广东省2024-2025学年高二年级下册期末数学热身练试题

广东省中山市第一中学2024-2025学年高二下学期期末数学热

身练试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.(〃一1998)(〃-1999)••…(〃-2025)(〃—2026)(〃eN,〃>2026)可表示为()

A.Af|998B.A：：199gC.A：：2026D.A，J26

2.若函数/(x)=正在［0,4］上的平均变化率与它在x=巧处的瞬时变化率相等，则X。=()

A.IB.2C.3D.4

3.用0,2,3,5,7,8这6个数字可以组成N个无重好数字的六位数，其中偶数有“个，则勺=

N

()

27八13厂12-।

A.—B.—C.—D.—

5025252

4.已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，则()

X247

\_

P5q2q

A.E(3X-2)=10,D(3-2X)=20B.E(3X—2)=10,D(3-2X)=-20

C.E(3X-2)=14,D(3-2X)=20D.E(3X-2)=14,D(3-2X)=-20

5.某校乒乓球社团为了解喜欢乒乓球运动是否与性别有关，随机抽取了若干人进行调查.

已知抽查的男生、女生人装均为6〃?(〃7WN)其中男生喜爱乒乓球运动的人数占男生人数的

p女生喜爱乒乓球运动的人数占女生人数的表若本次调查得出“有99.5%的把握认为喜爱

乒乓球运动与性别有关”的结论，则，〃的最小值为()

附：参考公式及数据：/=(»)(:珠£.)(»).

a0.100.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

A.20B.21C.22D.23

6.a+2），-3z）’的展开式中，所有不含z的项的系数之和为（）

A.16B.32C.27D.81

7.定义在（0,+⑹上的函数/（%）满足灯且/（5）=ln（5e）则不等式

/（e）>e*+x的解集为（）

A.(10,-KO)B.(ln5,+e)C.(lnl0,+e)D.(5,+oo)

8.设两个相关变量x和)，分别满足下表：

X12345

y128816

若相关变量工和y可拟合为非线性回归方程》=2-"，则当工=6时，y的估计值为（）

（参考公式：对于一组数据（4,匕），（与为），…，（勺匕），其回归直线/=匠+应，的斜

-nil-v

率和截距的最小二乘估计公式分别为：3:弋---------，4="而；1.15'。2）

o-2

Zu--mr

i=i

A.33B.37C.65D.73

二、多选题

9.下列说法正确的是（）

A.决定系数K越大，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差

B.经验回归方程），=3x+1相对于点（2,6.5）的残差为-0.5

C.根据分类变量“与），的成对样本数据，计算得到/=7.881>6.635=.%5,则依据

。=0.01的独立性检验，可以认为“X与,，没有关联”

D.样本相关系数/■的绝对值越接近1,成对样本数据的线性相关程度越强

10.设（3x-2）（l+x）6++%/+—+%/，则下列结论正确的是（）

A.常数项为2B.第4项系数为-5

C.奇数次系数和为32D.当x=2时，该式的值为2916

试卷第2页，共6页

11.英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A、3存

在如下关系：尸(A|B)=P(,„A).某高校有甲、乙两家餐厅,王同学第一天去甲、乙两家

餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6：

如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为().5,则王同学()

A.第二天去甲餐厅的概率为0.54

B.第二天去乙餐厅的概率为0.44

C.第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为[

4

D.第二天去了乙餐尸，则第一天去甲餐厅的概率为§

三、填空题

12.为了解高二学生体育健康情况，学校组织了一次体育健康测试，成绩X近似服从正态

分布M70,72),已知成绩在77分以上的学生有208人，如果成绩大于84分为优秀，则本

次体育健康测试成绩优秀的大约有人.

(参考数据：Pa—cVXV〃+o)=0.68,尸(〃一2oVXV4+2㈤=0.96)

13.函数/(x)=V-3x*a,g(x)=Hm.对于V.」40,3],由e-4,e,都有〃x)>g(w),

e

则实数〃的取值范围是.

14.2024年1月九省联考的数学试卷出现新结构，其中多选题计分标准如下：①本题共3

小题，每小题6分，满分18分；②每道小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选

对得6分，有选错的得0分；③部分选对得部分分(若某小题正确选项为两个，漏选一个正

确选项得3分；若某小题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得

2分).已知在某次新结构数学试题的考试中，某同学三个多选题中第一小题和第二小题都

随机地选了两个选项，笫三小题随机地选了个选项，这位同学的多选题所有可能总得分(相

同总分只记录一次)共有〃种情况，则7”除以36的余数是.

四、解答题

15.已知函数/(x)=f+.r与函数g(x)=lnx+2x.

⑴求曲线产/。)在点(。、0)处的切线方程;

（2）求曲线y=/（幻与曲线y=g（x）在公共点处的公切线方程.

16.某云计算平台部署了多台同型号服务器，运维系统会检测服务器是否触发“高温异常”

警报.历史数据表明，警报与服务器状态（正常/故障）高度相关.从触发警报和未触发警

报的数据中各随机抽取5G0条，统计如下：

触发警报时状态分布未触发警报时状态分布

正常25台正常450台

故障475台故障50台

运维单台服务器时，可选操作及经济损失（单位：千元）如卜.:

状态/操作保持运行快速诊断深度检修

正常013

故障1046

假设用频率估计概率，各服务器状态相互独立.

⑴若服务器触发高温警报，求其处于故障状态的概率；

⑵某次维护中，发现1台触发警报的服务器和I台未触发警报的服务器.现有三种操作方

案：

力案甲：触发警报的服务器深度检修，未触发警报的保挣运行；

方案乙：触发警报的服务器快速诊断，未触发警报的保持运行；

方案丙：触发警报的服务器深度检修，未触发警报的快速诊断.

从总经济损失期望最小的角度，判断哪种方案更优.

17.杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》、《日用算法》

和《杨辉算法》，杨辉在1261年所著的《解答九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称

这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，

由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.

试卷第4页，共6页

左右

枳枳

本

命

以

中6*

廉

实

«次*

乘

而

乃

5*乃

府

除

枳

杵

方

也

之»aiH

国I由2

杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题.

性质1：杨辉三角的第〃行就是e+力)”的展开式的二项式,系数；

性质2(对称性)：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即C；=C7：

性质3(递归性)：除I以外的数都等于肩上两数之和，即C：=C：1+C3；

性质4：自腰卜.的某个1开始平行于腰的一条线上的连续〃个数的和等于最后一个数斜右下

方的那个数，比如：1+2+3+4+5=15,1+3+6+10=20；

请回答以下问题：

⑴求杨辉三角中第8行的各数之和；

⑵在(1+力2+(1+力3+-+(1+必用的展开式中，求含/项的系数.

18.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min从该生产线上随机抽取

一个零件，并测量其尺寸(单位：cm)做好记录.下表是殓验员在一天内依次抽取的16个零

件的尺寸：经计算得h=1£>,=9.97,$1其二彳以卷斗0也

101=1V101=1V161,=|)

—8.5『38.439,f(^.-x)(/-8.5)=-2.78,其中为为抽取的第i个零件的尺寸

(/=1,2,-,16).

抽取次

12345678

序

零件尺

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

寸(cm)

抽取次910111213141516

序

零件尺

10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

寸(cm)

⑴求(七力)(，=1，2,…,16)的相关系数「，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随

生产过程的进行而系统地变大或变小(若卜|<0.25,则可以认为零件的尺寸不随生产过程的

进行而系统地变大或变小)；

(2)一天内抽检的零件中，如果出现了尺寸在(1-35,无+为)之外的零件，就认为这条生产线

在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的三产过程进行检查.从这一天抽检的

结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？

(3)在(工-3，R+3s)之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零

件尺寸的均值与标准差.i精确到0.01)

19.已知函数/(x)=(x+a)ln(x+a)+e*+%.

(1)当。=1时，求函数/*)的图象在x=0处的切线方程：

(2)讨论函数〃-x的单调性；

(3)当。=0时,若方程/心)=/(彳)—炉7=/〃有两个不相等的实数根为,人,求讦：

ln(x)+工2)>•»2-1.

试卷第6页，共6页

《广东省中山市第一中学2024-2025学年高二下学期期末数学热身练试题》参考答案

题号12345678910

答案AABADDBBBDCD

题号11

答案AC

1.A

【分析】根据排列数的计算公式进行判断.

【详解】(«-1998)(n-1999)••…(〃一2025)(〃-2026)中总共有(〃-1998)-(〃-2026)+1=29

个数连乘，

故(〃-1998)(71-1999)••…(n-2025)(/i-2026)=A2I998.

故选：A

2.A

【分析】分别求出平均变化率及在工=%处的瞬时变化率，解方程即可.

【详解】因为/(M=«在［Q4］上的平均变化率为左胃=1,

所以r(.%)=；xj=g,解得/=1,

故选：A.

3.B

【分析】根据排列组合知识求出代入工可得结果.

N

【详解】从235,7,8中任选一个数字排在首位，其余5个数字全排可得修=(：*；=25*,

0排在个位的无重复数字的六位偶数有A；个,

0不排在个位的无重复数字的六位偶数有露C；A：=8A：个，

故知=内+8人；=13人：.

M13

所以『演

故选：B

4.A

【分析】根据随机变量分布列的性质列式求出9,计算E(X),Z)(X),再根据期望，方差的

答案第1页，共11页

性质计算求解.

【详解】由离散型随机变盘的性质可得!+q+2q=l,解得〃=!，

2o

则E(X)=2x，+4x』+7xl=4,D(X)=^x(2-4)2+-!-x(4-4)2+lx(7-4)2=5,

263263

所以E(3X-2)=3E(X)-2=10,D(3-2X)=4D(X)=20.

故选：A.

5.D

【分析】依题意，作出2x2列联表，计算/的值，依题意，须使/的值不小于小概率0.0()5

对应的％005,求解不等式即得.

【详解】依题意，作出2x2列联表：

男生女生合计

喜爱乒乓球运动4/773m1m

不喜爱乒乓球运动2m5m

合计6m6mT2m

12m(4m-3in-2m•3〃。~12m

6m-6m-Im-5m35

因本次调查得出“有99.5%的把握认为喜爱乒乓球运动与性别有关”的结论，故得

19>>i

——>7.879,

35

解得〃收22.98,因〃?wN‘，故雀的最小值为23.

故选：D.

6.D

【分析】原问题即为求(x+2y),展开式中的所有项的系数和，令x=y=l,即可得答案.

【详解】解：(.r+2y-32广展开式的通项公式为J=C：(x+2)，)4f(-3z)’，

若展开式中的项不含z,则r=0,此时符合条件的项为(x+2)，)4展开式中的所有项，

令x=y=l,可得所有不含z的项的系数之和为(1+2x1)“=81,

故选：D.

答案第2页，共11页

7.B

【分析】根据题意，构造函数g(x)=/(x)-lnx-x,可得g(x)在(0,y)上单调递增,然后

结合其单调性即可求解不等式.

【详解】由炉'(x)>x+l可得矿(力7-1>0,

设g(x)=/(汇)Tnx-x,xe(0,+co),

则/")=广3」_/(力_1>0,

XX

即函数g(x)在(0,+功上单调递增，

且g(5)=f(5)-加5-5=ln(5e')-ln5-5=0,

由f(e')>e'+x可得/(e“)-In(e')-e'>0,

即g(e')>0=g(5),即e'>5,解得x>ln5,

所以不等式的解集为(ln5,+e).

故选：B.

8.B

【分析】先将非线性回归方程化为线性，令log2y=L则可得£=/〃•+〃，根据数据及公式

分别求出。，〃，代入非线性回归方程可得变量X和a之间的关系，将X=6代入化简计算即可.

【详解】解：因为非线性回归方程为：$，二2机"，则有1%9=/*+〃，

令log2y=y,即£=列出相关变量关系如下:

X12345

y128816

V01334

所以£区斗=0+2+9+12+20=43，元J+2+3+4+S=3,

»=i5

v=°+K3+3+4=—,£x；=14-4+9+16+25=55,

55JI

答案第3页，共11页

_11

2七斗一/沃.v43-5X3X—

所以6二七--------_=_________L=i

疗55-5x9

，=i

1144

所以〃=?一辰=丁_3=_《，所以0=”不，

44|

BPlog,>f=A*——,即§,=2'G,因为1.15’烈2,所以2§=]|51

4名!

当x=6时，夕=2"=2M=252=25X25=32X1.15=368

故选：B

9.BD

【分析】对于A,由决定系数的定义可作出判断；B选项，6.5-(3x2+1)=-0.5,B正确;

C选项，零假设为"°：X与丫相互独立，由卡方值大于6.635得到“。不成立，得到结论；

D选项，由相关系数的定义作出判断.

【详解】对于A,决定系数齐越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，故A

不正确.

对于B,残差为6.5-(3x2+1)=-0.5,故B正确，

对于c,零假设为x与y相互独立，即x与y没有关联，

由/=7.881>6.635=%小可知依据a=0.01的独立性检验，

没有充分证据推断"。不成立，可以认为“x与y有关联”，选项c不正确.

对于D,当卜I越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强，选项D正确.

故选：BD

10.CD

【分析】根据二项展开式的通项公式，结合赋值法，依次判断各个选项即可.

【详解】(1+以的展开式的通项为小=c：f,

对于A：常数项为%=-2仁=-2,故A错误；

对于B：第4项系数即工"勺系数，B=C«2,7；=C江3,

故/的系数&=3•或+(-2)・螺=3x15-2x20=5,故B错误；

答案第4页，共11页

对于C：令x=l,得》=%+%+%+%+…+%+%；

令X=_[,得。=4。一%+的一。3+•一+〃61%，

将两式相减,得2,=2(4+/+%+%)，故6+%+%+%=32,故c正确;

对于D：令4=2,得(3-2-2)(1+2)6=4・36=2916,故D正确.

故选：CD.

11.AC

【分析】根据题中所给的公式进行逐一判断即可.

【详解】设A：第一天去甲餐厅，仆第二天去甲餐厅，

及：第一天去乙餐厅，生:第二天去乙餐厅,

所以p（A）=0.4,0（々）=0.6,P（4|A）=0.6,P（4|4）=0.5,

因为"A)=f出二。6。闾心号警3

所以P(4)P(A|4)=。-24,P(&)尸(图&)=0.3,

所以有P（4）=P（A）尸（4|A）+P（s）尸（4214）=0.4x0.6+0.6x0.5=0.54,

因此选项A正确，P(B2)=1-P(A)=O.46,因此选项B不正确；

因为P闻4)=p；；)=5,所以选项C正确；

P（A）P（B2|A）AA|A）10.4x（1-0.6）8

P(A忸2)==—，所以选项D不正确,

P（B2）-P（B2）-0.46

故选：AC

12.26

【分析】由己知求得〃=7。，0=7,利用对称性求得CXN77)=0.16,可得成绩在77分以

上的学生有208人，求得高二学生总人数，求出P(X..84)=O.O2,利用概率求得结果.

【详解】解：由高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布M70,72),得〃=70,o=7,

P(X>77)=P(X>//4-o-)=^-ip(//-a<X<//+o-)=0.16,又成绩在77分以上的学生有208

人，则高二学生总数为208+0.16=1300；

答案第5页，共11页

P(XN84)=g-gp(〃-2<7<X<〃+2b)=0.02,则本次体育健康测试成绩优秀的大约有

1300x0.02=26人.

故答案为：26.

13.a>e+4

【分析】利用导数求出在xc［0,3］上的最小值和g(.r)在xw』,e上的最大值，由题

e

意/(1:L>g(x)a，列式求解即可•

【详解】因为/("=丁-3/+。，x曰0,3］,所以广(力=3/-6犬=3%(工-2),

所以0cx<2时，:(幻<0,2Vx<3时，r(x)>0,

即f(x)在［0,2］上单调递减,在［2,3］上单调递增，所以/(“面=/(2)=。-4,

因为g(x)=Hnx,xe—,e,所以g<x)=l+lnx,

■c■

所以XV1时，g\x)<0,Ivxve时，g'(x)>0,

eee

即g(M在口，上单调递减，在上单调递增，又且囚=-与，g(c)=e,

.eeJLeJ\e/e

所以g"L=e，

对于“«0,3］,VweJe,都有/(5)>晨马)，则/(4加>屋“皿、,

所以a-4>e,即a>e+4.

故答案为：a>e+4

14.13

【分析】先分析得这位同学第一小题和第二小题都可能得。分，4分或6分，第三小题可能

得。分，2分或3分，再列举出所有的得分，找到〃二14,利用二项式定理解决余数问题.

【详解】这位同学第一小题和第二小题都可能得0分，4分或6分，

第三小题可能得0分，2分或3分，

答案第6页，共11页

总得分

00

44

66

04

48

610

06

410

612

如图，当第三题得0分时，有可能总得分为：0,4,6,8,10,12,

当第三题得2分时，有可能总得分为：2,6.8,10,12,14,

当第三题得3分时,有可能总得分为:3,7,9,11,13,15,

所以这位同学的多选题所有可能总得分（相同总分只记录一次）为:

0,2,3,4,6,7,8,9,10,11,12,13J4J5,即〃=14,

44,4,3

贝ij7'=（6+1）'-C^46+C；46+十C：；62十C；；6十C：：

I2,,2

=（C1.16+C；46++C；；）6+14X6+1,

（14x6+1）+36=85+36=213.

故答案为：13.

15.⑴）'=/

⑵3x—），-l=O

【分析】（1）求导，然后根据导数的几何意义结合条件即得：

（2）设曲线），=/5）与曲线y=的公切点为尸（小,8）,然后根据导数的几何意义可得

切点，进而即得.

【详解】（1）•.・八幻=V+%，：.f\x）=2x+\,/（0）=1,

.,・/*）在（0,0）点处的切线方程为：），=壬

（2）设曲线y=fM与曲线y=g（x）的公切点为,

f（x）=x2+x,g（x）=lnx+2x,/.f\x）=2x+l,g'（x）=,+2,

A

令r（/）=g（%）,即2.%+i=J+2,

•乜=1或％=-g（舍），

答案第7页，共11页

・••所求公切线方程：y-2=3（x-l）,即3%—），—1=0.

16.（1）0.95

（2）方案乙更优.

【分析】（1）根据条件概率公式计算；

（2）分别计算三种方案下总经济损失的期望，然后比较大小.

【详解】（1）设服务器触发警报时其处于故障状态设为事件A,服务器未触发报警记时其处

于故障状态记为B.

由题意可知，〃（C）=500：〃（A）=475,

由古典概型知识可知，P（4）=粤=真=。95.

〃（Q）50（）

（2）VP（A）=0.95,/.P（A）=l-P（A）=0.05,

又〃（B）=50,；.P⑻嘲啜=0」.

•••。（豆）=1-P（4）=0.9.

方案甲：触发警报的服务器深度检修的经济损失的数学期望为：

Et=0.95x6+0.05x3=5.85（千元）.

未触发警报的服务器保持运行的经济损失的数学期望为：

£2=10x0.1+0x0.9=1（千元）.

4=Et+E2=6.85（千元）

方案乙：触发警报的服务器快速诊断的经济损失的数学期望为：

E.=0.95x4+0.05x1=3.85（千元）.

所以，生=&+与=1+3,85=4.85（千元）

方案丙：未触发警报的服务器快速诊断的经济损失的数学期望为：

E4=0.1X44-0.9X1=1.3（千元），

所以七内二巴+且=5.85+1.3=7.15（千元）

E乙v号,vE内，所以方案乙更优.

答案第8页，共11页

17.(1)256

⑵%

【分析】（I）由杨辉三角的性质1以及二项式系数之和公式即可得解；

（2）求出（l+4+（l+x），…+（1+力川的每一项中含f项的系数在杨辉三角中所处的位置,

再结合杨辉三角的性质4,即可得解.

【详解】（1）由杨辉三角的性质1可知，第8行就是的展开式的二项式系数，

由二项式系数之和公式可知，杨辉三角中第8行的各数之和为28=256;

（2）（1+处"的二项展开式的通项为九1=C：.d,

其中F的系数为C：,是杨辉三角第〃行中从左到右的第三个数，

因此（1+力2,。+力1、（1+可用中含/项的系数，

分别为杨辉三角中第2,3,…,〃+1行中从左到右的第三个数，

首项为C；=l,且每一项均在平行于腰的一条线上，满足杨辉三角的性质4,

其系数之和为最后一个数C3斜右下方的那个数C3,

因此，在（l+xf+O+x）,…+（1+”””的展开式中，

则含Y项的系数为C1.

18.（1）可以认为这•天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小

⑵需对当天的生产过程进行检查

（3）均值10.02cm；标准差0.09cm.

【分析】（1）由样本数据得相关系数小验证|r|<0.25是否成立，然后得结论；

（2）由求得；-3$i+3s,即可得到得结论：

（3）剔除离群值，求剩下数据的平均值，即求得这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的

16

估计值.由s得即可求出剔除第13个数据，剩下数据的样本方差，即求得这条生产线

J=l

当天生产的零件尺寸的标谯差的估计值.

【详解】（1）由样本数据得相关系数：

答案第9页，共11页

16

£(巧一可("8.5)

X-----------------=-0.18

£(—)2序-8.5)20.212x716x18.439

.旧＜0.25,.•.可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小.

(2);7=9.97,-0.212,Ax-35=9.334,2+3$=10.606,

・•・抽取的第13个零件的尺寸在(k—3sl+3s)以外，

・•.需对当天的生产过程进行检查.

(3)剔除离群值，即第13个数据，

剩下数据的平均数为%x(16x9.97-9.22)=10.02,

即这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02cm；

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由s得：2X；之16x0.212：+16x9.972a1591.134,

J=l

剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为七x(1591.134-9.222-15x10.022卜0.008,

样本标准差为V0.008h0.09,

即这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为0.09cm.

19.(I)3x-y+l=0;(2)当时，〃(x)在|-4,g-a)上是减函数；当人＞:-〃

时，刀(文)在上是增困数；(3)证明见解析.

【分析】(1)当。=1