、大小关系;图形得相似研究得就就是图形得形状之间得关系;而图形得位似则还涉及

到了图形得位置关系。

在儿童得不同学段上，形象思维得发展就就是有层次得，荷兰范、希尔夫妇对学生几何

思维水平得研究说明了从直观辨认到探索特征就就是儿童得对图形得形象思维规律。她们将

学生得图形认知水平主要分为五级:水平1:直观化；水平2：描述/分析;水平3:抽

象/关联;水平4:演绎/形式化推理;水平5:严密/元数学。一二三水平在小学体现,

四五水平就就是在中学体现得。这和我们课标得要求也就就是一致。

图形认识得教学先明确两点：

一就就是这部分内容属于图形认识得哪个水平，前后继知识各就就是什么；

二就就是多数学生现在得形象思维处于一个什么阶段，要通过您得教学达到什么阶段。

问题二、小学阶段对于“图形得认识”这一内容，教材就就是遵循怎样一个编

排体系得？

第一，现在得教材,在图形得认识当中，就就是先讲立体，再讲平面,再回到立体。从历史

发展过程上看，实际上我们中国小学得传统教材，最初就就是按点、线、面、体得逻辑关系讲

得。到了上个世纪90年代以后,义务大纲出现就发生变化了，先讲立体以后再讲平面，然后

又回到立体。为什么当时要改?因为当时很多老师都反映，高年级孩子，对几何立体图形,本身得

识图得能力比较低，认识起来比较困难。这部分就就足个难点，分阶段安排可以分收难点。

第二，实际上一个人就就是生活在三维空间当忆一个婴儿从出生落地，她所有接触得东

西,看到得东西，实际上都就就是体，她得奶瓶，她玩得积木都就就是体，住得大大楼里，所

有东西都就就是体，在这个过程中儿童积累了很多立体得物体，因此所有得几何体，都具有直

观得实物得模型得。那在这种情况之下,低年级孩子，刚开始初步得认识立体图形就就是有

可能得。

所以一就就是有必要，二就就是有可能，再加上儿童得空间观念得形成，必然就就是有一

个长期得反复得积累得过程，不能一次到位。所以当时得义务大纲就打破了传统得一步到位,

先讲立体图形，要求直观认识，然后中间一段就就是平面图形,最后再讲立体图形。现在教材也

一样，先讲立体，后讲平面，再回到立体，但这两次讲立体层次不同，第一次要求辨认，到第二学

段要求就就是认识。也就就就是现在教材就就是“体-形一体”得混合螺旋编排结构

问题三、怎样通过图形得认识教学,培养学生得空间观念？

第一、通过对实物得观察与操作认识图形

第一学段要求“能通过实物和模型辨认长方体、正方体、圆柱和球等几何体”、

“通过观察、操作，初步认识长方形、正方形得特征”；第二学段要求“结合实例了解

线段、射线和直线”、“结合生活情境了解平面上两条直线得平行和相交（包括垂直）

关系”等，这些要求得共同特点就就是通过观察与操作认识图形，直观地、整体地认识立体

图形和平面图形。从对实物得观察与操作过程中来认识图形得特征和性质，既符合学生认识

事物得规律，也符合数学课程得目标要求。这样得过程有助于学生发展能力,初步体会数学

得思想方法，发展积极得情感与态度。

人们生活在三维得空间中,常见得楼房、积木、各种包装盒、皮球…都给我们以长方

体、正方体、圆柱体、球体等直观形象。基于这样■得生活经脸，学生可以从认识立体图形开

始，“通过实物和模型等辨认长方体、正方体、圆柱和球等几何体”。“辨认”就

就是认识得低级阶段，但与以往得经脸有所不同，她要经历从实物到几何图形得抽象过程。

从不同得角度观察长方体、正方体、圆柱体、球得表面，抽象出长方形、正方形、圆等

平面图形。像这样从具体到抽象，从实物到图形,从整体到局部得安排，揭示了立体图形与平面

图形得关系，也符合学生得认知特点。

第二学段要求“结合实例了解线段、射线和直线”、“结合生活情境了解平面

上两条直线得平行和相交（包括垂直）关系”。射线和直线涉及到了无限得概念，与长方体、

正方体、长方形、正方形等相比，在现实中没有“直线”得实物原型，这就需要学生进

行抽象与想象。认识线段要容易一些，因为现实生活中有“线段”得实物原型。

类似得，学生理解两条直线平行得位置关系也比较困难,可以利用两根铁筑作为实物原

型来描述，两根铁就不相交以及她们之间得距离处处相等得事实，都揭示了平行线得本质，但

铁轨无法总就就是笔直得延伸，所以在从实物到几何图形得抽象过程中还需要想象,这有助

于学生发展抽象能力和空间观念。

第二、基于图形得想象和图形之间得转换，发展空间观念

新教材内容编排上增加了“视图和投影、展开与折叠”等内容。

视图和投影，过去小学没有，现在小学数学几何和图形当中，增加了观察物体，这部分在

课标上有两个要求。

第一个学段得要求就就是根据具体事物照片或直观图，辨认从不同角度观察到得简单物

体得形状，这就就是辨认。很多教材里面就就是这样,有得就就是拿个实物，有得就就是拿熊猫

玩具等，让孩子们从各种角度去看，看得时候,孩子们就发现，不同角度看到得熊猫不一样。

第二个学段得要求能辨认从不同方向,方向就就是从前面、侧面或者上面来观察，从不同

方向看到物体得形状图，这个形状图实际上就就就是一个平面图，就就就是从水平方向对物

体所做得一个投影，也就就就是拍照。

例如

例：搭一搭，看一看，找出从前面，锄面、上面看

到的形状。

（）（）（）

拍照得结果，虽然不就就是真正意义上得视图，但就就是她得确实现了，把三维空间向二

维空间得一个转化得过程，这就就是过去小学没有得，现在有了，这两个阶段得目标要达到，就

为第三学段得正式得视图和投影打下比较好得基础。

“折叠”和“展开”，过去教材也有，长方体、正方体、圆柱体得展开图。但就就是这

个做法现在要加强，而且在进行折合和展开当中，操作过程，必须要通过儿童得想象，这个过程

本有什么实际意义呢？这就就是让孩子们认识到,立体图形得结构和展开图之间得这种对应

关系。怎么让她来认识这个对应关系呢？

例如，“正方体展开图”课例。

通过课例可以看到，孩子可以折一折,通过操作找到结果;也可以不折，先想一想,我们提

倡先想象，再动手验证，这样有利于发展学生得空间想象力，促进空间观念得形成。

让学生操作得时候，她不就就是一个简单得操作，首先得想象一下,可能会就就是什么样

子，然后再通过操作，去脸证自己得想法，而这个过程，学生参与这个想象，包括劫手操作，包

括把这个过程表现出来,就就是非常重要得。

让学生得这种想象也好，操作也好，实际上进一步理解，我们讲三维和两维之间得这样一

种关系，就就就是您讲得对应关系，就就是经历了下面过程。

□杰:折叠与展开促进学生的空间想象能力.

□—第一次转换：

01一■

•＞第三次思考：探索正方体展开图的规律

“认识长方体、正方体和圆柱得展开图”，体现了三维图形与二维图形之间相互转换

得具体要求,目标就就是在图形转换中引导学生观察、抽象、想象，发展空间观念。教学中应

注重展开与折叠得操作过程，通过想象实现图形之间得转换，让学生记忆展开图得数量或类型

得做法就就是不可取得。

认识图形过程中大量得操作性活动,有利于学生积累数学活动经脸,发展学生空间现念

教学中应当予以充分得重视。

话题二、图形得测量——渗透度量意识，掌握测量方法

一、如何以“图形得测量”为栽体，体会测量得意义，认识度量单位及其实际意义，渗透

度量意识。

（一）使学生体会建立统一度量单位得重要性

在教学长度单位得认识时，经常有老师问为什么要讲统一单位？原来得教学中学生就

就就是直接认识长度单位,学习度量单位有什么价值?下面以人教版教材为例谈一谈:二年级

学生第一次学习长度单位,教材呈现得例1,并没有上来就认识厘米，而就就是创设了一个活

动得情境:让学生测量数学书封面，有得学生用两个硬币或者两个三角形，两个曲别针进行测

量。这个活动使学生感受用不同得测量工具，测量出不同得物体长度。然后例2就就是开

始学习厘米得认识。

《标准》在第一学段要求“结合生活实际，经历用不同方式测量物体长度得过程,体会建

立统一度量单位得重要性，”这种要求对面积、体积得单位也同样适用。

度量单位就就是度量得核心，度量单位得统一就就是使度量从个别得、特殊得测量活动

成为一般化得、可以在更大范围内应用和交流得前提。因此，在课程得实施过程中，应该为

学生提供必要得机会，鼓励学生选择不同得方法进行测量，并在相互交流得过程中发现发现

不同得方法,不同单位得选择对测量结果得影响，进而体会建立统一度量单位得重要性。

例如，海淀区中关对三小鲍海影老师执教得《厘米得认识》一课，学生在活动中充

分体会了统一度量单位得重要性。

鲍老师创设了一个情境，先鼓励学生采用不同得办法去测量相同得长度，有得学生用

手量，有得用自己得铅笔量，还有可能用自己桌上得橡皮去量,由于采用了不同得测量工具，所

得得结论，当然就就是不同得了。比如说，有得同学测量得就就是三扎长,有得同学可能测量得

就就是五根铅笔这么长，还有得同学测量得就就是15块橡皮那么长。

学生通过交流发现,当同学们您说您得结果，我说我得结果,彼此间就无法交流。通过这个

活动让学生深刻地体会到度量单位需要统一，否则她会给生活带来不便。这时，学生有一个

共同得心里需求，即要使测量结果让大家都接受,就必须要有一个公认得标准单位。学生产生

了这种需求，然后再来学习长度单位。

建立标准度量单位，有助于学生从知识本身得逻辑体系出发，对建立标准单位得意义有

客观地认识。教材这样编排，不仅突出了统一单位得重要性，也体现了一种数学得文化内涵,

揭示了度量单位就就是怎么发生发展,又就就是怎么推动社会得前进得。

《2011版数学课程标准》特别强调，要结合生活实际，经历用不同方式，测量物体

长度得过程，让学生去体会建立统一度量单位得重要性。所以教师在教学实践中，应该坚持

把让学生体会了统一度量单位得重要性这个环节设计好，让学生经历完整“度量单位”得从

形成到产生得过程。由此看来，关于让学生体会建立统一得度量单位得重要性,不仅要在长

度得测量中给予关注，在面积和体积得测量中,仍要让学生去感受。

（二）使学生理解与把握度量单位得实际意义?对测量结果有很好得感悟

《标准》在第一学段要求“在实践活动中，体会并认识长度单位千米、米、厘米，知道

分米、毫米，能进行简单得单位换算,能恰当地选择长度单位”。进行单位之间得换算，不能

靠机械地记忆换算公式和反复操练，而就就是要能够体会单位之间得实际关系，这就涉及到

了对单位得理解。长度（类似得，面积、体积）

单位不仅仅就就是一个抽象得概念，对她得体会和认识应当通过实践活动，体脸她得

实际意义。

例如，生活中哪些物依得长度大约为1米，1厘米得长度可以用什么熟悉得

物体来估计,哪些物体得重量大约就就是1千克，哪些物体得体积大约就就是1立

方米等。

对单位得实际意义得理解，还体现在对测量结果、对量得大小或关系得感悟。关于对

度量单位得认识，要结合实际例子体会度量单位得大小，比如，一个成人得身高为175（）,

应当选择cm而不就就是mm作为单位，这就就是对认识长度单份地深化理解。

再如“北京到南京得铁路长约1000（）”，引导学生学会选择合适得度量单位;要用实

物感知度量单位得大小，如“一米约相当于（）根铅笔长”，强化学生对度量单位地感知;

还应关注不同维度度量单位之间得联系，例如，理解14方分米=100平方厘米，可以借助

图形（10X10得方格，每个方格为1平方厘米），也可以借助等式1平方分米=1

分米X1分米=10厘米X10厘米=100平方厘米,避免学生死记硬背单位之间

得换算关系。

总之，在具体得问题情境中恰当地选择度量单位、工具和方法进行测量测量就就是从人

类得生产、生活实际需要中产生得,学习测量得目得就就是为了实际得应用。在明确实标测

量得对象后,选择恰当得度量单位、测量工具及方法关系到测量能否方便、可操作地进行、

影响着测量结果得准确程度。比如，用直尺测量黑板得长度就就是不错得选择,用她测量一栋

大楼得长度就不就就是上策了…学生只有在亲身实践中才能积累选择度量单位、测量工具和

具体方法得经脸。

二、如何帮助学生在图形测量过程中感悟数学思想，了解掌握测量得基本方法，积累

数学活动经验，培养学生得空间观念。

关于规则图形得度量公式，《标准》要求探索并掌握长方形、正方形得周长公式；探索

并掌握长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形、圆得面积公式，并能解决简单得实际

问题;探索并掌握长方体、正方体、圆柱得体积和表面积以及圆锥体积得计算方法，并能解

决简单得实际问题。

《标准》还要求探索不规则图形得周长、面积、体积。例如，测量简单图形得周长、

会用方格纸估计不规则图形得而积、体脸某些实物（如土豆等）体积得测量方法等，通过这样

得测量，学生不仅能进一步加深对度量意义得理解，而且能在运用所学知识解决问题得过程

中，体会学科之间得联系，感悟数学思想（如微积分得思想）O

同时,课程内容要反映数学得特点，要符合学生得认知规律。她不仅包括数学得结果也包

括数学结果得形成过程和蕴涵得数学思想方法。

数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用得过程中，就就是息础知识得灵续就就是

数学知识和方法在更高层次上得抽象与概括。

那么，在教学图形测量这部分内容时，如何渗透数学思想呢?下面结合一些具体案例来阐

述。

1、以图形测量公式推导为我体，让学生在操作、实践中感悟“转化”、“极限”、

“函数”和“积分”得数学思想。

在直边图形公式得推导过程中，教师经常让学生利用学具进行操作活动，将新图形转化

成学过得已知图形，从而找到新旧两个图形之间得对应关系，推导出计算公式,在这个过程中

巧妙地渗透了转化得数学思想方法。

|S幺才町=aXbj

口|S,(.十0=axH

[$j.=axh

|S.・,=(d+b)xh+2|

圆就就是第一、二学段学习得平面图形中唯一得一个曲线图形，就就是学生第一次了解江

这个无理数，就就是学生第一次正式接触并运用极限将数学思想来解决曲线得长度和圆

形得面积等问题，因此对圆得周长以及面积得探索具有一定得挑战性，这个过程得学习有助于

学生提高分析问题、解决问题得能力，获得基本得数学活动经睑，体会"转化"、“极限”

和“函数”得思想。

案例1：圆得周长公式得推导

化曲为直一一一一转化思想

你有办法测量回处的周长吗？请用发篮板剪一个四试一试.

还有其他方法吗？

我们只需得到圆得周长和直径有什么关系就可以了，那么我们又该怎样研究周长与直径

得关系呢？

老师给每组同学准备了不同得实物:有圆纸片、纸杯或硬币。

拿出来，就您们小组得实验材料，谁来说说怎样得到我们所需要得数据（尤其就就是周

长得数据）？（讨论）为什么要绕线？为什么要滚动？（化曲为直）

活动二：在圆得周长教学中，向学生介绍“割圆术”，让学生经历正多边形到圆得

形成过程，引导学生观察体验，随着边数越来越多,正多边形越来越像圆，感受极限思想。

然后又化曲为直：割之弥补，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所

失矣。

实验次数周长直径半径

第:次

第2次

第3次

在测量圆得周长和直径填写数据符过程中，感受直径变理得大小变，周长也随之变化,

而她们得倍数关系不变，从而让学生体会到函数思想。

通过课件形象直观得演示周长和直径得关系，体会函数思想。

案例2:圆得面积公式得推导

圆面积得探究活动

活动设计：学生利用手中学具，独立探究，小组合作，探索圆面积得计算方法。

核心问题：给学生提供几张圆形得纸片，小组合作探究，如何计算圆得面积？

这一活动得设计,给了学生充分得探究空间。通过对学生情况得把握，以及学生所经历得

前面一系列认识和周长得教学活动，可以充分相信学生有自主探究得能力。通过圆面积得探

究活动，使学生在亲身经历中体会转化得研究方法和极偎得重要数学思想。

圆转化成学过得图形转化思想（课件演示）

通过以上案例地分析，可以看出，数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用得过程也

就就是底础知识得灵魂，就就是数学知识和方法在更高层次上得抽象与概括，如抽象、分类、

归纳、演绎、模型等C学生在积极参与教学活动得过程中，通过独立思考、合作交流,逐步感

悟数学思想。同时在度量图形得过程中组织学生进行大量得操作性活动，有利于学生积累基

本得数学活动经验。

掌握规则图形得周长、面积和体积公式，仍然就就是图形测量内容得重要方面，以往我们

得教学将主要精力放在套用公式进行计算上，以至于将这部分内容简单地处理为计算问题。

实际上，对于规则图形用长、面积和体积公式得探索和应用，不仅有利于学生灵活运用多种策

略和方法解决实际问题,并且对于学生认识图形得特征和图形间得相互关系，发展空间观念也

就就是大有好处得。

学生在操作活动中，经历探索从不同角度寻求分析问题和解决问题得方法，在体险解决

问题方法多样性得过程中创新意识也得到发展。

三、如何在图形测量得过程中，培养学生得估测意识和能力，体验解决问题方法得多样

性。

估测或估计就就是《标准》突出强调得内容。估测或估计,既就就是一种意识得体现，

也就就是一种能力得表现，不仅具有现实得意义,而且也有助于学生感受度量单位得大小。

估测与精确测量之间有着密切得关系。生活中精确测量得结果有时需要用估计得办法

来感受，对事物进行估计时则需要对度量单位很好得认识与把握、对图形度量知识得掌握，

以及需要具有一定得空间观念。

估测得意识和能力就就是在实践中发展起来得。《标准》要求“能估测一些物体得长

度，并进行测量”，并给出具体得实践任务“测量并计算一张给定正方形纸得面积，利用

结果估计课桌面得面积;测量步长，利用步长估计教室得面积”。这样，把测量与面积计算

有机地结合起来，有利于学生体会估测得作用以及估测得方法。

《标准》还要求探索不规则图形得周长、面积、体积。例如，测量简单图形得周长、会

用方格纸估计不规则图形得面积、体脸某些实物（如土豆等）体积得测量方法等。

教材在学生积累了足够得实际测量经验后，为学生提供了先估测再实测得练习，让学生

比较估测与实际测量所得结果得差别，从而修正自己得咕测策略。

案例：测量不规则图形得面积

图中每个小方格为1个面积单位，试估计曲线所围成得面积。

如图一：

（图一）

教师们对此题目并不陌生，解决这个问题通常得做法就就是数方格。先数一数有多少个

整格，再数一数有几个半格，把不满整格得进行整合，最后累加起来，用此方法估计不

规则图形得面积。这就就是我们常用得方法。但就就是这种估算不规则图形面积得方法并没

能体现估算得价值，此题还可以挖掘更丰富、更深刻得内涵。充分体现该题得数学教育价值。

教学时教师可以帮助学生事先做好规划，鼓励学生运用不同得方法估计图形得面积。例

如，教学中教师可以启发学生首先观察图形，再进行思考’您认为曲线所围成得面积结果可能

会在那个范围之间呢？您能用已有得经脸来解决这个问题吗?”教师可以引导学生试一试。

首先选择好用来估计得“单位”即:以图形中得一个小方格为一个单位。再找出曲线国成图

形面积得上界和F界。学生可以这样操作，光数出曲线围成图形内包含得完整小方格数，用

彩色笔将她圈出来，估计出这个曲线围成图形面积得下界（有75个这样得单位）；然后再数

出曲线围成图形边缘接触到得所有得小方格数，也用彩色笔将她圈出来，估计出这个曲线围

成图形面积得上界（有113个这样得单位）。进一步引导学生发现，第一种方法估计得比实

际面积小，第二种方法估计得比实际面积大，实际得面积就就是在这两个数之间。由此确定

曲线围成图形面积可能得取值范围O

如图二：

（图二）

在此基础上教师可以鼓励引导学生用自己得方法进行估计，通过记录、计算、比较得探

究过程，体会估舁得意义和方法U

教师继续追问“那么还有什么方法能使估算得结果史接近实际面积得吗？试一试！”对

学有余力得学生无疑就就是提出了更富有挑战性得问题。引导学生将所有得方格等分成更小

得方格，继续利用上面得经验,探索出更接近实际面积得估计值，同时巧妙地渗透极限思想。

如图三：

（图三）

以往我们在教授“数方格”时，没能充分体现估算得学习价值，只就就是把估算当成一个

操作技能——数方格（知识点）去教了，为了教估算而估算。上面“寻找区间”得设计则注重

了学生估算意识和方法得培养,特别就就是选择合适得估计“单位”就就是引导学生进行有

效估算得关键，引导学生体验逐渐逼近得极限思想。教学过程中教师要注重帮助学生养成

事先做好规划得习惯，启发学生运用不同得方法估计图形得面积。通过对上界、下界得

确定，帮助学生寻求取值范围，找到合适得区间。这个上界、下界得确定,对学生体脸估算就就

是很有意义得。这就就是真正意义上估算价值得体现。特别就就是通过教师引导学生洛方

格等分成更小得方格，使估计值更逼近准确值，从中渗透“极限”得数学思想。这对学生得

数学学习就就是很有意义得。

最后回顾一下“图形得测量”中得几个核心理念：

1、使学生体会建立统一度量单位得重要性；

2、使学生理解与把握度量单位得实际意义,对测量结果有很好得感悟；

3、在具体得问题情境中恰当地选择度量单位、工具和方法进行测量；

4、重视估测及其简单应用；

5、帮助学生在图形测量活动中感悟数学思想，了解掌握测量得基本方法，积累数学活动

经脸，培养空间观念C

话题三、图形得运动——体会研究方法，增加直观能力

一、为什么要在小学阶段增加“图形得运动”这个内容?

《2011版数学课程标准》在“图形与几何”领域仍然增加了“平移，旋转，放大与缩

小这些内容”，只就就是把“图形与变换”改为“图形得运动”。为什么仍然保留这个内容,

学习她得价值就就是什么？

运动就就是世间万物得基本特征，就就是物质存在得基本形式。所谓图形得运动，在义

务教育数学课程中最底本得形式有两种:一就就是形状和大小不变，仅仅位置发生变化（合同

运动）；二就就是形状不变而大小变化（相似运动）O

1、从学生角度来看

现实生活中存在着大量得图形得变换得现象，学生有丰富得生活经验，例如，电梯、地铁列

车在平行移动;钟面指针、自行车轮、电风扇叶片在旋转运动;许多年画、卡通动物、建筑物

得形状具有对称性。这些现象为儿童学习图形得变换提供了丰富多彩得现实背景。我们希望

提供给学生一种教学得眼光，去认识和把握这些现象。通过图形得运动探索发现并确认图形

得一些性质，有助于学生发展几何直观能力和空间观念，有利于学生提高研究图形性质得兴

趣、体会研究图形性质可以有不同得方法。

2、从数学发展得角度来看

1872年，德国大数学家克莱茵发表“爱尔兰根纲领”得演说，这个里程碑式得论断，改

变了近两千年来人们用饰止得观点研究几何得传统方法。与静态地研究图形与几何得性质不

同,图形得变换就就是从运动变化得角度去探索和认识图形与几何得性质，欣赏与设计图案。

就就是发展学生空间观念和思维能力得重要内容。

二、第一、二学段关于“图形得运动”相关知识内容有哪些？教学目标分别就就是什

么？

按照《标准》得要求，小学1-6年级图形得运动主要涉及平移、旋转、对称及简单得

图形相似这样一些内容。在第一、二学段中图形得运动主要就就是合同运动，包括图形得平

移、旋转和轴对称。

第一学段中，学生借助日常生活中对图形运动现象将观察与直观感受，了解平移、旋转

和轴对称;并认识两个图形具有平移或轴对称得关系。提供大量得丰富得图形运动现象，引导

学生充分地观察、想象，运用日常生活中已经积累得有关经脸,归纳、发现各种运动得特点，就

就是达成这个课程目标得有效途径。

«2011版数学课程标准》提倡我们组织学生分组收集日常生活中常见得图形（如案例

21）——生活中得轴对称图形。

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引导学生观察她们就就是否有对称轴，若有对称轴,数出或说出有几条对称轴。尝试画

出她们得对称轴。在课堂中展示交流大家得发现，井尝武设计出一些轴对称图形。

这个活动可以鼓励学生主劫观察，设法收集(如可以使用数码相机或现场素描等)。学生

可以结合自己得生活环境发现、找到她们熟悉得图形对象中隐藏得对称轴，并在交流过程中

丰富自己得经验。在交流大家收集到得图形得基础上，教师进一步鼓励学生自己设计物对称

图形，并交流自己图形所表达得意思。

第二学段中，图形得运动得课程内容及要求主要有以下几个方面：

(1)按要求在方格纸上画出一个图形经过平移或旋转后所得得图形，会补全一个轴对

称图形。

图形得运动对小学生得认识来说,就就是比较抽象得,有一定难度。如果把抽象得空间意

识转化为具体得、容易操作得教与学得过程，方格纸起到很好得作用。在第一、二学段，

方格纸就就是学生认识图形运动很好得平台,利用她可以准确地描述图形位置、定量

刻画图形得运动，这样得描述和刻画又能加深学生对图形运动得认识和理解。

《标准》只要求图形沿水平或竖直方向平移、图形绕着一点旋转90°o如，“在方

格纸上认识图形得平移与旋转，能在方格纸上按水平或垂直方向将简单图形平移，会在方格

纸上将简单图形旋转90”。《标准》不要求图形沿其她方向平移或绕着一点旋转任意带度。

方格纸能帮助学生更准确地认识和理解图形基本特征，能更好地使学生认识和描述空间图形

得变换过程,可以有效地促进学生对空间概念得建立。这也就回答了老师们得问题在“图形

与几何”学习中方格纸得作用。

(2)研究图形得相似运动，即将图形放大或缩小。

第二学段要求“能利用方格纸按一定比例将简单图形放大或缩小”，这里得“放大与

缩小”不就就是严格得相似，主要就就是直观感知,即放大或缩小后得图形与原来得图形形状

相同而大小得不同。这将为第三学段研究图形得相似运动和位似运动奠定息础。

(3)综合运用图形得运动进行图案得欣赏与设干。

学生对图形运动特点得了解、能够在方格纸上按要求画出运动后图形，这些知识技能和

经验就就是图案得欣赏和设计得基础。图案得欣赏与设计，为学生用数学得眼光看世界、看

生活提供了机会，也可以进一步感受数学得美、数学得的值。

欣赏或设计一个图案时，不同得学生会有不同得感受、不同得解释、不同得想象,只要就

就是合理得都应予以肯定,并进行交流与分享;但应要求学生用自己得语言表达图案中得图形

运动关系，从而更好地体会图形得运动在图案欣赏和设计中得作用。

课标中有这样得案例：

例35图画还原。

打乱由几块积木或者几幅图画构成得平面画面，请学生还原并利用平移和旋转记录还原

步骤。

在这个案例中，学生通过实际操作进一步理解平移和旋转，不仅能增加问题得趣味性，还

可以让孩子们感悟几何运动也就就是可以记录得，体验选取敢住方案得过程。

教学设计时，可关注如下要点：

(1)完成还原积木得任务一定要从简单到复杂，如图，先打乱四块积木中得下面两块，让

学生尝试思考得过程。学生有了一定经脸后，可以打乱三块或四块积木，让学生继续尝试。

(2)可以分小组进行。为了记录准确，事先要确定每一个步骤得代表符号。

(3)小组活动时，可以先讨论，确定一个大概得还原路线，然后操作脸证。

(4)小组成员共可操作，进行比较，验证确定得路线。

课标修订前后具体目标有一些具体得变化

修改前修改后

第一学1、结合实例，感受1、结合实例，感受平移、旋转、

段平移、旋转、对称现象。轴对称现象。

2、能在方格纸上画2、能辨认简单图形平移后得

出一个简单图形沿水平方图形。

向、竖直方向平移后得图

形。3、通过观察、操作，初步认识

轴对称图形。

3、通过观察、操作，

初步认识轴对称图形。并

能在方格纸上画出简单图

形得轴对称图形。

第二学1、用折纸等方法确1、通过观察、操作等活动，进

段定轴对称图形得对称轴，能一步认识轴对称图形及其对称轴，能

在方格纸上画出一个简单在方格纸上画出轴对称图形得对称

得轴对称图形。轴；能在方格纸上补全一个简单得

轴对称图形。

2、能利用方格纸按一

定比例将简单图形放大或2、通过观察、操作等，在方格纸

缩小，体会图形得相似。上认识图形得平移与旋转，能在方格

纸上按水平或垂直方向将简单图形

3、通过观察实例，平移，会在方格缴上将简单图形旋转

认识图形得平移与旋转，能

90°o

在方格纸上将简单图形平

移或旋转旋转90°o3、能利用方格纸按一定比例将

简单图形放大或缩小。

4、欣赏生活中得图

案,灵活运用平移、对称和旋4、能从平移、旋转和轴对称得

转在方格纸上设计图案。角度欣赏生活中得图案，并运用她们

在方格纸上设计简单得图案。

总体上看：修改后得课标在这部分降低了难度，更加强调观察与操作，积累学生数学活动

经脸。过程中大量得操作性活动，有利于学生积累数学活动经脸，教学中应当予以充分得重

视。这些画图和设计图案得活动，既可以加深学生对图形对称性得理解，又能激发她们得学

习兴趣，感悟数学得美及其应用价值,应当认真落实《标准》得这些要求。

“困形得运动"内容常用得教学策略有哪些?

策略一：结合生活实例，在观察与比较中认识图形得运动

新课标要求课程内容要反映社会得需要，数学学科得特征,也要符合学生得认知规律。课

程内容得选择要贴近学生实际，有利于学生体脸、思考与探索。因为儿童得抽象思维需要具

体形象思维与生活经验给与支撑，对感知图形运动这样抽象概念来说尤其重要。小学阶段关

于图形得图形得运动定位在积累感性体脸，形成初步认识。因此结合实例展开教学就就是一

条相当重要得教学策略。

在生活中有很多图形或图案呈现出对称、平移或旋转得形式，通过对称、平移、旋转变

换同样可以设计制作美丽得图案。因此，在教学中，多收集一些这样得素材，通过学生得观察、

比较，引导学生从运动变化得角度去发现不同得图形变换。

例如，教学“图形得变换”时丰富教材中得典型素材,注意融入了像道闸，车轮，钟摆等

素材并利用信息技术动态呈现，让学生进一步感知旋转现象。在教学“轴对称变换时”，

借助一组学生在生活中喜闻乐见得民族特点农厚得素材。

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这样做，一方面有利于激发学生学习图形运动得兴趣，另一方面使学生进一步体会到数

学与生活得密切联系，发展学生得概括能力。

策略二:借助操作活动，加深对图形运动得认识，帮