高三数学一轮复习学案：导数的概念及其意义导数的运算

§3.1导数的概念及其意义、导数的运算

【课标要求】1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数2通过函数图象，理解导数的几何意义3能够用

导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数.

1.导数的概念

⑴困数yjx)在工二沏处的导数记作或.

八松尸妈。梦--------

(2)函数产式外的导函数(简称导数)

•Ax)=v，=M~~Ax'

2.导数的几何意义

函数，可")在A-XO处的导数的几何意义就是曲线)中用在点P(Xo,段0))处的切线的,相应的切

线方程为.

3.基本初等函数的导数公式

基本初等函数导函数

M=c(c为常数)f(x)=________

./U)=/(a£R,且aW0)f(x)=________

/(x)=sinxfM=________

Jix)=cosXf[x)=________

J(x)=a\a>0,且aWl)r«=_____

於)bf(x)=________

/(.v)=logX«>0»且aW1)r«=_____

,/U)=lnx/«=_____

4.导数的运算法则

若八公，g'(x)存在，则有

[/(x)±g(x)]'=;

伏x)gq)]三_____________________

筒二--------8皿；

5.复合函数的定义及其导数

复合函数产他⑴)的导数与函数)，w=g(x)的导数间的关系为y,x=，HJy对x的导

数等于)，对〃的导数与〃对x的导数的乘积.

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“4”或“X”)

(1/(项)是函数广信)在x=xo附近的平均变化率.()

⑵与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.()

(3力(即户伏xo)]'.()

(4)(eAT=ev.()

2.若函数y(x)=lnx2x+l,则等于()

135

A.OB.-C.-D.-

222

3.(2024.开封模拟)已知函数人幻=2。则函数人处的图象在点(0,<()))处的切线方程为()

A.xyl=0B.xy+l=0

C.x-ln2yl=0D.xln25H-l=0

4.设曲线尸e?"在点(0,1)处的切线与直线2r)，+l=0垂直，则。的值为.

1.巧记两个常用结论

(I)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数.周期函数的导数还是周期函数.

(2)函数月U)的导数人%)反映了函数/U)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小『(x)|反映了

变化的快慢，［f(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡峭”.

2.明确两点不同

区分在点处的切线与过点处的切线：在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条.过点处的切线，

该点不一定是切点，切线至少有一条.

3.谨防两个易误点

(I)在复合函数求导中，每一步求导分不清哪个变量对哪个变量的求导而致误.

(2)牢茫导数公式和导数的四则运算法则，切忌记错记混.

题型一导数的运算

例1(1)(多选)下列求导运算正确的是()

A.(In7)f=1

B.|(x2+2)sinxj-2xsinx+Cr+2)cosx

C仲上也

\exlex

D.[ln(3x+2)]r=^

(2)已知函数於)的导函数为八外，且危)=204)+sinx,则理)等于()

+

A.答B-TICTDDT

思维升华（I）求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.

（2）抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.

（3）复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.

跟踪训练1（多选）下列命题正确的有（）

A.已知函数“K）在R上可导，若八1）=2,则Hm“1+2y）-/⑴二2

Ax-»Odx

nfcosx\,xslnx+cosx

二一—

C.已知函数y（x）=ln（2x+1）,若/Uo）=1»则xo=1

D.设函数«i）的导函数为八x）,且/U）r2+34（2）+lnx,则八2尸：

题型二导数的几何意义

命题点1求切线方程

例2（2023•全国甲卷）曲线产W在点（1,§处的切线方程为（)

e

A.y=x：B.y=xB.yr=-x

ceene,3e

C产产+7D-VV+T

命题点2求参数的值（范围）

例3若函数於）=lnx+2x%x的图象上存在与直线2xy=0平行的切线，则实数。的取值范围

是.

命题点3切线的应用

例4（2025・广州模拟）设点P在曲线产d上，点。在直线），=$上，则|PQ的最小值为（）

A12

A-7PZTBD-7?ZT

QJD

*Ve2-l-l*Ve2+1

思维升华（1）处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点

处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.

（2）注意区分“在点P处的切线”与“过点尸的切线”.

跟踪训练2⑴牛顿迭代法是求方程近似解的一种方法.如图，方程式幻二0的根就是函数危)的零点r,

取初始值的，兀丫)的图象在横坐标为xo的点处的切线与x轴的交点的横坐标为M，以工)的图象在横坐标

为由的点处的切线与x轴的交点的横坐标为检，一直继续下去，得到由，心，…，X”,它们越来越接近

r.若负工)才23>0),颍=2,贝IJ用牛顿迭代法得到的「的近似值工2约为()

1”

x\Tx-

A.1.438B.1.417

C.1.416D.1.375

(2)若点A(a,a),B(b,e")(a,beR),贝i1A,8两点间距离|A用的最小值为.

题型三两曲线的公切线

例5(2025・广州模拟)若直线/既和曲线G相切，又和曲线C2相切，则称/为曲线G和C2的公切线.

己知曲线G：./U)=e”和曲线G：以x)="lnx,请写出曲线G和C2的一条公切线方程：.

思维升华公切线问题应根据两曲线在切点处切线的斜率相等.且切点既在切线上又在曲线上，列出有关

切点横坐标的方程组，通过解方程组求解.或者分别求出两曲线的切线，利用两切线重合列方程组求解.

跟踪训练3(2024•福州模拟)已知直线尸丘既是曲线月nx的切线，也是曲线产ln(x)的切线，则

()

A..k=-b=0B.七I,b=0

ef

C《'Dg,"1

答案精析

落实主干知识

L(WU))yj

/(X0+Ax)-f(X0)

lim

Ax—OAx

2.斜率yfixo)=f(xo)(xxo)

3.0a/1cosxsinx"Ina

11

xlnax

4/a)±g。)ra)g(x)t/a)g。)

®Q)F

5.yVu'x

自主诊断

L(1)X(2)X(3)X(4)J

2.A3.D4.-

4

探究核心题型

例1(1)BC[(ln7)W),故A错误;

[(.^+2)5111x]=2.rsin.r+(.r2+2)cosx,故R正确；

住)①/二亭，故c正确;

[ln(3x+2)]'=号,故D错误.]

十/

(2)A[因为/U)=2.y(g)+sinx,

所以/(x)=2f(^)+cosx,

令户?，

J

则尼)回国+c°s,

贝Uy(x)=x+sinx,

所以/售)苦+sin7

V3n.

=T?>

跟踪训练1CD[对于A,lim"1+2产-/.⑴

Ax-»OAx

=2limN+2yr⑴

AXTO2AX

=2f(l)=4，故A错误；

对于B,（等六上詈吧，故B错误;

对于CJ（x）=a（2x+1）'=三；,若八松）口，则£产，即折：，故C正确；

ZX-rlZX+1Z%o+IL

对于D,八》）=2计3八2）号，故八2）=4+3八2）行，故八2）[,故D正确.]

例2C|因为产三，

ex(x+l)-ex_xex

所以了二

(a1)2(X+l)2

所以k=y]x=]=^,

所以曲线产治在点(1,9处的切线方程为

殍*1)，

即冷卓

例3[2,+8)

解析函数.")=lnX+2X%T存在与直线2.v)=0平行的切线，

即八K)=2在(0,+8)上有解，

而八))三+4m,

即：+4xa=2在(0,+8)上有解，

得a=$4x2在(0,+8)上有解，

•••$142〃r1,当且仅当上一夕寸等号成立，

・••心42=2,

・•”的取值范围是[2,+8).

例4B|令广e《，得E,代入曲线产e'中，得"一1,J,所以|PQ|的最小值即为点(-1,3到直线

y=-x的距离修=.]

■eVe2+1

跟踪训练2(1)B[由JM=^2(x>0),

求导得f(x)=2x,而x0=2,

则八沏)=4,又共沏)=2,

于是函数./U)的图象在横坐标为x0=2的点处的切线方程为y2=4(x2),

令广0,得xi=1,

则a)=3,/(xi)=Q)2=^,

因此函数/⑴的图象在横坐标为所|的点处的切线方程为>;=3(r-|),

令尸0,得.口=*1.417,

所以M约为1.417.]

(2浮

解析点A(〃，a)在直线尸x上，点8(〃，e')在曲线产e1上，

即求H用的最小值等价于求直线yr上的点到曲线产e'上的点的距离的最小值，

过产e'上的点(〃？,针)作产巳的切线,可得,上二叫.即),

令e"'=l,可得三=0,

故该切线为尸户1,

则直线y=x+l与y=x的距离即为|A8|的最小值，此时|A8|二号百号，即［4B|min二日.

例5尸武答案不唯一，或填产exl)

解析设公切线与Ci:/(x)=eAl相切的切点为(笛，e"“)，与