2026年高二数学寒假自学课（苏教版）第05讲 排列（10大题型）（解析版）

第05讲排列

内容导航——预习三步曲

第一步：学

析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习

练题型·强知识：核心题型举一反三精准练

第二步：记

串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点1：排列的概念

1、排列的定义：

一般地，从n个不同的元素中取出m（mn）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元

素中取出m个元素的一个排列．

知识点诠释：

（1）排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”．

（2）从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列．

（3）如何判断一个具体问题是不是排列问题，就要看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排这

m个元素时是有顺序还是无顺序，有顺序就是排列，无顺序就不是排列．

知识点2：排列数

1、排列数的定义

从n个不同元素中，任取m（mn）个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列

数，用符号m表示．

An

知识点诠释：

“排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从n个不同的元素中，任取m(mn)个元素，按

照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一个排列（也就是具体的一件事）；

2、排列数公式

m，其中，且．

Ann(n1)(n2)(nm1)n,mNmn

知识点诠释：

公式特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是nm1，共有m个

因数．

知识点3：阶乘表示式

1、阶乘的概念：

把正整数到的连乘积，叫做的阶乘．表示：，即n．

1nnn!Ann!

规定：0!1．

2、排列数公式的阶乘式：

mn(n1)(n2)(nm1)(nm)21n!

Ann(n1)(n2)(nm1)

(nm)21(nm)!

n!

所以Am．

n(nm)!

知识点4：排列的常见类型与处理方法

1、相邻元素捆绑法

2、相离问题插空法

3、元素分析法

4、位置分析法

题型一：排列的概念

【例1】（2025·高二·上海闵行·月考）下列选项中，不属于排列问题的是（）

A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法

B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案

C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂

D．从1,2,3,4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点

【答案】B

【解析】A.选出3名学生后，哪位同学参加哪门竞赛需再排序，故属于排列问题，故A错误；

B.分组无顺序，故不属于排列问题，B正确；

C.如35和53是不同的，即哪个数作指数和底数是不同的，故属于排列问题，故C错误；

D.如1,2和2,1是不同的点，故属于排列问题，故D错误.

故选：B.

【变式1-1】下列问题是排列问题的是（）

A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法

B．会场中有30个座位，任选3个安排3位客人入座，有多少种坐法

C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线

D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种

【答案】B

【解析】对于A，8名同学中选取2名，不涉及顺序问题，不是排列问题，A错误；

对于B，“入座问题”，与顺序有关，是排列问题，B正确；

对于C，确定直线不涉及顺序问题，不是排列问题，C错误；

对于D，4个数字中任取2个，根据乘法交换律知，结果不涉及顺序问题，不是排列问题，D错误．

故选：B

【变式1-2】（2025·高二·陕西咸阳·期中）下列问题不．属．于．排列问题的是（）

A．从10个人中选2人分别去种树和扫地

B．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队

C．从班上30名学生中选出6人，分别担任6科课代表

D．从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个不同的数字组成一个两位数

【答案】B

【解析】对于A，从10个人中选2人分别去种树和扫地，因为工作内容不一样，故有顺序，属于排列问题，

故A不满足题意；

对于B，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，没有顺序，所以不属于排列问题，故B满足题意；

对于C，从班上30名学生中选出6人，分别担任6科课代表，因为科目不相同，故有顺序，属于排列问题，

故C不满足题意；

对于D，从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个不同的数字组成一个两位数，数字所在位置有顺序，属

于排列问题，故D不满足题意.

故选：B

【变式1-3】下列问题是排列问题的是（）

A．从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？

B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？

C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？

D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？

【答案】B

【解析】选项A：从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，选出的2人并未排序，

因而不是排列问题，不合题意；

选项B：10个人互相通信一次，选出2人要分出寄信人和收信人，

是排列问题，适合题意；

选项C：平面上有5个点，任意三点不共线，从中任选2个点

即可确定1条直线，这2个点不分顺序.因而不是排列问题，不合题意；

选项D：从1，2，3，4四个数字中，任选两个数字相加即得1个结果，

这2个数字不分顺序，因而不是排列问题，不合题意.

故选：B．

题型二：画树形图写排列

【例2】写出从a、b、c、d四个元素中任取两个不同元素的所有排列．

【解析】先画出下面的树形图：

于是可知，所有的排列是ab、ac、ad、ba、bc、bd、ca、cb、cd、da、db、dc．

【变式2-1】求从A，B，C这3个对象中取出3个对象的所有排列的个数，并写出所有的排列.

3

【解析】所求排列数为A33216.

所有的排列可用图所示.

由图可知，所有排列为ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA.

【变式2-2】（1）从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位不同的数，一共可以组成多少个？

（2）写出从4个元素a,b,c,d中任取3个元素的所有排列．

【解析】（1）由题意作“树形图”，如下．

故组成的所有两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有12个．

（2）由题意作“树形图”，如下．

故所有的排列为：abc,abd,acb,acd,adb,adc,bac,bad,bca,bcd,bda,bdc,cab，

cad,cba,cbd,cda,cdb,dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.

【变式2-3】写出下列问题的所有排列：

(1)从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？

(2)由1，2，3，4四个数字能组成多少个没有重复数字的四位数？试全部列出.

【解析】（1）所有两位数是12，21，13，31，14，41，23，32，24，42，34，43，共有12个不同的两位数.

（2）画出树状图，如图：

由树状图知，所有的四位数为：1234，1243，1324，1342，1423，1432，2134，2143，2314，2341，2413，

2431，

3124，3142，3214，3241，3412，3421，4123，4132，4213，4231，4312，4321，共24个没有重复数字的

四位数.

题型三：简单的排列问题

【例3】请列出下列排列：

(1)从4个不同元素a,b,c,d中任取3个元素的所有排列；

(2)从7个不同元素a,b,c,d,e,f,g中任取2个元素的所有排列．

【解析】（1）根据题意，从4个不同元素a,b,c,d中任取3个元素的所有排列共有如下24种：

abc,abd,acb,acd,adb,adc,bac,bad,bca,bcd,bda,bdc,

cab,cad,cba,cbd,cda,cdb,dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.

（2）从7个不同元素a,b,c,d,e,f,g中任取2个元素的所有排列共有如下42种：

ab,ac,ad,ae,af,ag,ba,bc,bd,be,bf,bg,ca,cb,cd,ce,cf,cg

da,db,dc,de,df,dg,ea,eb,ec,ed,ef,eg,fa,fb,fc,fd,fe,fg,

ga,gb,gc,gd,ge,gf.

【变式3-1】写出从a、b、c、d、e这五个不同元素中任意取出两个元素的所有排列．

【解析】任意取出两个元素的所有排列为：

ab,ba,ac,ca,ad,da,ae,ea,bc,cb,dd,db,be,eb,cd,dc,ce,ec,de,ed.

【变式3-2】（1）从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3不同的数字排成一个三位数，写出得到的所有

三位数，并求出排列数；

（2）试写出由1，2，3，4四个数字组成的没有重复数字的四位数，并求出排列数.

【解析】（1）所有的三位数为123，124，132，134，142，143，213，214，231，234，241，243，312，314，

321，324，341，342，412，413，421，423，431，432，共24个三位数.

3

故排列数是A4=24.

（2）所有的四位数为1234，1243，1324，1342，1423，1432，2134，2143，2314，

2341，2413，2431，3124，3142，3214，3241，3412，3421，4123，4132，4213，4231，

4312，4321，共24个四位数.

4

故排列数是A4=24.

【变式3-3】（1）写出从a，b，c，d这4个字母中，取出2个字母的所有排列；

（2）写出从a，b，c，d这4个字母中，取出3个字母的所有排列．

【解析】（1）从4个字母中取出2个字母的排列有ab,ba,ac,ca,ad,da,bc,cb,bd,db,cd,dc；

（2）从4个字母中取出3个字母的排列有abc,acb,bac,bca,cab,cba,abd,adb,bad,bda,dab,dba，

acd,adc,cad,cda,dac,dca,bcd,bdc,cbd,cdb,dbc,dcb；

题型四：排列数公式的应用

【例4】（2025·高二·江苏徐州·月考）求解下列问题：

54

2A87A8

(1)计算：85；

A8A9

mm1

(2)求证：AnnAn1nm2.

xx2

(3)解关于x的不等式：A86A8；

54

2A87A82876547876587

【解析】（1）851；

A8A98765432198765249

mn!n1!n1!m1

（2）AnnnnAn1，nm2.

nm!nm!n1m1!

0x8

（3）依题意，有，可得2x8，

0x28

8!8!6

由Ax6Ax2，得6，即1，

888x!10x!10x9x

整理得x219x840，解得7x12，所以7x8，

*xx2

又xN，得x8，所以A86A8的解集为8.

【变式4-1】（2025·高二·广东茂名·月考）计算：

4

(1)A10；

8

A12

(2)7；

A12

xx1

(3)若3A84A9，求x值.

4

【解析】（1）A10109875040

12!

A85!

124!

（2）75

A1212!4!

5!

8!9!

（3）若3Ax4Ax1，则34

898x!10x!

9

所以34,

10x9x

解得x6或x13（舍），所以x6

1234

【变式4-2】（2025·高二·江苏盐城·月考）（1）计算：A4A4A4A4；

322

（2）解不等式：3Ax2Ax16Ax.

1234

【解析】（1）A4A4A4A4443432432164.

322x!x1!x!

（2）因为3A2A6A，可知x3，且326，

xx1xx3!x1!x2!

2

整理可得3x217x100，解得x5，

3

且x3,xN*，所以x3或4.

54

A9A9

【变式4-3】（2025·高二·山东济宁·月考）（1）求值:65

A10A10

322

（2）求不等式：3Ax2Ax16Ax的解集．

54444

A9A95A9A96A9698763

【解析】（1）65555；

A10A105A10A104A10410987620

x!x1!x!

3263x2x50

（2）因为3A32A26A2，所以x3!x1!x2!，化简可得，解

xx1x*

*x3,xN

x3,xN

得x3,4,5，所以不等式解集为3,4,5．

题型五：阶乘的概念及性质

【例5】（2025·河北唐山·三模）定义双阶乘符号m!!：当m是自然数时，表示不超过m且与m有相同奇

偶性的所有正整数的乘积，例如：5!!135，6!!246，则下列选项不正确的是（）

100!!

A．7!!105B．log250

50!

2n1!!2

C．2n1D．2n1!!2n!!n!

2n1!!

【答案】D

【解析】由题意知7!!1357105，故A正确；

100!!50

log2log2250，故B正确；

50!

2n1!!132n12n1

2n1，故C正确；

2n1!!132n1

2n1!!2n!!132n1242n2n!，故D错误.

故选：D.

【变式5-1】对任意正整数n，定义n的双阶乘n!!：当n为偶数时，n!!nn2n4642；

当n为奇数时，n!!nn2n4531，则下列四个命题中错误的是（）

A．209!!208!!209!B．208!!2104!

C．208!!的个位数字为0D．209!!的个位数字为5

【答案】B

【解析】由根据双阶乘的定义可得209!!20920731，208!!20820642，

所以209!!208!!20920731208206422092082073212019!，所以A

正确；

由208!!208206422104104!，所以B错误；

因为208!!208206108642能被10整除，

所以208!!的个位数字为0，所以C正确；

因为209!!209207531能被5整除，所以209!!个位数字为5或0，又209!!是奇数，所以209!!的

个位数字为5，故D正确．

故选：B．

【变式5-2】（2025·高二·上海浦东新·期中）对于任意正整数，定义“n的双阶乘n!!”如下：当n是偶数

时，n!!nn2n4642；当n是奇数时，n!!nn2n4531；

①2021!!2022!!2022!；②2022!!210111011!；③2022!!的个位数是0；④2021!!的个位数是5.其中正

确的命题的序号是.

【答案】①②③④

【解析】对于①，2021!!2022!!135201720192021

2462018202020221232020202120222022!，故正确；

对于②，2022!!246201820202022

21011135101910101011210111011!，故正确；

对于③，2022!!246201820202022，其中含有10，

故个位数字为0，故正确；

对于④，2021!!135201720192021，

其个位数字与13579945的个位数字相同，故其个位数字为5，故正确.

故答案为：①②③④.

n11

【变式5-3】（2025·高二·江苏盐城·月考）（1）证明：；

n1!n!n1!

（2）计算：11!22!33!2020!.（计算结果用含阶乘的式子表示即可）

n1!n!n1n!n!nn!n

【解析】（1）证明：右边左边，得证.

n!n1!n!n1!n!n1!n1!

（2）∵nn!n1!n!，

∴原式2!1!3!2!4!3!21!20!21!1

题型六：与排列数公式有关的证明问题

mm1

【例6】求证：AnnAn1nm2．

n1!n1!

mn!m1，

【解析】AnnnnAn1nm2．

nm!nm!n1m1!

n11

【变式6-1】证明，并利用这一结果化简：

n1!n!n1!

1239

(1)；

2!3!4!10!

123n

(2)．

2!3!4!n1!

【解析】（1）证明：由n!nn1n221可得n1!n1n!，

nn11n1111

则.

n1!n1!n1!n1!n!n1!

12391111111

所以1

2!3!4!10!1!2!2!3!9!10!10!

nn11n1111

（2）因为，

n1!n1!n1!n1!n!n1!

123n1111111

所以1.

2!3!4!n1!1!2!2!3!n!n1!n1!

【变式6-2】证明n1!n!nn!，并用它来化简11!22!33!1010!．

【解析】证明n1!n!n1n!n!n11n!nn!，即证.

11!22!33!1010!

2!1!3!2!11!10!11!1!11!1

n1nn

【变式6-3】求证：An1An1(n1)An

n1

【解析】An1(n1)n(n1)...321，

n

An1(n1)n(n1)...32，

n

(n1)An(n1)n!(n1)n(n1)...321，

n1nn

综上，An1An1(n1)An.

题型七：相邻问题

【例7】（2025·高二·上海奉贤·期中）某学校为了丰富同学们的寒假生活，寒假期间给同学们安排了6

场线上讲座，其中讲座A只能安排在第一或最后一场，讲座B和C必须相邻，问不同的安排方法共有（）

A．24种B．48种C．72种D．96种

【答案】D

1

【解析】由题意知讲座A只能安排在第一或最后一场，安排A有A22种排法，

42

因为讲座B和C必须相邻，所以安排BC及其余三场讲座共有A4A248种排法，

根据分步计数原理知共有24896种排法.

故选：D．

【变式7-1】（2025·高二·陕西汉中·月考）某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获

奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有（）

A．24种B．36种C．72种D．144种

【答案】D

32

【解析】第一步，将甲班的2人捆绑，连同丙班的2人作全排列，有A3A212种站法；

2

第二步，将乙班的2人插入前后4个空档，有A412种站法.

根据分步乘法计数原理，不同的站法共有1212144种.

故选：D.

【变式7-2】（2025·高二·辽宁葫芦岛·月考）现有5个女生和10个男生要排成一排，要求女生都站在一

起，则不同的排法数为（）

11511

A．A11B．A5A11

510510

C．A5A10D．C10A10

【答案】B

5

【解析】先把5名女生捆绑在一起，看成一个整体，内部有A5种排法，

11

再把这个整体与另外10名男生进行排列，有A11种排法，

511

所以不同的排法数为A5A11．

故选：B

【变式7-3】（2025·高二·广西桂林·月考）若将5名男生和3名女生排成一排，则3名女生相邻的不同

排法种数为（）

A．4680B．4320C．3640D．3860

【答案】B

6

【解析】将3名女生看成一个整体，再和5名男生进行全排，有A6种排法，

63

因为3名女生内部顺序可以调整，所以共有A6A34320种不同的排法.

故选：B

题型八：不相邻问题

【例8】（2025·高二·广西·月考）某小组的成员由四位男生和三位女生组成，七位同学要站成一排照相，

要求任意两男生及任意两女生均不能相邻的站法总数是（）

743

A．A7B．2A4A3

4343

C．A4A5D．A4A3

【答案】D

34

【解析】先排好3位女生，有A3种排法，此时产生4个空位，再将4位男生排入这4个空位，有A4种排法，

43

根据分步乘法计数原理，共有A4A3种站法.

故选：D.

【变式8-1】（2025·高三·湖南·月考）某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，

现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有（）

A．36种B．72种C．144种D．288种

【答案】C

32

【解析】第一步，将甲班的2人捆绑，连同丙班的2人作全排列，有A3A212种站法；

2

第二步，将乙班的2人插入前后4个空档，有A412种站法.

根据分步乘法计数原理，不同的站法共有1212144种.

故选：C

【变式8-2】（2025·高二·贵州遵义·月考）某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊

蛰”“春分”“清明”“谷雨”六张知识展板放置在六个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且

“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（）

A．24B．48C．144D．240

【答案】C

2

【解析】将“立春”和“春分”两块展板捆绑成一个整体，有A2种放置方法，

3

捆绑后的“立春”和“春分”整体与“雨水”，“谷雨”进行全排列，共有A3种方法，

2

再将“清明”和“惊蛰”进行插空，4个空选择2个，共有A4种方法，

232

综上，共有A2A3A4144种放置方式.

故选：C

【变式8-3】（2025·高二·江苏无锡·月考）五种不同商品在货架上排成一排，而C，D两种不能连排，

则不同的排法共有（）种．

A．24B．72C．36D．42

【答案】B

3

【解析】先安排除了C，D两种外的三种商品，共有A3种方法，并形成4个空，

2

再把C，D安排到形成的4个空中，有A4种方法，

32

所以共有A3A472种排法.

故选：B

题型九：定序问题

【例9】（2025·高二·重庆九龙坡·月考）重庆外国语学校第34届外语节于2025年5月22日举行，高二

某班6名同学参加节目表演，表演完后老师为这6名同学合影留念.合影时4人先到2人后到，为节约时间，

先到的4人排好队，后来的2人加入并保持排好队同学的相对顺序不变，这两名同学共有多少种加入方法

（）

A．10B．20C．60D．30

【答案】D

6

【解析】6人全排有A6中排序方法，

6

A6

所以先到的4人相对顺序不变下两名同学共有430种加入方法.

A4

故选：D

【变式9-1】（2025·高二·山东菏泽·月考）某5位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，

如果保持原来5位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（）

A．21B．30C．42D．60

【答案】C

7

【解析】7位同学排成一排准备照相时，共有A7种排法，

7

A7

如果保持原来5位同学的相对顺序不变，则有542种排法.

A5

故选：C

【变式9-2】（2025·高二·全国·单元测试）小明参加“江南六地游”旅行，其中A，B，C三地游览的先后

顺序一定（游A，B，C三地的顺序可以相邻也可以不相邻），则小明“江南六地游”旅行的不同的出游方法

有（）

A．120种B．180种C．240种D．480种

【答案】A

63

【解析】由题意，小明参加“江南六地游”旅行，共有A6种，A，B，C三地游览的顺序有A3种，

A6

6

所以A，B，C三地游览的先后顺序一定，小明“江南六地游”旅行共有3120种不同的出游方法．

A3

故选：A.

【变式9-3】（2025·高二·广东揭阳·月考）某道菜的制作需要用到鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、

果干、茄子净肉共七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤

最后下锅，则制作这道菜时不同的下锅顺序共有（）

A．12种B．16种C．24种D．28种

【答案】A

【解析】因为鸡汤最后下锅，所以将鸡脯肉、（香菇、新笋、豆腐干）、果干、茄子净肉四个元素进行全排

列.

因为结果包含两种情况：茄子净肉在鸡脯肉前下锅、茄子净肉在鸡脯肉后下锅，

A4

所以茄子净肉在鸡脯肉后下锅的情况有412种.

2

故选：A.

题型十：间接法

【例10】（2025·高二·山东聊城·期末）某演出有3个舞蹈、2个歌曲、1个语言类共6个节目，要求语

言类节目不能第一个出场，歌曲类节目不能相邻出场，则不同的出场方式共有（）

A．480种B．444种C．408种D．360种

【答案】C

【解析】依题意，因语言类节目不能第一个出场，可以考虑间接法：

42

即先将1个语言类与3个舞蹈节目全排，再将2个歌曲节目在留下的5个空中插空，有A4A5种方法，

减去这个语言类节目排在第一个出场时的方法数，即先将3个舞蹈节目全排，再将2个歌曲节目在除去第

一个节目前的空留下的4个空中插空，

324232

有A3A4种方法，故不同的出场方式共有A4A5A3A448072408种.

故选：C.

【变式10-1】（2025·高二·陕西咸阳·期末）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若

甲不站在两端，乙和丙不相邻．则不同排列方式共有（）

A．12种B．24种C．48种D．72种

【答案】C

【解析】先考虑甲的站位，可选中间3个位置，不考虑乙和丙位置相邻不相邻，

14

此时共有A3A472种排列方式；

然后考虑其中乙和丙位置相邻的情况，即将乙和丙看作一个元素，和丁、戊全排列，

在这3个元素之间形成的两个位置上选一个将甲插入，

231

此时共有A2A3A224种排列方式；

故符合题意的不同排列方式共有722448（种），

故选：C

【变式10-2】（2025·高二·湖北恩施·期末）某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出二十四节气

宣传橱窗，其中“雨水”，“惊蛰”，“谷雨”，“芒种”，“白露”，“寒露”6块知识展板放置在排成一排的六个文

化橱窗里，要求“雨水”和“谷雨”两块展板不相邻，且“白露”与“寒露”两块展板不相邻，则不同放置方式的种

数为（）

A．144B．240C．336D．456

【答案】C

42

【解析】根据题意，第一步，让“雨水”和“谷雨”不相邻，不同放置方式种数为A4A5；

232

第二步，让“雨水和“谷雨”不相邻且“白露和“寒露”相邻，不同放置方式种数为A2A3A4；

42232

所以不同放置方式种数为A4A5A2A3A4336.

故选：C.

【变式10-3】（2025·高二·四川广元·期末）2025年4月23日是第三十个世界读书日．将2，0，2，5，

4，2，3这些数字排成一排组成一个七位数，则不同的七位数有（）个．

A．480B．600C．720D．840

【答案】C

7

A7

【解析】数字：2，0，2，5，4，2，3中数字2出现了3次，则7个数字的所有排列情况有3=840种，

A3

6

A6

当首位为0时，剩下6个数字：2，2，5，4，2，3出现了3次，排列的情况有3=120种，

A3

所以不同的7位数有840120720个.

故选：C.

1．（25-26高三上·河北·期中）某市为弘扬科学精神，激励青少年投身科技事业，特别策划了一场“致敬科技

先锋”的主题活动.活动期间，需将A，B，C，D，E五位功勋人物的画像自左至右排成一行展示，且要求A

与B的画像不相邻，E的画像只能排在两端，则满足条件的排法种数为（）

A．16B．20C．24D．26

【答案】C

22

【解析】因为A与B的画像不相邻，所以先排C,D再插空排A,B有A2A3=12种排法，

22

又因为E的画像只能排在两端，则满足条件的排法种数为2×A2A3=24种排法.

故选：C.

2．（2025·广西柳州·一模）甲、乙等5人站成一排，若甲和乙之间恰好有2人，且甲不在两端，则不同排法

共有（）

A．8种B．12种C．16种D．20种

【答案】B

【解析】从左向右看，若甲和乙之间恰好有2人，且甲不在两端，有两种情况：

3

乙站第一个位置，甲站第四个位置，有A36种，

3

甲站第二个位置，乙站第五个位置，有A36种，

共有6612种，

故选：B

3．（25-26高二·全国·假期作业）A,B,C,D,E五人并排站成一行，如果A,B必须相邻且B在A的右边，那么

不同的排法种数是（）

A．6B．24C．48D．120

【答案】B

【解析】由于A、B必须相邻且B在A的右边，则可将A、B看成一个整体，

4

因此题设相当于4人并排站成一行，则不同的排法种数有A424种.

故选：B.

4．（25-26高二上·江西赣州·月考）甲、乙、丙三人各自计划暑假去重庆旅游，他们都从武隆天生三桥、长

江索道、重庆动物园、白帝城这4个景区中任选一个，若甲不去重庆动物园，且甲、乙、丙三人去的景区

互不相同，则这三人的不同选择方法共有.

【答案】18种

【解析】因为甲不去重庆动物园，所以甲有三种不同的去处，

又因为甲、乙、丙三人去的景区互不相同，

2

所以这三人的不同选择方法共有3A33618.

故答案为：18.

5．（25-26高二上·安徽安庆·月考）用1、2、3三个数字的全体或部分构造四位数，但不允许有两个1相邻

出现，则这样的四位数有个．（用数字作答）

【答案】60

【解析】若四位数中没有1，共有2416个，

若四位数中有1个1，共有42332个，

2

若四位数中有2个1，则这两个1不能相邻，有C433种放置方法，

其余两位各有2种选择（2或3），故共有32212个.

因此共有60个．

故答案为：60．

6．（25-26高二上·陕西渭南·期中）有4名护士和2名医生站在一排，两名医生相邻，则不同的排法总数

为．

【答案】240

5

【解析】将2名医生看成一个整体，和4名护士站成一排有A5120，

2

两名医生内部有A22种站法，

所以两名医生相邻，不同的排法总数为1202240，

故答案为：240

7．（25-26高二上·辽宁·月考）用分别写有数字“0”、“1”、“2”、“3”、“4”、“4”的六张卡片可以组成

个六位整数．（用数字作答）

【答案】300

【解析】分两类：

15

第一类首位从“1”、“2”、“3”中取，有A3种取法，其余5张卡片有A5种排法，但有2张“4”，

5

1A5120

所以能得到不同的6位整数共有A3·23180个；

A22

5

第二类，首位取“4”，其余位置5张卡片全排列，共有1A5120个6位整数，

根据分类加法计数原理，共有180120300个六位整数.

故答案为：300

8．（2025·浙江台州·一模）甲､乙､丙､丁､戊､己共6人站成一排，若甲､乙两人相邻，而乙､丙两人不相邻，则

不同的排法种数共有.（用数字作答）

【答案】192

2

【解析】先将甲、乙两人看成一个整体，则这个整体内部有A22种排列方式，

5

此时相当于有5个元素进行排列，所以甲乙相邻的总排列数为2A5240种.

若甲乙相邻且乙丙也相邻，则三人必须以（甲，乙，丙）或（丙，乙，甲）的顺序站在一起.

将这三个人视为一个整体，其内部有2种排法，再将此整体与其余3人进行全排列，

4

故甲乙相邻且乙丙也相邻的排法有2A448种,

所以甲乙相邻，而乙丙不相邻的排法种数有24048192.

故答案为：192.

9．（25-26高二上·上海·期中）5人并排站成一行，如果甲、乙两人必须不相邻，那么不同的排法种数是．

【答案】72

【解析】根据题意，分2步进行分析：

3

①把甲、乙之外的其他三人全排列，有A36种排法，

2

②三人排好后，有4个空位，将甲乙安排到空位中，有A412种排法，

故甲乙不相邻的安排方法有61272种.

故答案为：72.

10．（24-25高二下·四川泸州·月考）三个人坐在一排5个座位上，空位相邻的坐法有种．（用数字

作答）

【答案】24

4

【解析】将两个空位视为一个整体与三个人排列，又两个空位没有区别，故共有A424种排法.

故答案为：24.

11．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·月考）某高中学校经过推荐和选拔，挑选6名同学（4名男生、2名女

生）参加奥林匹克生物竞赛，并进行合影留念．若女生必须相邻，则有种不同的排法．（用数

字作答）

【答案】240

【解析】根据题意，分2步进行，

2

先将2名女生排在一起，看成一个元素，考虑其顺序，有A2种情况，

5

再将其与其他4名男生全排列，有A5种情况，

52

则其不同的排列方法为A5A2240种，

故答案为：240．

12．（25-26高三上·江苏南京·月考）某市抽调5位老师分赴3所山区学校支教，要求每位老师只能去一所学

校，每所学校至少安排一位老师.由于工作需要，甲、乙两位老师必须安排在不同的学校，则不同的分派方

法的种数是.

【答案】114

2

【解析】设学校为A,B,C，先把甲、乙两位老师安排到不同学校，有