5.6 函数y=Asin（wx+φ）-2021-2022学年高一数学同步学案（人教A版2019必修第一册）（原卷版）

5.6函数y=Asin（wx+φ）【学习要求】1.理解y＝Asin(ωx＋φ)中ω，φ，A对图象的影响.2.掌握y＝sinx与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤．【思维导图】【知识梳理】1．φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响如图所示，对于函数y＝sin(x＋φ)(φ≠0)的图象，可以看作是把y＝sinx的图象上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|1个单位长度得到的．[知识点拨]将函数y＝f(x)的图象沿x轴方向平移|a|个单位长度后，得到函数y＝f(x＋a)(a≠0)的图象．当a>0时，向左平移，当a<0时，向右平移，简记为“左加右减”．2．ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)，x∈R的图象的影响如图所示，函数y＝sin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的eq\f(1,ω)倍(纵坐标不变)而得到．[知识点拨]函数y＝f(ωx)(ω>0)的图象，可以看作是把函数y＝f(x)的图象上的点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的eq\f(1,ω)倍(纵坐标不变)而得到的．3．A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象的影响如图所示，函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)的图象上的所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到的．[知识点拨]函数y＝Af(x)(A>0，且A≠1)的图象，可以看作是把函数y＝f(x)的图象上的点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍(横坐标不变)而得到的．4．函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象常见画法(1)五点法：①列表(ωx＋φ通常取0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3π,2)，2π这五个值)；②描点；③连线．(2)变换法：①先平移后伸缩eq\x(\a\al(函数y＝sinx,的图象))eq\o(→,\s\up7(向左右平移),\s\do5(|φ|个单位))eq\x(\a\al(函数y＝sinx,＋φ的图象))eq\f(横坐标变为原来的\f(1,ω)倍,纵坐标不变\o(\s\up7(),\s\do5()))eq\x(\a\al(函数y＝Asinωx,＋φ的图象))eq\o(→,\s\up7(纵坐标变为原来的A倍),\s\do5(横坐标不变))eq\x(\a\al(函数y＝sinωx,＋φ的图象))②先伸缩后平移特别提醒：在进行图象变换时，先平移后伸缩与先伸缩后平移是两种不同的变换，且这两种变换中，平移的单位长度不同，前者平移了|φ|个单位长度，而后者平移了|eq\f(φ,ω)|个单位长度，这是因为由y＝sinωx的图象变换为y＝sin(ωx＋φ)的图象的过程中，各点的横坐标增加或减少了|eq\f(φ,ω)|个单位长度，即x→x＋eq\f(φ,ω)，ωx→ωx＋φ．【高频考点】高频考点1.利用图象求解析式【方法点拨】由图象确立三角函数的解析式时，若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，则在观察图象的基础上可按以下规律来确定A，ω，φ．(1)A：一般可由图象上的最大值、最小值来确定．(2)ω：因为T＝eq\f(2π,ω)，故往往通过求周期T来确定ω.可通过已知曲线与x轴的交点来确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为eq\f(T,2)；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T．(3)φ：从“五点法”中的第一个点(－eq\f(φ,ω)，0)(也叫初始点)作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个点的位置．依据五点列表法原理，点的序号与式子关系如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象曲线的“峰点”)为ωx＋φ＝eq\f(π,2)；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象曲线的“谷点”)为ωx＋φ＝eq\f(3π,2)；“第五点”(即图象第二次上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝2π．在用以上方法确定φ的值时，还要注意题目中给出的φ的范围，不在要求范围内的要通过周期性转化到要求范围内．(4)A，ω，φ三个量中初相φ的确定是一个难点，除使用初始点(－eq\f(φ,ω)，0)外，还可在五点中找两个特殊点列方程组来求解φ．【例1】（2021·福建高一月考）已知函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|）的部分图象如图所示，则（）A．ω＝1，B．ω＝1，C．ω＝2，D．ω＝2，【变式1-1】（2021·全国高一课时练习）已知函数的部分图象如图所示.则A，，的一个数值可以是（）A． B． C． D．【变式1-2】（2021·九江市第三中学高一期中）函数的部分图象如图所示，则，的值分别是（）A．4，B．4，C．2，D．2，【变式1-3】（2021·四川省大竹中学高一期中）函数（，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的（）A．B．C．D．【变式1-4】（2021·贵州凯里实验高级中学高一月考）函数在一个周期内的图象如下图，此函数的解析式为______．高频考点2.函数图象的伸缩与平移【方法点拨】1.法一是先平移后伸缩；法二是先伸缩后平移．2．两种变换中平移的单位长度是不同的，在应用中一定要区分清楚，以免混乱而失误．弄清平移对象是减少失误的好方法．【例2】（1）（2021·广东中山·卓雅外国语学校高一月考）要得到函数的图象，只需将的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位（2）（2021·湖南高一课时练习）要得到函数的图象，可以将函数的图象（）A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度（3）（2021·重庆高一月考）将函数的图象分别向左、向右平移个单位长度后，所得的图象都关于y轴对称，则的最小值分别为（）A． B． C． D．（4）（2021·广西高一课时练习）已知函数的最大值为1，有最小值，则________.【变式2-1】（2021·全国高一单元测试）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位【变式2-2】（2021·全国高一课时练习）由函数的图象得到函数的图象的变换方法可以是（）A．将的图象向左平移个单位，再将图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍B．将的图象向右平移个单位，再将图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍C．将的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍，再将图象向右平移个单位D．将的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍，再将图象向左平移个单位【变式2-3】（2021·辽宁高一月考）若将函数的图象向右平移个单位后得到的图象关于点对称，则的最小值是（）A． B． C． D．【变式2-4】（2021·全国高一课时练习）函数的最小正周期是，若将该函数的图象向右平移个单位后得到的函数图象关于点对称，则函数的解析式为（）A． B．C． D．高频考点3.函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称性【方法点拨】1.函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴方程由ωx＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z求得，即x＝eq\f(kπ＋\f(π,2)－φ,ω)，k∈Z；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z求得，即得(eq\f(kπ－φ,ω)，0)，k∈Z．2．函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴方程由ωx＋φ＝kπ，k∈Z求得，即x＝eq\f(kπ－φ,ω)，k∈Z，对称中心由ωx＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z求得，即为(eq\f(kπ＋\f(π,2)－φ,ω)，0)，k∈Z．【例3】将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，则函数具有性质（）①最大值为，图象关于对称；②图象关于y轴对称；③最小正周期为；④图象关于点对称．A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．③④【变式3-1】将函数的图象向右平移后关于点对称，则（）A． B． C． D．【变式3-2】若将函数图象沿轴向左平移个单位，然后再将所得函数图象上每个点的横坐标缩为原来的一半（纵坐标不变），得到函数的图象，则函数图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．【变式3-3】已知函数的图象上相邻的两条对称轴之间的距离为，若将函数的图象向左平移后得到奇函数的图象，则（）A． B． C． D．【变式3-4】已知函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则的一个值是（）A． B． C． D．高频考点4.“五点法”作函数图象及相关问题【方法点拨】根据五点作图法步骤逐一完成即可。【例4】（2021·陕西省洛南中学高一月考）已知函数．（1）利用“五点法”画出该函数在长度为一个周期上的简图．列表作图：（2）说明该函数的图象可由的图象经过怎样的变换得到．【变式4-1】（2021·北京景山学校远洋分校高一期中）将函数向右平移个单位得到函数（I）求的解析式；（II）用“五点法”做出函数在一个周期内的函数图象.【变式4-2】（2021·咸阳百灵学校高一月考）已知，（1）令，完成下列表格，0π2π010-10131-11（2）求出最大值，最小值（3）根据表中数据绘出草图【变式4-3】（2021·大连市一0三中学）已知函数.（1）求它的振幅、最小正周期、初相；（2）画出函数在上的图象.【变式4-4】（1）利用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间的简图．（2）并说明该函数图象可由y＝sinx（x∈R）的图象经过怎样平移和伸缩变换得到的．高频考点5.函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的综合应用【方法点拨】【例5】（2021·广东铁一中学高一月考）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A．函数的最小正周期为B．函数在单调递减C．函数的图象关于直线对称D．该图象向右平移个单位可得的图象【变式5-1】（2021·湖南周南中学）将函数的图象先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象（x∈R），下列结论错误的是（）A．函数的图象最小正周期为B．函数的图象关于点对称C．函数的图象在上单调递增D．函数的图象关于直线对称【变式5-2】（2021·山东高一单元测试）设函数的图象为，则下列结论错误的是（）A．函数的最小正周期是B．图象关于直线对称C．图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到D．函数在区间，上是增函数【变式5-3】（2021·湖北武汉·高一期中）已知函数的部分自变量、函数值如下表所示，下列结论正确的是（）．031A．函数的解析式为B．函数图象的一条对称轴为C．是函数的一个对称中心D．函数的图象左平移个单位，再向下移2个单位所得的函数为偶函数【变式5-4】（2021·防城港市防城中学高一期中）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：0050（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式；（2）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象．若图象的一个对称中心为，求最小值．【课后训练】全卷共22题满分：150分时间：120分钟一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．用五点法作函数f(x)＝sin的图象时，所取的“五点”是（）A．，，，，B．，，，，C．，，，，D．，，，，2．函数的周期、振幅、初相分别是（）A． B． C． D．3.（2021·合肥百花中学高一期末）为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度4．（2021·广东潮州·）函数的图象如图所示，则（）A． B． C． D．5．（2021·黑龙江齐齐哈尔·高一期末）函数（，，）的部分图象如图所示，将的图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍（纵坐标不变），再把所得的图象沿轴向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的一个单调递增区间为（）A．B．C．D．6．（2021·陕西省洛南中学高一月考）函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且的图象关于轴对称，则的最小值为（）A． B． C． D．7．已知函数．给出下列结论：①的最小正周期为；②是的最大值；③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．其中所有正确结论的序号是（）A．① B．①③ C．②③ D．①②③8．已知函数为奇函数，将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），所得的图象对应的函数为，若最小正周期为，且，则（）A． B． C． D．二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．（2021·重庆高一单元测试）将函数的图象沿轴向左平移个单位后得到一个奇函数的图象，则的一个可能取值为（）A． B． C． D．10．已知曲线，，为了得到曲线，可以将曲线（）A．向左平移个单位，再把得到的曲线各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变B．向左平移个单位，再把得到的曲线各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变C．各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位D．各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位11．已知函数且对于都有成立.现将函数的图象向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，则下列说法正确的是（）A．函数 B．函数相邻的对称轴距离为C．函数是偶函数 D．函数在区间上单调递增12．函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．函数的振幅是2，初相是B．若把的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的函数在上是增函数C．若把函数的图像向左平移个单位，则所得函数是奇函数D．，若恒成立，则的范围为三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数，某同学描点绘制函数在区间上的草图，部分列表如下：……则______；函数的单调递增区间是_________.14．函数的部分图象如图所示，则________，为了得到的图象，需将函数的图象最少向左平移________个单位长度．15．（2021·全国高一课时练习）将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若函数为偶函数，则函数在上的值域为____________．16．已知函数，其中，.若对任意恒成立，则①；②；③既不是奇函数也不是偶函数；④的单调递增区间是．以上结论正确的是________（写出所有正确结论的编号）.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步