复数的加、减运算及其几何意义（学案）-人教A版高一数学必修第二册

第七章复数

第7.2.1讲复数的加、减运算及其几何意义

班级_______姓名组号

学习目标

1.掌握复数代数形式的加法、减法运算法则.（重点）

2.理解复数代数形式的加法、减法运算的几何意义.（重点）

3.能够利用复数代数形式的加法、减法运算法则及几何意义解决问题.（难点）

重点难点

1、复数的加减运算及几何意义

2、根据复数的加减运算求参数

3、根据复数的加减运算求复数的特征

核心知识

知识点一复数加法、减法运算

I.复数加法、减法的运算法则

设复数zi=o+Z?i,Z2=c+di（。，b,c,c/£R）,则有

Z]+z2=（〃+bi）+（c+di）=田（〃+十+十十〃）i；

zi-Z2=（a+bi）—（c+di）=团（〃-c）+（Z?一介.

2.复数加法的运算律

设Zl,Z2,Z3^C,则有

交换律：Zl+z2=[Uz2+zi;

结合律：（Z|+Z2）+Z3=（UZ1+（Z2+Z3）.

知识点二复数加法的几何意义

若复数Zl,Z2对应的向量应I,应2不共线，则复数Zl+Z2是以OZl,OZ2为两条邻边的

平行四边形的对角线对应的向量晶所对应的复数，即复数的加法可以按照国向量的加法来

进行，亦即应=国函土函，如图.

知识点三复数减法的几何意义

若复数Zl,Z2对应的向量应I,应2不共线，则复数Zl—Z2是连接向量应I,应2的终点,

并指向口被减向量终点的向量ZZ所对应的复数,即复数的减法可以按照向量的减法来进

行，如图.

典型例题

掌握题型规范步骤

题型1、复数的加减运算及几何意义

1.好数4=。+4必=-3+历,其中a,〃为实数，若Z.+Z2为实数,4一々为纯虚数,则。+〃=()

A.6B.—6C.—1D.7

【答案】C

【分析】利用复数代数形式的加减法，结合实数、纯虚数的定义求解即得.

【详解】复数Z[=。+4必=-3+加,力为实数，则z,+z2=(a-3)+(b+4)i,

由4+Z2为实数，得〃+4=0,解得〃=T,又4-z?=(a+3)+(4-»i,

显然4-/?工0,由Z1-Z2为纯虚数，得"+310,解得々=—3,

所以》=—7.

故选：C

2.已知复数z的共粗复数是[若z-2W=-2-33则2=()

A.2+iB.l-2iC.2-iD.l+2i

【答案】C

【分析】设Z=〃+加（4〃£R）,然后代入z-2[=-2-3i化简，再结合复数相等的条件可求出“，〃，从

而可求出复数z.

【详解】设2=。+阳“〃wR）,则）=4-加，

所以（a+Z?i）_2（〃_Z?i）=_2_3i,即_々+劝i=_2_3i,

所以Lo，解得LJ

3Z?=-3[Z?=-l

因此z=2-i,

故选：C.

3.复数6+5i与-3+4i分别表示句量CM与08,则表示向量4八的复数为（）

A.3+9iB.2+8iC.-9-iD.9+i

【答案】D

【分析】根据朋=。4-08及向量的复数表示，运算得到答案.

【详解】复数6+5i与-3+4i分别表示向量04与08，

因为BA=Q4-O8,所以表示向量8A的或数为（6+5i）-（-3+4i）=9+i.

故选：D.

4.设z是复数且|z-l+2i|=l,则忖的最小值为（）

A.1B.73-1C.x/5-1D.小

【答案】C

【分析】根据复数模的几何意义，结合图象，即可求解.

【详解】根据复数模的几何意义可知，|z-l+2i|=l表示复平面内以（1,-2）为圆心，1为半径的圆，而

忖表示复数z到原点的距离，

2

由图可知，KLn=Jr+（-2）-i=J5-1.

故选：c

5.著名的费马问题是法国数学家皮埃尔・德费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：

“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小费马问题中的所求点称为

费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当”的三个内角均小于120。时，则

使得N4?B=NBPC=NCPA=120。的点P即为费马点.根据以上材料，若zwC,则

|z-2|+|z+2|+|z+2i|的最小值为()

A.273-2B.2G+2C.V3-1D.G+1

【答案】B

【分析】依题意确定出费马点的位置，进而可求得结果.

【详解】设z=x+yi(x,yeR),则|z—2|+|z+2|+|z+2i|表示点Z(x,y)到ABC三顶点A(—2,0)、

比2,0)、C(0,-2)的距离之和.

依题意结合对称性可知A8C的费马点P位于虚轴的负半轴上，且ZAPB=120,则

/PAO=NPBO=30.

jlW|PA|+|PB|+|PC|=—x2+(2-2tan30)=26+2.

cos30

故选:B.

题型2、根据复数的加减运算求参数

6.已知复数z满足z+25=3+4i(i是虚数单位)，则2=()

A.l-4iB.6-4iC.6-2iD.3-2i

【答案】A

【分析】设2=，+加(a.^R),求得z+2一勿一为，根据题意求得的值，即可求解.

【详解】设z=a+历R),可得z+23=a+〃i+2(ai)=3〃-/?i

因为z+2乞=3+4i,所以3a—历=3+4i

解得。=1,。=-4,所以z=l—4i.

故选：A.

7.若z+"2,则|z|+2彳的实部可能是()

A.3B.1C.3iD.i

【答案】A

【分析】设2=。+砥a,〃eR),则由已知可得a=l,则z=l+历(MR),然后代入忖+25中计算可求出

其实部，从而可得答案.

【详解】设2=。+药(。1£1^),

因为z+2=2,

所以a+/?i+a—bi=2,得a=l,

所以z=l+"i(OeR),

所以忖+2彳=Jl+6+2(1—历)=(11+6+2)—2池,

则上+25的实部J]+从+223,

故选：A

8.已知3l-2z=2-5i，则2=()

A.2-iB.2+i

C.-2-iD.-2+i

【答案】B

【分析】结合共怩复数的概念以及复数的运算和复数相等得到「二:，进而可以求出结果.

【详解】设z=“+bi(a,bwR),则W=ji.由3(。一历)-2(a+bi)=2-5i得〃-5洌=2-5"则

(1=2

,,»所以。=2,b=\,所以z=2+i.

-5b=-5

故选：B.

9.若|z|+z=3+i,贝I」z=()

44

A.1一一iB.l+-i

33

44

C.-+iD.一—+i

33

【答案】C

【分析】设里数zr+)，i(x,)，£R),代入方程得：后T+Ayi=3+i，从而求出答案.

【详解】设复数z=x+yi(x,y£R),

依题意有yjx2+y2+x+yi=3+i,

因此［信+手+”=3,解得卜V故

Ii"3

故选：C.

10.zeC,若|z|-5=l+2i,则2=()

33

A.—2zB.—F2/C.2+2/D.2-2/

22

【答案】B

【分析】设Z=4+初，化简得到解得答案.

\la2+b~-a-1

【详解】设z=4+〃i,PVJ|z|-z=yja~+b2-a+bi=i+2i»故

b=2

3

a——3

故，2,故z=7+2i.

.r2

b=2

故选：B.

【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.

题型3、根据复数的加减运算求复数的特征

11.如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数z=-a+2i（其中aeR）

为“等部复数”，则复数）-2出在复平面内对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】根据题意求得。=-2,得到，=2+2i，化简W-2ai=2+6i，结合复数的几何意义，即可求解.

【详解】因为复数z=r+2i（其中awR）为“等部复数，可得〃二一2,

即z=2+2i,可得5=2-2i,

则"加i=2-2i+4i=2+2i在复平面内对应的点为Z（2,2）位于第一象限.

故选：A.

12.复数。+如一（3-旬对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【分析】根据复数的运算法则，求得复数为-2+6i,结合复数的几何意义，即可求解.

【详解】由里数（l+2i）-（3-4i）=-2+6i,可得狂数在夏平面内对应的点（-2,6）位于第二象限.

故选：B.

13.实数%>1时，复数〃?（3+i）-（2+i）在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】先将复数化为一般形式，结合机的范围判断出实部和虚部的符号，从而得到答案.

【详解】7m（3+i）-（2+i）=（3/w-2）+（m-l）i,

又加>1,故3〃[-2>1>0-1>0,

故该复数在复平面内对应的点位于第一象限.

故选：A.

14.复数i2+2i13i4在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】根据兔数的运算可得i?+2尸+3i'=2-2i,结合里数的几何意义分析判断.

【详解】由题意可得：/+2/+31=一1一为+3=2-23

所以该复数对应的点为(2.-2)，该点在第四象限.

故选：D.

15.设复数4=-2+3/；2=1+2，，则复数4-Z2在复平面内对应的点所在的象限是()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【分析】讲堂数转化为复平面上的点的坐标进行判断即可.

【详解】根据复数运算可知：Z,-Z2=-3+/-,在复平面对应的点的坐标为(-3,1),

位于第二象限.

故选：B

达标巩固

巩固基础提升能力二

一、单选题

1.已知复数z=-l+i,z-az=-6+6i(a/wR),贝ij〃=()

A.-5B.—4C.—3D.—1

【答案】B

【分析】利用复数相等的条件得到方程组，求出答案.

【详解】(T+i)-a(T-i)=-6+加，故+(1+a)i=-6+加，

67-1=-6=，fa=-5

所以।人，解得八.

l+a=b[b=-4

故选：B

2.复数4=。+3，，z2=-4+bit其中。，〃为实数，若马+4为实数，4一?为纯虚数，则〃+〃=

()

A.-7B.-6C.6D.7

【答案】A

【分析】由复数运算和分类可解.

【详解】由题意4+4=。-4+（3+Z?）i,马一马=a+4+（3-〃）i,

因为4+4为实数，4-Z2为纯虚数，

3+8=0b=-3

所以，得

4+4=()

所以。+6=—7.

故选：A.

3.在复平面内，复数z对应的点Z的坐标为（-2疝120。,-23120。），则上+2百卜（）

A.2B.2>/3C.3>/3D.1+6

【答案】A

【分析】利用特殊角的三角函数值，结合复数的运算即可得解.

【详解】因为（-2sinl20°,-2cosl200）可化为（-瓜1）,

所以点Z的坐标为贝iJz=-x/5+i,

所以2+26=-百+1+26=6+"

所以卜+26卜府&7=2.

故选：A.

4.若复数z=4-3i（i为虚数单位），则z-忖在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【分析】求出国，化简复数z-忖，利用复数的几何意义可得出结论.

【详解】因为复数z=4—3i（i为虚数单位），则苗=+（—3）2=5,

所以,z-|z|=4-3i-5=-l-3i,

因此，复数z-|z|在复平面内对应的点的坐标为（-『3）,位于第三象限.

故选：C.

（z+2z=9-4i..

5.已知i为虚数单位，复数z满足_o.,则忖=（）

z-z=81

A.25B.9C.5D.3

【答案】C

【分析】直接解方程组求出复数z,从而可求出复数z的模

z+2z=9-4ifz+2z=9-4i

【详解】由得［2z-25=16i,解得z=3+4i,

z-z=8i

所以上|="32+4?=5»

故选：C

6.在兔平面内，。为原点，i为虚数单位，复数z对应的向量OZ=(1,2),则|z-i|=()

A.3B.75C.2D.V2

【答案】D

【分析】由复数的几何意义可得z=l+2i,再根据题意计算复数的模即可.

【详解】因为当数z对应的向量。Z=(l,2),所以z=l+2i,

JW|z-i|=|l+2i-i|=|l+i|=J12+『=&.

故选：D.

7.设复数z满足|z-2i|=W，z在复平面内对应的点为(%,y),则()

A.(x-2)2+r=B./+(y-2)2=6

C.x2+(y-2)2=3D.f+(y+2)2=3

【答案】C

【分析】利用复数模的坐标表示即可得解.

【详解】因为z在复平面内对应的点为(x,y),

所以z=x+yi,则z-2i=x+()，-2)i,

又|z-2i|=G，所以JW+(),_2)2=6,即V+(),_2)2=3.

故选：C.

8.已知复数z满足|z-i|=|z|,则|z|的最小值为()

3

A.-B.!C.—D.1

424

【答案】B

【分析】设z=x+M(x,)，£R),化简己知等式可求得j=由复数模长运算可求得结果.

【详解】设z=x+yi(x,ywR),

由上一“二回得：|x+(j-l)i|=|x+>i|,/.^2+(y-1)2=^2+/,

整理可得：y=.•.z=x+：i,

(当且仅当x=()时取等号),的最小值为

故选：B.

二、多选题

9.已知4，Z?为复数，则下列说法正确的是（）

A.若AsR,则4=ZB.若团=㈤，则4=芍

C.若4=22，则|zj=|zjD.若|z「Z2|=|Z||,则Z|=0或Z?=2Z|

【答案】AC

【分析】根据共枕复数的定义、复数模的运算公式，结合复数减法的运算法则逐一判断即可.

【详解】A：根据共知复数的定义,木选项正确：

B：取Z]=1,Z1—\,满足㈤=忆|,但21Hz2,故本选项错误;

C：设4=4+5,z1=c+d\,a,b,c，deR,由4=z2,得a+/=c+c/i,即。=。，b=d,所以

"+/=/+42,即㈤=肉|,故本选项正确;

D：取4=2,z2=l+>/3i,则马一2?=1-后，|Z|-Z2|=2=|Z，此时0且z2w24，故D不正确.

故选：AC

10.已知复数4=l-i,z2=2-i,z,=2+2i在复平面内对应的点分别为且。为复平面内的原

点，则（）

A.21+?2的虚部为—2i

B.Z2-4为纯虚数

C.OA1OC

D.以|04|,|。屏|OC|为三边长的三角形为钝角三角形

【答案】BCD

【分析】计算，结合复数的概念，即可判断A、B；由已知得出O4OC,求解数量积即可判断C；由已

知求出|0川,|。臼,|OC|的长，根据三边之间的关系，即可判断D.

【详解】对于A项，因为z#Z2=3-2i,所以4+4的虚部为一2,所以A错误；

对于B项，因为4-4=-3i,所以Z2-Z3为纯虚数，所以B正确：

对于C项，因为。4=（—1）,比=（2,2）,

所以O/VOC=0，所以所以C正确；

对于D项，由已知可得|。4|=闵=正，|0叫=同=6,凶=闾=2&,

且町=7<8=|OC。所以，|。4|2+|。叶所以D正确.

故选：BCD.

三、填空题

11.若4=l+2i,Z2=2+ai,复数Z2-Z所对应的点在第四象限内，则实数。的取值范围是

【答案】（-8,2）

【分析】利用复数减法化简Z2-z，根据复数所在象限有。-2<0,即可求参数范围.

【详解】由题设Z2-Z1=2+ai-(l+2i)=l+(〃-2)i在第四象限，

所以〃一2<0,即々<2.

故答案为：(f,2)

12.若复数Z1=x+i,z2=3+yi,z,+z2=5+6i,其中x,>为实数，则z/Z2=.

【答案】-l-4i

【分析】先根据乙十々二5十6i,其中人，，为实数，利用复数相等求得x,y求解.

【详解】解：因为数z1=x+i,z2=3+yi,z,+z2=5+6i,其中x,为实数，

x+3=5x=2

所以，解得<

1+>'=6"5

则Z]=2+i,z2=3+5i,

所以Z]-z2=-l-4i,

故答案为：-l-4i

四、解答题