高考数学二轮复习：线面位置关系及距离、空间角问题

j小题专讲,第2讲线面位置关系及距离、空间角问题

「考情研析」1.本讲在高考选择题或填空题中的常考点：空间点、线、面之间的位置关系

的判断和性质，空间角、空间距离的计算，难度中等或较大.2.本讲内容若出现在压轴小

题的位置，则一般为立体几何动态问题或翻折问题.

核心知识回顾

知识串联

(I)空间线、面位置关系

件质

①或/与重合O

向

H法

让

平

明

戈

幺

〃

判定

行

系

戈

美

幺l\//a或/|Uao

，

件质

1乃⑤

y丁

ia〃。或窃与6币介

一

向

.•法

线

垂

证Itt

朗

系/i1/0V|-Lv

定

判

线H

戈22

义

垂

定⑤

al/34=>/i|l/i：

1,1

定义

注:①一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线平行，则这两个平面平行.

@a//bya_La=b_La.

③/_La,/_L』=a〃R

®/±a,a〃尸=/_L£.

⑤直线人和/2的方向向量分别为力和也，平

面a和4的法向量分别为小和«2.

(2)空间距离

图形公式

点直线/的单位方向向量为小

到

直

向1是直线/上的任一点.P为

线

量宜线/外一点，AP=a点尸到直线/

的

法的距离小

距

2

离/y/a'-(a・«)

AQ/

，

点

到图形公式

平

面平面的法向量为〃

a平面外一点

的/

距

离1〃/P〃到平而a

.的距离为

"・小

(3)空间角

线线角

设。为异面直线a.右所成的角,%。分别表示异

面直线a，〃的方向向量,则res,夕=l”c*〈4,.b〉_l

_\a'b\

~\a\\b\

线而角

0

H

间

角

2,结论记忆

面积射影法求解平面与平面的夹角

在平面。上取一块区域，面积记为S侬，该区域投影至平面夕，投影面积记为S射，平面a与

平面夕的夹角记为。，则cosO=U.

热点考向探究

考向1空间线面位置关系的判断

例1（1）（2024・辽宁重点高中二模）设a,夕是两个平面，〃?，〃，/是三条直线，则下处命题

为真命题的是（）

A.若lup,mua,I工m,则a_L£

B.若/〃a,l//p,an£=m,则/〃/〃

C.若an£=〃?，fiC\y=n,yC\a=L则/z〃〃〃/

D.若〃?_L〃，则〃〃a

答案：B

解析：对于A,若/u夕，mua,/_!_〃?，则a,夕相交或平行，故A是假命题：对于B,若/

〃a,l//p,a（\p=m,由线面平行的性质可得/〃加，故B是真命题；对于C,若41;?=加，

pC\y=n,yfla=/,则〃?，n,/可能交于一点，故C是假命题；对于D,若〃?_L〃，m_La,则

〃〃“或〃ua,故D是假命题.故选B.

（2）已知侧棱和底面垂直的三棱柱ABC-4B6的所有棱长均为3,D为侧棱CG的中点，M

为侧棱上一点，且4扬=1,N为81G上一点，且MN〃平面A8。，则八@的长为（）

A.1B.2

C.D.

答案：B

解析：如图，取BBi上一点F,使SF=1,延长。G至点E,使DE=2,连接EF,E/TBG

=N,连接ME,MF.'：BF//DE,8/=OE,，四边形F8OE是平行四边形，尸〃8Z),又

ERt平面A8。，・•・£尸〃平面A8D,同理，M广〃平面A8。，且M尸0£尸=凡.•.平面ME尸〃

平面A4Q,・，团7匕平面扬£/，・・・MN'〃平面A4。，:ME平面用ERMN〃平面430，

INRFR

点、V即为点、N.•:ECi=DE-DCi=w，ABiFNsAC'EN,/.T77r=T7L=2>又86=3,:.

Z/VCicCi

N51=2.故选B.

(3)(多选)已知正力体A6CD—Ai5|CiA的棱氏为1,卧=入通,C^=fiCt],其中75。，1]，

//e[0,1],则下列说法中正确的是()

A.若PQu平面A8C，则7+"=:

B.若PQ〃平面A4CQ,则7=〃=)

3

C.存在/1,〃，使得尸Q=;

D.存在人使得对于任意的"，都有尸Q_L8。

答案：AD

解析：以。为原点，D4,DC,。。所在直线分别为％,)，，z轴，建立空间直角坐标系，则

丽】=(一1,-1,1),若PQu平面A8C，则Q与。重合，即"=0,办=初+即=(1一九

1—九A),设+z5t=(x+y,y+z,>),则(x+y,y+z,y)=(l一九1一九A)»

p=l-2x，

所以《丁=2'x+)，+z=l—2>.+2+l-22=2—32,尸在平面内，则x+y+z=l,2

lz=l-2；.»

=1,x+/z=1,A正确；若PQ〃平面ABC。，则只需2=〃，B错误；成=7而产(一九一九

2),3(1,I,0),P(l-A,1-z,A),的="&】=((),0,〃)，C(0,1,0),则Q(0,1,〃)，

质F=q_|)2+22+a_力2=3/—2；.(〃+1)+1+/,假设存在九"，使府|=|,则3M—2如

+1)+1+"2=孩，即3/一2如+1)+/+要=o,令曲=3/一2如+1)+"2+黑则肋图

象的对称轴是直线2=缺工"£[0,1],2=容■£|*|[0,1],y(TB=3x/+l)2—

2(〃+1)><|(〃+1)+"2+昔=|^—；)+击>(),所以不存在九"，使得PQ=|,C错误；应=

(A-1,6〃T),力=(-1,-I,0),当地_L前时,1一4一2=0,；=|,所以存在2=今

对于任意的"，都有尸Q_L3£>,D正确.故选AD.

)方法指导!判断空间线面位置关系的常用方法

利用空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行

定理法

判断

借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，

模型法

结合有关定理，进行肯定或否定

当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，

反证法

进而作出判断

向量法构建空间直角坐标系，利用空间向量判断线、面平行(垂直)

I.如图，己知正方体人8CO-A]81cl小，点P在直线4。1上，Q为线段8。的中点，则下

列命题中为假命题的是()

A.存在点尸，使得尸Q_LAiG

B.存在点P,使得PQ〃AJ

C.直线PQ始终与直线CG异面

D.直线夕。始终与直线"G异面

答案：c

解析：当点尸和点。重合时，PQ_LA|G，故A是真命题；连接A|。，当点尸为线段4。

的中点时，PQ为△4BQ的中位线，即PQ〃AiB,故B是真命题；当点尸和点A重合时，

直线户。和直线CG相交，故C是假命题；直线8G〃平面AQ。，PQu平面AQQ],所以

直线.与直线。。不相交.假设8G〃PQ，由于3G〃AQi，则这与直线.PQ

和直线人。।相交矛盾，所以直线PQ与直线8G异面（或者利用异面直线的判定方法：BGu

平面4BGG，PQCI平面4BGG=P,PWBG，所以直线PQ与直线8G异面），故D是真命

题.故选C.

2.（多选）（2024・南京师大附中模拟）四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PO_L底面ABCD,

PD=AD=1,屋闻，冲=总前，平面平面尸8C=/,PCCI平面。£r=G,则（）

A.直线/与平面布。有一个交点

B.PCLDE

c.

D.三棱锥尸一EFG的体枳为系

答案：BD

解析：取PC的中点Q,连接EQ,DQ,因为E是棱PB的中点，则8C〃EQ,因为

BC,贝（4Q〃石Q,即4,。，E,Q四点共面，则直线/为直线EQ,因为4Qu平面外£）,

EQC平面以。，AD//EQ,所以EQ〃平面办O,即/〃平面以。，故A错误；因为PO_L底

面ABCD,4Qu平面ABCD,所以PD1AD,又底面ABCD为正方形，所以C7）J_A0,又

PDC\CD=D,PD,CDu平面PDC,所以AO_L平面PDC,又尸Cu平面PDC,所以4D_LPC,

因为4O=PD=DC,所以APOC是等腰直角三角形，又PC的中点为Q,所以PC上DQ,因

为AOCOQ=。，AD,DQc平面ADQE,ADLPC,PC1DQ,则尸C_L平面4OQE,又DEu

平面AQQE,所以PC_LQE,故B正确；设所=九Pb=PA+Ab=^B（：=^Pb-Ph=

/彷十）.由一2屋，PCCI平面DEF=G,所以D,E,F,G四点共面，则方+/一2=1,得A

=摄即用=]而故C错误；VP-EFG=VE-PFG=^VB-PFG=Y^^VB-PAC=^VP-ABC=^

故D正确.故选BD.

p

3.（多选）（2024.安徽江南十校模拟）如图，正三楂柱A8C—A/iG的各棱长相等，且均为2,

N在△人8C内及其边界上运动，则下列说法中正确的是（）

A.存在点M使得GN1平面A8C

B.若GN=小，则动点N的轨迹长度为,

C.E为AG的中点，若GN〃平面人历E,则动点N的轨迹长度为小

D.存在点M使得三棱链。一4|用7的体积为平

答案：BCD

解析：对于A,取A0的中点小，A8的中点。，连接OiG，DDi，DC,由为等

边三角形，可得AiS_LGDi，又CG_LAI8I，CiD|ACCi=Ci，且G。1，CGu平面。QCG，

所以A山i_L平面OiQCG，又A山|U平面ABC，所以平面48|C_L平面£）|QCG,因为平面

A/]Cn平面Q|QCG=OiC,过G作GH_LQC于〃，根据面面垂直的性质定理，可得G"

_L平面48C,在矩形OQCG中，D\C\<DD\t所以/£>1©。>45。>/。|。阳,

如图所示，此时GH的延长线与线段。。无公共点，所以不存在点N,使得GALL平面

所以A错误；对于B,因为C|N=小，在RSGCN中，可得CN=7CIN2—CG=T,所以

点N的轨迹为以C为圆心，1为半径的圆瓠，又N4C8=?所以动点N的轨迹长度为半

所以B正确；对于C,取AC的中点P，连接CL,BF：BG,可得BF//BE

因为GAt平面ABE,AEu平面所以GF〃平面A©E,同理可得B尸〃平面A&E,

又GFCBF=F,且GP，BPu平面C18F,所以平面。出厂〃平面因为平面G8”!平

面48c=8凡且GN〃平面所以动点N的轨迹为线段BF,其长度为小，所以C正

确；对于D,由VC-A18N=VN-A严,当点N在ZkAAC内及其边界上运动时，可得（匕〉-八产：）3

因为乎＜¥，所以存在点M使得•三棱锥C—48N的体积为*,所

以D正确.故选BCD.

考向2空间角的计算

例2（I）如图所示，在三棱柱4BC-4由iG中，ZkABC是等边三角形，A4_L平面ABC,A4

=AB=2.D,E,F分别是BBi,A4,4G的中点，则直线EF与CD所成的角的余弦值为（）

,_F5

H

A.|B.当

C.D.0

答案：D

解析：解法一：延长AiCi，AC,使CiM=AiCi，CN=AC,连接AG，CM,DM,BM,

MN,BiF,如图所示.由题意，易知EF//ACi//CM,CD=&CM=2®DM=^B\D2+B\M2

=勺8。2+8]产+FM2=\]2+（小）2+32=仃设直线石尸与co所成的角为以易知cos。

CD2+C/-DM2\（＞）2+（2/）2—（正）2

=|cos/QCM=—五万丽-1=2x表2啦—=0,・.•直线E/与

CO所成的角的余弦值为0.故选D.

解法二：如图，将三棱柱补成四棱柱，其中两个三棱柱全等.取P4的中点Q,连接0。，

由棱柱性质易知EF〃QQ.・・・NCOQ或其补角为与8所成的角.连接CQ,由题知8c

=2,BQ=1,BD=1,：・CD=木,DQ=®又/CBQ=120。，・••在中，由余弦定

理可得CQ2=22+]2-2x2xlx(一£)=7,在AC。。中，COnCh+o^2,JZCDQ

=90。，・•・直线EF与CD所成的角的余弦值为0.故选D.

解法三：如图，以A为原点，过点A垂直于平面4CGA的直线为x轴，AC,A4所在直线

分别为)，轴、z轴，建立空间直角坐标系.则E(0,0,1),RO,1,2),C(0,2,0),D(小,

\,1),・••访=(0,I,1),劭=(小，-1,I).VE^C6=0-I+1=0,:.EF±CD,，直

线EF与CO所成的角的余弦值为0.故选D.

(2)如图，在边长为4的菱形/WCQ中，已知ACrWQ=O,NA/3C=60。.将菱形A4C。沿对

角线AC折起，得到三棱锥。一八8C,二面角。一AC-B的大小为60。，则直线与平面

DAB所成的角的正弦值为()

A皿B啦

a.3

A.13

2^1312g

J1313

答案：A

解析：因为四边形ABC。为菱形，且。为AC的中点，则OZ）_LAC,0B1AC,所以NOO8

为二面角镇一AC—8的平面角，所以/。。8=60。，又。。nOB=O,OD,OBu平面。BD,

所以AC_L平面080,△OQB为等边三角形，取08的中点“，则。，_LOB,又D”u平面

OBD,所以4C_LO”,且ACnO8=O,AC,OBu平面A8C,所以。H_L平面A8C,且。4

=*44=2,则04=2小，所以DH=«（2小）2—（小）2=3.因为VD-ABC=VC^BD,即！

心八叱。”=9小皿&其中"为点。到平面48£＞的距离），所以＜/=卑叵，即直线8C与平面

12vB

DAB所成的角的正弦值为爰=—^-=与限.故选A.

（3）（2024.河北沧州期末）将两个相同的正棱锥的底面重叠组成的几何体称为“正双棱锥”.如图,

在正双三棱锥P-ABC-Q中，以，P8,PC两两垂直，则二面角P-AB-Q的余弦值为（）

A.普B.—当

C.-3D.-（

答案：D

解析：取的中点。，连接P。，。。，PQ,PQ交平面A8C于点0,由正棱锥的性质及对

称性易知。为△ABC的中心，且PDJ_AB,DQ1AB,故NPDQ为二面角P—A8—Q的平面

角，设正三棱锥的侧棱长为2,易得PD=DQ=y/2,OD=*AB=普,则PQ=

,2+2_j6

2尸0=2、^（V2）2—闺=挈，在△POQ中，由余弦定理得cos//=一,

故选D.

方法指导空间角的求解方法

空赢、几何法向量法

用“平移法”作出异面直线所成的角写出两直线的方向向量，利用

异面直线所成的角

（或其补角），解三角形求角向量的夹角公式求解

（1）按定义作出线面角（即找到斜线求平面的法向量，利用直线的

在平面内的射影），解三角形方向向量与平面的法向量的

直线与平面所成的角（2）求点到平面的距离，由距离与斜夹角的余弦值的绝对值等于

线段长的比值等于线面角的正弦值直线与平面所成的角的正弦

求线面角值求线面角

利用组成二面角的两个半平

作出二面角的平面角，利用解三角

二面角面的法向量的夹角与二面角

形求角

相等或互补求角

注意二面角的平面角的定义与向量法的综合应用.如图，AB,CD是二面角a-l

一夕的两个面内与棱/垂直的直线，则二面角的大小夕=〈翦，cb）.

对点精练

I.（2024•陕西咸阳三模）已知各棱长都为1的平行六面体ABCO—48IGOI中，棱M，A5,

A。两两的夹角均为三，则异面直线84与CS所成的角为（）

7T八兀

A-4B-6

C.Iit

D.?2

答案：c

解析：在平行六面体中，连接A。，BD,A^\//AB//CD,AlB]=AI3=CD,

则四边形4历CO是平行四边形，B\C"A\D，于是NBA。是异面直线84与CBi所成的角

或其补角，由/Ui=4B=AO=l,棱A4i，AB,A。两两的夹角均为争得AAB。，△A84,

都是正三角形，所以AiB=BO=4/）=I,则NBA|/）=?所以异面直线B4与CBi

所成的角为生故选C.

2.（2024•辽宁实险中学二模）长方体ABC。一AIIGOI中，四边形ABBNi为正方形，直线

SC与直线AD所成的角的正切值为2,则直线B.D与平面ABCD所成的角的正切值为（）

A.2B.平

C.小D.去

答案：B

解析：在长方体ABCQ—A/IGDI中，AD//BC,所以NBCS就是直线8C与直线A。所成

的角,因此tan/8CS=学'=2,即5c=、4以，又由平面A6CO,知/助。8是直线

nCZ

BiD与平面ABCD所成的角，tan〃1）13=错=I普;=/=乎.故选

Y'.yjBB*+QBB]

B.

3.（2024•内蒙古包头一模）如图，底面/WCO是边长为2的正方形，半圆面人PO_L底面"CD，

点P为圆弧4。上的动点.当三棱锥P-BCD的体积最大时，二面角P-BC-D的余弦值为

)

在

B.

A.5

2小

D.

C.5

答案：D

解析：三棱锥P—8CQ的体积与点P到平面8C。的距离成正比，故当三棱锥P—BCO的体

积最大时，点尸处于半圆弱的正中间位置.此时，记4。的中点为。，以0为原点，鼐，用,

舁的方向分别为x，y,z轴正方向，建立空间直角坐标系.显然平面8C。的一个法向量为

m=(0,0,1),尸(0,0,1),8(2,-1,0),C(2,1,0),设〃=(x,y,z)为平面PBC的法

〃・成=0，y—z=0»

向量，曲=(2,-I,-I),P&=(2,1,-1),则，即＜%+):=(),令尸I,得

〃屉=0»

y=0,z=2,故〃=(1,0,2),显然二面角户一8。一。为锐角，因此所求余弦值为|cos〈小

22小

•・故选D.

\n\\m\~\xy[5~5

考向3空间距离的计算

例3(1)已知圆锥的顶点为S,底面圆心为点O,高是底面半径，•的啦倍，点A,8是底面

圆周上的两点，若ZiSAb是等边三角形，则O到平面SA3的距离为()

A.|rR0

B.3r

CAD.坐

L•3/

答案：B

解析：如图，OA=OB=r,SO=@,可得S4=SB=4B=，5r,S&SAB=4・小，•小r•哗=平

乙乙1

户,SAOAB=3巾r-、J/一像J=兴於,设O到平面SA8的距离为近则由人"产总f8,

得/坐尸•乎/也解得。=坐「，・・・。到平面SAB的距离为客，.故选B.

⑵(2024•北京昌平期末)如图，在棱长为I的正方体ABCD-A由中，E为线段人8上的

点，且殁=3,点P在线段。iE上，则点尸到直线4。距离的最小值为()

ATB.#

3

C.TD.1

答案：C

解析：由题意，以。为原点，DA,DC,£)。所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的

Ap

空间直角坐标系，因为正方体的棱长为号所以。|(

1,匚=3,0(0,0,0),A(l,0,0),0,0,

433

-U-

44，2£[0,II,所以亦=£>/+协i=

-1)+(0,0,1)=(1I),而赤=(1,0,0),所以助在次上的投影数量

的绝对值为d=||加卜cos《加,£1〉|=10乎।=3所以点P到直线人仆的距离仁J.一屋

\DA\

等号成立，即点P到直线A。距离的最小值为点故选C.

（3）（多选）（2024・山西吕梁模拟）正方体ABC。一ABiGd中，48=1,下列说法正确的是（）

A.直线4S到平面ABCD的距离为1

B.直线到直线AC的距离为3

C.点B到直线4c的距离为坐

D.平面CIOAI到平面/WC的距离为坐

答案：ACD

解析：对于A,如图1,平面ABCD,4由〃平面ABC。，44尸1,故直线4所到平

面ABC。的距离为1,故A正确；对于B,如图2,设。］,。2是上、下底面的中心，则。1

eBi£）i，O2e/lC,则O。?！.平面ABCZXACu平面ABCQ,故O|O2_LAC,OQ2_L平面

Bd<=平面AiBiCDi,故OiQ_LB|面I,。。2是异面直线8孙，4C的公共垂线段,。。2=1,

故B错误；对于C,如图3,连接4B,作BHJMiC于〃，BC_L平面48u平面

ABBiAi，故BCLAiB,在RQABC中，A1B=巾,BC=\,A|C=小，故坐，

故C正确；对于D,如图4,连接8。，AC〃AiG，ACC平面GDAi，AC,平面GO4，

故AC〃平面GOA，同理人小〃平面GO4，ACC\AB\=A,AC,ABC平面ABC，故平面

GO4〃平面A&C,因为DDiJL平面ABC。,ACu平面ABCD,所以OG_LAC,又BDLAC,

BDQDD}=D,BD,OO】u平面BOOi，故AC_L平面8。口，8。1匚平面8£>。|,故4CJ_8G，

同理可得8C_L8Di，ACnB|C=C,AC,BCu平面A'C,故8£h_L平面A8C，同理创力

_L平面GD4i，设点B到平面AB\C的距离为h,则;x/xlxlxl=^</八/2乂42'坐x/?,"=乎，

点G到平面GQ4的距离也为从故两平面间的距离为小一坐一坐=坐，故D正确.故

选ACD.

图3图4

方法指导

1.点到直线的距离的求解方法

几何法作垂线构造直角三角形，解三角形求出垂线段的长度

二

A)1

向量法

如图，设#=〃，"为直线/的单位方向向量，则点尸到直线/的距离尸Q=

M箱2一|匝|2=*2­(0〃)2

2.点到平面的距离的求解方法

(I)直接法：根据空间图形的特点和性质，找到垂足的位置，直接向平面引

垂线，构造可解的直角三角形求解；

几何法(2)等积法：利用三楂锥的换底法，通过体积计算得到点到平面的距离.本

法具有设高不作高的特殊功效，减少了推理，适用于几何体体积容易计算

的情况

向量法

如图，平面点点〃为a的法向量.点P到平面a的距离

|两-网・|cos〈或加一唏^

侬3线线距离可转化为点到直线的距离，线面距离、面面距离均可转化为点到平面的距

离.

对点精练

1.(多选)已知正方体ABCD-A/m的棱长为1,E,。分别是AS，LG的中点,尸在

正方体内部且满足#=汕+%力+|筋,,则下列说法正确的是()

A.点4到直线BE的距离是乎

B.点。到平面ABCD的距离为乎

C.点P到直线48的距离为2京5

D.平面4归。与平面8C5间的距离为卓

答案：ABD

解析：如图，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),5(1,0,0),。(0,I,0),4(0,0,I),

Ci(l,1,1),Di(0,1,1),雄,0，1),O(；*，1),所以就=(一1,0,0),就=(一3'0,1).

对于A,设则cos9=胡■=坐'sin9=y1—cos2j=W^,故点A到直线BE

必I说

的距离”=|或Kin6=lx^^=邛^,故A正确；对于B,以3=(一:‘一；'因为ABJ.

平面AQG4,Q4u平面AOOA，所以A8_LO4,又AB^AD\=A,AB,AD,c

平面A8G。，所以。AJL平面A8G。”平面ABG小的一个法向量为/i=(0，—I,1),

1

则点O到平面ABCM的距离力』见°。=痴=乎,故B正确；对于C,因为#=日硅+

当中+冬丸，所以港=(1，0»0),则A所以点尸到直线AB的距

离di=^l|4?12—名£=弋m-条=看,故C错误；对于D,否方=(1,0,—1),Mb

H9AIB=()，

=(0,1,—1),4力］=(0,1,0).设平面44。的法向量为〃=(x,y,z),贝“所

n-Abb=o，

[x—z=0»

以<八令z=l,得x=l,)，=1,所以〃=(I,1,1),所以点。I到平面A田。的距离

(y-z=05

,|/f力闾__1__亚

21川飞二3'因为所以四边形8CG4为平行四边形，所

以A|8〃DC，OiCu平面SC。，AiB仁平面SC。，所以48〃平面8C。，同理可得4。

〃平面SC。，又Ai8nAD=Ai，A\B,4Qu平面4归。，所以平面A山。〃平面81a）1,所

以平面48。与平面8C9间的距离等于点。到平面A3。的距离，即为由，故D正确.故

选ABD.

2.如图，AABC内接干圈O,/W为阴。的直径，A8=10,BC=6,CQ_L平面/WC,E为

人。的中点，且________,则点人到平面BCE的距离为（）

①异面直线BE与AC所成的角为60。；

②三棱锥D-BEC的体积为1673.

注：从以上两个条件中任选一个，补充在横线上并作答.

A巫B4

A.3D-3

「国c处

v.z•7Lz•3

答案：c

解析：选①：・・・/W为圆。的直径，且A8=10,AC=6,••.△ABC为直角三角形，4C=8.

如图，建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(8,0,0),8(0,6,0),设E(4,0,A),A>0,

则不=(8,0,0),C6=(0,6,0),旗=(4,-6,h),Alcos<cA,而1=~^==^=

8xq16+36+"

=cos60°=1,：.h=2小,AC£=(4,0,2®.\c£c^=0,：,CELCB,且CE=2巾」;

V^\-BCE=VE-ABCY即=；s△八8。%£，|x£x6x2由x/〃=gx皋6x8x2小，,*.hA=&早

选②：:AB为圆。的直径，且AB=10,BC=6,...△48C为直角三角形，AC=8,又CD

_L平面ABC,・・・CQ_LAC,CQ_LBC,为4。的中点，且三棱锥。一8EC的体积为16小,

,VD-ABC=2VD—8EC=324，AVD-ABc=^ABc-CD=jx^<6x8xCD=32A/3,：.CD=4®:.

4力=、4。2+82=弋64+48=4币,・••在RtAACD中，CE=^AD=2y/i.VBCLAC,SCI

CD,ACC\CD=C,・・・8C_L平面AC。，VCEu平面AC。，J.BCICE,，%-砂=装砂加

=

=VD-BCE16小，:.gx：x6x2市x〃/i=]6小，/.hA故选C.

真题冷押题

宣,真题检验,

1.（2024•全国甲卷）设a,。是两个平面，阳，〃是两条直线，且“1少=加.下列四个命题：

①若“?〃〃，则〃〃a或〃〃夕；②若加_1_〃，则〃_La,〃_!_?；③若〃〃a,且〃〃夕，则〃!〃〃：

④若〃与。和人所成的角相等，则〃△几

其中所有真命题的编号是（）

A.①③B.②④

C.①②③D.①③④

答案：A

解析：对于①，当〃ua时，因为加〃〃，加u夕，则〃〃△，当〃u//时，因为小〃〃，加UG,则

n//a,当〃既不在a内也不在少内时，因为加〃〃，〃匚或，则〃〃a且〃〃夕，故①是

真命题；对「②，若，〃_!_〃，则〃与a,p不一定垂直，故②是假命题；对了③，如图，过直

线〃作两平面与a,/?分别相交于直线s和直线/,因为〃〃a,过直线〃的平面与平面a的

交线为直线s,则根据线面平行的性质定理知〃〃s,同理可得〃〃3则s〃/,因为sC平面夕，

fu平面p,则$〃平面夕，因为su平面a,aC\fi=m,则s//m,又因为n//St则m//nt故③

是真命题；对于④，当〃〃呢〃〃用时，〃与a和夕所成的角相等，但m〃大故④是假命题.故

选A.

2.（2024.新课标II卷汜知正三棱台48c—481G的体积为了，AB=6,4出=2,则AA与

平面ABC所成的角的正切值为（）

A.5B.1

C.2D.3

答案：B

解析：解法一：分别取8C,86的中点。，D）,连接A。，AB，.则4D=3小，

=小，可知SMSC=36X3小Sj[8[C]=£x2x，5=，5,设正三棱台ABC—Ai41cl的

高为h,则以改「4M。=|><（"/5+小+“\国小）/?=苧，

解得/?=十.过4,。作底面的垂线，垂足分别为M,N,易知M,N在线段A。上，设

AM=x,贝I]AAi=ylAM2+A\M2=x\/.r24-^,DN=AD—AM—MN=2-\[3—x,可得DD\=

7。用+DN=yl（2小-x）?+中,结合等腰梯形BCC\H\可得B册=（\2）+。。「即

f+牛=（2小一文）2+毕+4,解得x=挈，所以4A与平面A4C所成的角的正切值为【anN

JJJ

44。=舞=1•故选B.

解法二：将正三棱台ABC—ASG补成正三棱锥P—A3C,则4A与平面ABC所成的角即

PA.A.R.\VpA.U.C.126

为孙与平面ABC所成的角，因为富=端=/,则,一=务可知弘8CF肉C产居”

r/\3Jp-ABC，/ill，/

-ABC=y»则设正三棱锥p—ABC的高为d,则Vp-八8C=；dx；x6x6x孚=18,

解得4=2小，取底面ABC的中心为0,则P0_L底面八BC,且40=25，所以必与平面

PO

ABC所成的角的正切值为tan/%0=^5=l.故选B.

3.（多选）（2022・新高考I卷）已知正方体ABCD-ABiCd,则（）

A.直线BG与所成的角为90。

B.直线8G与CA所成的角为90。

C.直线BG与平面8囱。|。所成的角为45°

D.直线3G与平面A8CD所成的角为45。

答案：ABD

解析：如图，连接人。I,在正方形/M”>i中，人。」。4,因为AOi〃8G，所以BG_LO4，

所以直线BG与。4所成的角为90。，故A正确；在正方体小中，€7），平

面BCGBi，又BGu平面BCGBi,所以CO_L8G，连接BC,则8clBG，因为CQCIBC

=C,CD,SCu平面。CBN］，所以8G_L平面。C8iA,又C4u平面。C8A，所以8G

_LC4,所以直线8G与C4所成的角为90。，故B正确；连接AG，交8。于点。，则易

得OG_L平面84iQ|Q,连接OB,因为06u平面所以。G_L04,NO8cl即为直

线8G与平面8囱n。所成的角.设正方体的棱长为“，则易得8G=也4,OG=华，所

以在RI△块兀i中，OCi=^Ci，所以N（%G=30。，故C错误；因为CC_L平面A4CD,所

以NC8G为直线8G与平面A8CO所成的角，易得NCBG=45。，故D正确.故选ABD.

4.（多选）（2021・新高考H卷）如图，在正方体中，。为底面的中心，P为所在棱的中点.M,

N为正方体的顶点.则满足MN_LOP的是（）

答案：BC

解析：设正方体的棱长为2,对于A,如图1所示，等接4cMMN//AC,故NP。。或其

补角为异面直线OP,MN所成的角，在直角三角形OPC中，OC=yf2,CP=l,故tanZPOC

=*