2026中考第一轮复习数学第26课时：尺规作图（教师版）

2026年中考第一轮复习（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练）第26课时尺规作图一、核心知识一、核心知识（一）尺规作图的定义在几何作图中，只用没有刻度的直尺和圆规来作图，这种作图方法叫做尺规作图。尺规作图不允许使用刻度尺、量角器等有刻度的工具，仅通过直尺作直线、射线、线段，圆规画弧、圆来完成作图。（二）五种基本尺规作图（中考核心）五种基本尺规作图是所有复杂尺规作图的基础，需熟练掌握作图步骤和痕迹保留要求，以下为步骤挖空版：1.作一条线段等于已知线段已知：线段AB求作：线段CD，使CD=AB。步骤：(1)作射线CM；(2)用圆规量取已知线段AB的长度，以点C为圆心，AB的长为半径画弧，交射线CM于点D，则线段CD即为所求。2.作一个角等于已知角已知：∠AOB求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB。步骤：(1)作射线O′A′；(2)以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；(3)以点O′为圆心，同样的长度为半径画弧，交O′A′于点C′；(4)以点C′为圆心，CD的长为半径画弧，与前弧交于点D′；(5)过点O′、D′作射线O′B′，则∠A′O′B′即为所求。3.作已知角的平分线已知：∠AOB求作：射线OC，使OC平分∠AOB步骤：(1)以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点M、N；(2)分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C；(3)作射线OC，则射线OC即为∠AOB4.作已知线段的垂直平分线已知：线段AB求作：直线l，使l垂直平分AB.步骤：(1)分别以点A、B为圆心，大于12AB的长为半径在AB两侧画弧，两弧分别交于点M、N；(2)作直线MN，则直线MN即为线段AB5.过一点作已知直线的垂线分两种情况：过直线上一点作垂线、过直线外一点作垂线，核心步骤一致。已知：直线l，点P（P在l上/l外）求作：直线PQ，使PQ⊥l于点Q。步骤：(1)以点P为圆心，适当长为半径画弧，交直线l于点M、N（P在l上时，M、N在P两侧）；(2)分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点Q；(3)作直线PQ，则直线PQ（三）利用基本作图作常见几何图形作三角形：已知三边作三角形：利用作一条线段等于已知线段依次作三边，拼接成三角形；已知两边及其夹角作三角形：先作一个角等于已知角，再在角的两边上截取已知线段，连接端点得三角形；已知两角及其夹边作三角形：先作已知线段，再在线段两端作两个角等于已知角，角的另一边交于一点得三角形；已知斜边和一条直角边作直角三角形：先作垂线得直角，再截取已知直角边和斜边，连接得三角形。作圆的相关图形：作三角形的外接圆：作三角形三边的垂直平分线，交点为外心，以外心为圆心、外心到顶点的距离为半径画圆；作三角形的内切圆：作三角形三个角的平分线，交点为内心，以内心为圆心、内心到边的距离为半径画圆。（四）尺规作图的一般步骤已知：明确作图的已知条件，用几何语言描述；求作：明确作图的目标，写出要作的图形及满足的条件；作法：分步描述作图过程，只写尺规操作的关键步骤，不写推理过程；作图：在图中画出清晰的作图痕迹（弧、直线、射线等），保留所有画弧的痕迹，不能擦除；结论：指出所作的图形即为所求。（五）尺规作图的核心性质与依据尺规作图的每一步都有几何定理作为依据，核心依据：全等三角形的判定（SSS、SAS、ASA）：作等角、等线段的核心依据；线段垂直平分线的性质与判定：作垂直平分线、垂线的依据；角平分线的性质与判定：作角平分线的依据；圆的基本性质：同圆或等圆中，半径相等（圆规画弧的依据）。二、核心能力二、核心能力题型1基本尺规作图的识别与痕迹判断解题思路熟记五种基本尺规作图的核心步骤和作图痕迹特征：如作角平分线、垂直平分线均有“两段弧交于一点”的痕迹，作等角有“三次画弧”的痕迹；结合作图依据判断：如看到“以线段两端为圆心画弧”，大概率是作线段的垂直平分线；看到“以角的顶点为圆心画弧，再以弧与角两边的交点为圆心画弧”，大概率是作角的平分线；排除干扰项：区分“作垂线”和“作垂直平分线”、“作等角”和“作角平分线”的痕迹差异，排除用刻度尺、量角器作图的错误选项。题型2利用基本作图作三角形（已知边、角条件）解题思路分析已知条件：判断是“SSS、SAS、ASA、HL”哪种作图类型，明确作图的先后顺序；选择基础作图：根据条件选取对应的基本作图（如SAS先作等角，再作等线段；SSS连续作等线段）；规范作图步骤：先作基础图形（角、线段），再拼接成三角形，保留所有作图痕迹；验证图形：根据三角形的判定定理，验证所作三角形满足已知条件。题型3尺规作图的实际应用（最短路径、位置确定）解题思路转化几何问题：将实际问题转化为尺规作图的几何模型，如“找到两直线距离相等的点”转化为作角平分线，“找到线段两端点距离相等的点”转化为作线段的垂直平分线，“最短路径问题”转化为作对称点（利用轴对称的基本作图）；确定作图方法：根据转化后的几何模型，选取对应的基本作图组合；作出图形并作答：画出作图痕迹，指出所求的位置或图形，结合几何性质说明理由。题型4尺规作图与几何证明/计算的综合解题思路先分析作图痕迹：根据题目给出的尺规作图步骤，判断所作的图形（如角平分线、垂直平分线），提取隐含条件（如线段相等、角相等、垂直关系）；结合几何性质：将作图得到的隐含条件与三角形、四边形、圆的性质结合（如角平分线的性质、垂直平分线的性质、全等三角形）；完成证明/计算：证明时利用隐含条件推导结论，计算时结合勾股定理、三角函数、三角形内角和等求解线段长度、角度。题型5复杂尺规作图（组合作图）解题思路分解复杂图形：将复杂作图分解为若干个基本尺规作图，如“作等腰三角形的高”分解为“作线段的垂直平分线”，“作三角形的外接圆”分解为“作线段的垂直平分线找外心+画圆”；确定作图顺序：按照“先基础后组合”的顺序作图，如作三角形内切圆，先作两个角的平分线找内心，再作内心到边的垂线确定半径，最后画圆；规范保留痕迹：所有基本作图的痕迹都要保留，不能遗漏某一步的弧或直线。三、易错警示三、易错警示误区1混淆尺规作图的工具要求错误：作图时使用刻度尺量取长度、量角器量取角度，或用圆规量取后标注刻度；认为直尺可以测量线段长度。提醒：尺规作图的直尺无刻度，仅能作直线、射线、线段；圆规仅能画弧、圆和量取已知线段的长度，全程不能用任何有刻度的工具，作图痕迹仅能是弧和直线/射线。误区2基本作图的步骤错误，遗漏关键画弧错误：1.作角平分线、垂直平分线时，以交点为圆心画弧的半径小于21​MN，导致两弧无交点；2.作等角时，第三步画弧的半径不是“已知角中弧与两边交点的距离”；3.作垂线时，仅在直线一侧画弧，找不到交点。提醒：作角平分线、垂直平分线、垂线时，画弧的半径必须大于21​所截线段的长度，且需在图形两侧画弧；作等角的三步画弧中，前两步半径相同，第三步半径为已知角中两交点的距离，严格遵循步骤。误区3未保留完整的作图痕迹错误：作图后擦除画弧的痕迹，仅保留最终的直线/射线；痕迹画得过于潦草，无法判断作图步骤；用虚线画作图痕迹、实线画最终图形（痕迹与图形线条混淆）。提醒：作图痕迹是尺规作图的得分关键，所有画弧的痕迹必须保留，不能擦除；建议用实线画作图痕迹和最终图形，或用虚线画痕迹、实线画最终图形，线条清晰可辨。误区4复杂作图的条件分析错误，选取作图方法不当错误：已知“两边及其中一边的对角”作三角形（SSA，无法唯一确定三角形），强行作图；作三角形外接圆时，作三角形的角平分线找外心（外心是垂直平分线的交点，内心是角平分线的交点）。提醒：作图前先判断条件是否能唯一确定图形，SSA、AAA无法唯一确定三角形，中考不作要求；熟记特殊图形的作图依据，如外接圆找垂直平分线的交点，内切圆找角平分线的交点，高、中线、角平分线的作图方法区分清楚。误区5几何语言描述不规范，作法书写错误错误：1.作法中出现“量取AB=3cm”“作角AOB=60°”等涉及刻度的描述；2.步骤描述混乱，如作垂直平分线时，先作直线再画弧；3.漏写“作射线/直线/线段”等关键操作。提醒：作法书写仅用尺规作图的规范语言，如“以×为圆心，×为半径画弧”“作射线××”“连接××”；步骤按作图的先后顺序书写，先画弧再作直线/射线，不跳步、不颠倒；关键的操作步骤不能省略。四、真题演练四、真题演练（一）选择题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）1.（24-25·四川模拟）下列选项中的尺规作图（各图中的点P都在△ABC的边上），能推出PA=PC的是（

A. B.

C. D.【答案】D【解析】根据尺规作图痕迹进行判断，即可得到图形中相等的线段．【解答】解：A．由此作图知CA=CP，不符合题意；B．由此作图知BA=BP，不符合题意；

C．由此作图知∠ABP=∠CBP，不能得到PA=PC，不符合题意；

D．由此作图知PA=PC，符合题意；

故选：D．2.（24-25·云南模拟）用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD，以下四个作图中，正确的作法有（

）A.1种 B.2种 C.3种 D.4种【答案】C【解析】根据过直线外一点做已知直线的垂线作图即可求解；【解答】根据垂径定理作图的方法可知：CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，故作法正确；

(2)根据直径所对圆周角是直角的方法可知：

CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，故作法正确；

(3)根据相交两圆的公共弦的性质可知：

CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，故作法正确；

(4)无法证明CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，故作法不正确；

综上所述：正确的作法有3种．

3.（23-24·贵州中考）如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．步骤1∶以C为圆心，CA为半径画弧①；

步骤2∶以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；

步骤3∶连接AD，交BC延长线于点H．

下列叙述正确的是（

）

A.BH垂直平分线段AD B.AC平分∠BAD

C.S△ABC=BC【答案】A【解析】此题暂无解析【解答】解：A．如图连接CD、BD，

∵CA=CD，BA=BD，

∴点C、点B在线段AD的垂直平分线上，

∴直线BC是线段AD的垂直平分线，

故A正确，符合题意；

B．CA不一定平分∠BDA，故B错误，不符合题意；

C．应该是S△ABC=12⋅BC⋅AH，故C错误，不符合题意；

D．根据条件AB不一定等于AD，

4.（24-25·达州模拟）下列四种基本尺规作图分别表示，则对应选项中作法错误的是（

）A.作一个角等于已知角B.作一个角的平分线C.作一条线段的垂直平分线D.过直线外一点P作已知直线的垂线【答案】C【解析】利用作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过直线外一点P作已知直线的垂线的作法进而判断得出答案．【解答】解：A.作一个角等于已知角的方法正确，不符合题意；B.作一个角的平分线的作法正确，不符合题意；

C.作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误，符合题意；

D.过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确，不符合题意．

故选：C．5.（24-25·江苏模拟）如图，分别是小明、小颖和小亮三位同学用尺规作∠AOB的平分线的图示，对于三人不同的作法，其中正确的个数是（

）

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【答案】D【解析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的尺规作图，线段的尺规作图，等边对等角等等，根据对应的作图痕迹结合全等三角形的性质与判定条件证明即可．【解答】解：小明的作图中OD=OC,DE=CE,OE=OE，

∴△ODE≅△OCESSS，

∴∠DOE=∠COE，

∴OE平分∠AOB，故小明的作法正确；

小颖的作图中OD=OC,OF=OG,DOF=∠COG，

∴△DOF≅△COGSAS，

∴∠OGE=∠OFE，

∵OF-OC=OG-OD，

∴DG=CF，

又∵∠DEG=∠CEF，

∴△DEG≅△CEF，

∴GE=FE

又∵OE=OE，6.（22-23·湖北中考）如图1，使用尺规经过直线l外的点P作已知直线l的平行线，作图痕迹如图2：

下列关于图中的四条弧线①、②、③、④的半径长度的说法中，正确的是（

）A.弧②、③的半径长度可以不相等B.弧①的半径长度不能大于AP的长度C.弧④以PA的长度为半径D.弧③的半径可以是任意长度【答案】C【解析】本题考查尺规作图的原理，考查推理能力、几何直观，熟练掌握过直线外一点作已知直线的平行线的作法是解题关键．根据作图原理逐一分析即可．【解答】解：该作图过程中，弧①的半径长度为任意长；弧②、③的半径长度相等，且大于12EF的长；弧④以PA的长度为半径．只有C选项正确，

故选：C．

7.（24-25·福建模拟）如图，CD是△ABC的角平分线．按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，与边AB相交于点E，与边AC相交于点F；②以点B为圆心，AE长为半径画弧，与边BC相交于点G；③以点G为圆心，EF长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点H；④作射线BH，与CD相交于点M，与边AC相交于点N．则下列结论一定正确的是（

）

A.∠ABN=∠A B.BN⊥【答案】D【解析】本题主要查了尺规作图，等腰三角形的判定，三角形外角的性质．由作法可得：∠CBN=∠A【解答】解：由作法得：∠CBN=∠A，

根据题意无法得到∠ABN与∠CBN的大小关系，

所以无法确定∠ABN与∠A的大小关系，故A选项错误；

∵CD是△ABC的角平分线，

∴∠BCD=∠ACD，

∵∠BMD=∠BCD+∠CBN,∠BDM=∠A+∠ACD，

∴∠BMD=∠BDM，

∴BD=BM，故D8.（24-25·吉林中考）如图，在△ABC中，∠B=45∘,∠A>∠ACB>∠B．尺规作图操作如下：(1)以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边BA,BC于点M，N；(2)以点C为圆心，BN长为半径画弧，交边CB于点N'；再以点N'为圆心，MN长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点M'；(3)A.∠B=∠DCB B.∠BDC=【答案】D【解析】本题主要考查了等角对等边，三角形内角和定理，大角对等边，作与已知角相等的角的尺规作图，由作图方法可得∠B=∠DCB=45∘，则由三角形内角和定理和等边对等角得到∠BDC=90∘，BD=DC，由大角对大边得到【解答】解：由作图方法可得∠B=∠DCB=45∘，故A结论正确，不符合题意；

∴∠BDC=180∘-∠B-∠DCB=90∘，BD=DC，故B、C结论都正确，不符合题意；

∵∠A>∠ACB>∠B，9.（24-25·山西模拟）如图，已知∠AOB与∠EO'F，分别以O，O'为圆心，以同样长为半径画弧，分别交OA，OB于点A'，B'，交O'E，O'F于点E'，F'A.∠AOB=2∠EO'F【答案】A【解析】本题考查了作一个角等于已知角，角度的和差计算．根据作图可知∠EO'【解答】解：根据作图可知∠EO'F=∠HOB，

A、不能判断∠AOB=2∠EO'F，故该选项不正确，符合题意；

B、∵∠AOB>∠HOB，即∠AOB>∠EO10.（23-24湖南模拟）如图，点C在∠AOB的OA边上，用尺规作出了∠ACD=∠①以C为圆心，OE长为半径画MN，交OA于点M．

②作射线CD，则∠ACD=∠AOB．

③以M为圆心，EF长为半径画弧，交MN于点D．

④以O为圆心，任意长为半径画EF，分别交OAOB于点A.①-②-③-④ B.③-②-④-① C.④-③-①-② D.④-①-③-②【答案】D【解析】本题考查了作图一基本作图,根据作一个角等于已知角的作法即可得出结论.熟记作一个角等于已知角的作法是解题的关键.【解答】解：作图过程正确的顺序是：④以O为圆心,任意长为半径画EF,分别交OA,OB于点E,F;

①以C为圆心,OE长为半径画M的力N,交OA于点M；

③以M为圆心,EF长为半径画弧,交MN于点D;

②作射线CD,则∠ACD=∠AOB,

故正确的顺序是④①③②,

故选：D.11.（24-25四川模拟）如图，已知∠BOP与OP上的点C，点A，小临同学现进行如下操作：①以点O为圆心，OC长为半径画弧，交OB于点D，连接CD；②以点A为圆心，OC长为半径画弧，交OA于点M；③以点M为圆心，CD长为半径画弧，交第2步中所画的弧于点E，连接ME．下列结论不能由上述操作结果得出的是（

A.∠ODC=∠AEM B.OB//AE

C.【答案】C【解析】证明ΔOCD≅ΔAME，根据全等三角形的性质以及平行线的判定定理即可得出结论【解答】解：如图，连接CD,MN

在ΔOCD和ΔAME中，

∵OC=AM,OD=AE,CD=ME,

∴ΔOCD≅ΔAME(SSS),

∴∠DCO=∠EMA,∠O=∠OAE.

∴OB∥AE,

∴180∘-∠DCO=18012.（24-25·全国模拟）下列尺规作图的语句错误的是（

）A.作∠AOB，使B.以点O为圆心作线段C.以点A为圆心，线段a的长为半径作弧D.作∠ABC，使【答案】B【解析】本题主要考查了基本的尺规作图，根据基本作图的方法，逐项分析，从而得出结论．【解答】解：A、作∠AOB，使∠AOB=3∠α，原说法正确，不符合题意；

B、以点O为圆心作线段，未说明半径，原说法错误，符合题意；

C、以点A为圆心，线段a的长为半径作弧，原说法正确，不符合题意；

D、作∠ABC，使∠ABC=∠α+

13.（24-25浙江模拟）已知△ABC（如图1），按图2图3所示的尺规作图痕迹，（不需借助三角形全等）就能推出四边形ABCD是平行四边形的依据是（

）

A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形B.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形C.对角线互相平分的四边形是平行四边形D.两组对边分别相等的四边形是平行四边形【答案】C【解析】根据平行四边形的判定和作图依据进行判断即可．【解答】解：由图可知先作AC的垂直平分线，则点O为AC的中点，由作图可知BO=OD，

可得：AO=OC，BO=OD，

进而得出四边形ABCD是平行四边形，

故此题答案为C．

14.（22-23山西中考）已知线段a，h，小明用如图所示的方法作ΔABC，他的具体作法是①作射线AM，以点A为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线AM于点B；②分别以点A，B为圆心，大于12AB长为半径画弧，两弧交于D，E两点；③作直线DE，交AB于点F；④以点F为圆心，线段h的长为半径画弧，交直线DE于点C，连接AC，BC．下列关于小明作的ΔABC的说法，错误的是（

A.AF=BF B.∠CAB=∠CBA

C.∠【答案】D【解析】根据垂直平分线的判定、等腰三角形的性质即可得到答案．【解答】解：由题意得：DE垂直平分AB，∴AF=BF（故A选项正确），CF⊥AB，

∴CA=CB，

∴∠CAB=∠CBA，（故B选项正确）

∵CA=CB，CF⊥AB，

∴∠ACF=∠BCF，（故C项正确）

15.（24-25·山东中考）已知∠AOB，点P为OA上一点，用尺规作图，过点P作OB的平行线．下列作图痕迹不正确的是（

A. B.

C. D.【答案】B【解析】本题考查作图-复杂作图．作一个角等于已知角，作一个角的平分线，平分线的判定，菱形的判定和性质，据此判断即可．【解答】解：A、由作图知，OC是∠AOB的平分线，且PO=PC，

∴∠1=∠2，∠1=∠3，

∴∠2=∠3，

∴PC // OB，故本选项不符合题意；

B、由作图知，PD是∠APC的平分线，且PO=OC，

∴∠3=∠4，∠1=∠2，不能说明∠2与∠4相等，

∴PD与OB不平行，故本选项符合题意；

C、由作图知，PO=OD=CD=CP，

∴四边形

（二）填空题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）16.（24-25·云南模拟）如图，在△ABC中，以点A为圆心，线段AB的长为半径画弧，交BC于点D，连接AD．若AB=5，则AD的长为

5

．

【答案】5【解析】根据作一条线段等于已知线段的作法可得出AD=AB，即可求解．【解答】解∶由作图可知,AD=AB，∵AB=5，

∴AD=5．

17.（22-23·山东模拟）下列说法：①用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段属于尺规作图；②射线AB与射线BA表示同一条射线；③若AC=BC，则点C是线段AB的中点；④钟表在8:30时，时针与分针的夹角是60∘，其中正确的是

①

【答案】①【解析】根据尺规作图，射线的表示方法，线段中点的概念以及钟面角的知识依次判断即可．【解答】解：①尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图，故①正确；②射线AB与射线BA表示的是不同的射线，故错误；③若点C在线段AB上且AC=BC，则点C是线段AB的中点，故错误；④钟表在8:30时，时针与分针的夹角是75∘，故只有①正确．故答案为：①．18（23-24·四川模拟）.阅读下面材料：

尺规作图：作一条线段等于已知线段．已知：线段AB．求作：线段CD，使CD＝尺规作图：作一条线段等于已知线段.

已知：线段AB．

求作：线段CD，使CD=AB.

小亮的作法如下：

如图：

(1)射线CE；

(2)以C为圆心，AB长为半径作弧交CE于D．

则线段CD就是所求作的线段.老师说：“小亮的作法正确”

请回答：小亮的作图依据是

．【答案】圆的半径相等【解析】利用圆的半径相等可判断CD＝AB．【解答】小亮的作图依据为圆的半径相等．故答案为圆的半径相等．19.（22-23·贵州模拟）如图，在ΔABC中，分别以点A和B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．如果BC=5, CD=2，那么AD=

3【答案】3【解析】直接利用基本作图方法得出MN垂直平分AB，进而得出答案．【解答】由作图步骤可得：MN垂直平分AB，则AD=BD，∵BC=5，CD=2，

∴BD=AD=BC-CD=5-2=3．

故答案为320.（24-25·山东模拟）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=6，分别以A，C为圆心，以大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于MN两点，作直线MN交AD于点E，则△CDE的周长是

10

【答案】10【解析】利用垂直平分线的作法得MN垂直平分AC，则EA=EC，利用等线段代换得到△CDE的周长＝AD+CD，然后根据平行四边形的性质可确定周长的值．【解答】解：利用作图得MN垂直平分AC，∴EA=EC，

∴△CDE的周长＝CE+CD+ED

＝AE+ED+CD

＝AD+CD，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD=BC=6，CD=AB=4，

∴△CDE的周长＝6+4=10．

故答案为10．

21.（25-26·全国模拟）如图，∠AOB=α，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；画射线O'A'，以点O'为圆心，OC为半径画弧交O'A'于点C'；依次截取C'E=EF=FG=CD，分别交前弧于点E、点F、点G；画射线O'G，反向延长O'A'【答案】90∘-【解析】本题考查作一个角等于已知角，角平分线的定义，先根据作图求出∠A'O'G【解答】解：由作图可得∠A'O'G=3∠AOB=3α，

∴∠HO'G=180∘-∠A'22.（24-25·湖南模拟）在△ABC中，在AC边上取一点D，如图，根据下列作图过程：①以B点为圆心，以合适的长为半径作弧，分别与边AB,BC交于点M，N；②以D点为圆心、BM长为半径向△ABC内作弧，交AD于P点；③以P点为圆心、MN为半径作弧，与前弧在△ABC内交于一点Q；④过Q点作射线DQ交AB于E点．若AB=2AD，则DEBC=_________1【答案】12/0.5【解析】本题考查了作图——作等角，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．由作法可知，∠ADE=∠ABC，证明出△ADE∽△【解答】解：由作法可知，∠ADE=∠ABC，

∵∠DAE=∠BAC，

∴△ADE∽△ABC，

∴DEBC=ADAB，23.（24-25·福建模拟）“直角”在初中几何学习中无处不在．课堂上李老师提出一个问题：如图1，已知∠AOB．判断∠AOB是否为直角（仅限用直尺和圆规）．小丽的方法如图2，在OA、OB上分别取点C，D，以点C为圆心，CD长为半径画弧，交OB的反向延长线于点E．若OE=OD，则∠AOB=90∘．李老师说小丽的作法正确，请你写出她作图的依据：_______等腰三角形的三线合一【答案】等腰三角形的三线合一【解析】根据等腰三角形的三线合一即可得．【解答】由作图可知，CE=CD

∴△CDE是等腰三角形

∵OE=OD

∴CO是等腰△CDE斜边上的中线

∴CO⊥ED（等腰三角形的三线合一）

24.（23-24山西模拟）问题：如图1，已知△ABC为钝角三角形，∠B=30∘，用尺规作△ABC的高AD．

作法：如图2，①分别以点A，B为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点E；②连接AE；③延长BC交AE于点D．线段AD即为△ABC的高．

判定AD为△ABC高的依据是【解析】本题主要考查了尺规作图、等边三角形的判定与性质,由尺规作图可知ΔABE是等边三角形,由等边三角形的性质可知∠ABE=60∘,可证BD平分∠ABE,根据等腰三角形的三线合一定理可证AD为Δ【解答】解：分别以点A，B为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点E

∴AB=BE=AE,

∴△ABE是等边三角形，

∴∠ABE=60∘,

∵∠ABD=30∘,

∴∠EBD=∠ABE-∠ABD=60∘-30∘=30∘,

∴∠ABD=∠EBD,

25.（24-25·河南模拟）如图1，用尺规作图的方法“过直线l外一点P作直线l的平行线”，现有如图2中的甲、乙两种方法，所用方法正确的是______________．

【答案】甲、乙【解析】本题考查了平行线的判定、尺规作图、等腰三角形的性质，熟练掌握尺规作图是解题关键．甲：根据同位角相等，两直线平行即可判断甲所用方法正确；乙：如图（见解析），先根据等腰三角形的性质可得∠1=∠2，再根据角平分线的尺规作图可得∠3=∠【解答】解：如图，甲所用方法正确．

由作图可知，∠1=∠2，

则PD∥l．

如图，乙所用方法正确．

由作图可知，PA=PB，PE是角平分线，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

又∵∠3+∠4=∠

（三）解答题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）26.（23-24·达州模拟）如图，已知线段a，b，用圆规和直尺作线段AB，使它等于2a-b．【答案】见解答【解析】首先作射线AE，在射线AE上依次截取AC=CD=a，再反向截取DB=b，，则线段AB就是所求的线段．【解答】解：如图所示，线段AB=2a-b即为所求．

27.（25-26·陕西模拟）如图，已知∠AOB=50∘，点C在边OA上．请用尺规作图法，在∠AOB的内部求作一点P，使得∠AOP=【答案】作图见解答【解析】本题考查尺规基本作图—作角的平分线，作一角等于已知角，平行线的性质，熟练掌握尺规基本作图是解题的关键．先作∠AOB的平分线OE，再在OA同侧作∠ACF，使∠ACF=∠AOB=50∘，CF【解答】解：如图，点P即为所求；

理由如下：

由作图可知：OE是∠AOB的平分线，

∴∠AOP=12∠AOB=12×50∘=25∘，

∵∠28.（25-26·陕西模拟）如图，已知线段a，线段AB，点C在线段AB的延长线上，且BC=AB，点D在线段BC上，且CD=a．

（1）用尺规在图中补全图形；（不写作法，保留作图痕迹）（2）若AC=4,CD=1．①D是BC的中点吗？请说明理由；

②点E在线段AD上，若AE:DE=3:2，求BE的长．【答案】见解答①D是BC的中点，理由见解答；②BE=1【解析】（1）此题考查了线段的尺规作图，线段的计算，解题的关键是找准线段之间的数量关系．(1)根据题意作出图形即可；（2）①先求得AB=BC=2，再根据线段的和与差求得BD=1=CD；②先求得AD=3，由AE=3【解答】（1）解：补全图形如图；（2）解：①D是BC的中点，理由如下，∵AC=4,CD=1，BC=AB，

∴AB=BC=12AC=2，BD=BC-CD=1=CD，

∴D是BC的中点，

②如图，

由①得AD=AC-CD=3，AB=BC=2，

∵AE:DE=3:2，

29.（24-25·贵州模拟）如图，已知△ABC中，∠ACB=60∘，（1）求作∠PBC，使得∠PBC=30∘且点（2）在(1)的条件下，若AB=42，∠A=45【答案】作图见解答；12+43【解析】（1）过点B作BP⊥AC于P即可．（2）解直角三角形求出AP，PC即可．【解答】（1）解：(1)如图，∠PBC即为所求（过点B作BP⊥AC（2）如图，由(1)得∠APB=∠BPC=90∘，∵∠A=45∘，

∴∠ABP=45∘，

在Rt△ABP中，AP=BP=AB⋅sin4530.（23-24·陕西模拟）如图，点D，E，F分别是线段BC,AB,AC上的点，DE//AC,DF//AB．

（1）猜想∠EDF与∠（2）用画图工具在备用图中作∠BAC的平分线AM交BC于点M，过点A作AN⊥AM交DF的延长线于点N．①补全备用图；

②若∠【答案】∠EDF=∠BAC①见解答；②80【解析】此题暂无解析【解答】（1）∠EDF=∠BAC，证明如下：∵DE//AC,∴∠BAC=∠BED①补全备用图如下：

②∵DF//AB，∠ANF=50∘，∴∠BAN=180∘-∠ANF=130∘，

∵AN⊥AM，∴∠NAM=90∘31.（22-23·广东模拟）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法），如图，已知△ABC，且AB>AC（1）在AB边上求作点D，使DB=DC；（2）在AC边上求作点E，使△ADE∽△ACB【答案】见解答见解答【解析】（1）作线段BC的垂直平分线交AB于点D，连接CD即可．（2）作∠ADT=∠ACB，射线DT交AC于点E【解答】（1）解：如图，点D即为所求．（2）如图，点E即为所求．

32.（24-25四川模拟）如图，已知射线BC和射线外两点A，D，按下列要求作图：

（1）画射线BA；（2）画线段AD，并延长AD交射线BC于点O；（3）以OA为一边，用尺规作图作∠AOE=∠B，使OE（4）在（3）的条件下，若∠BOE=80∘，且∠AOE与∠B互余，则∠【答案】见解答见解答见解答35∘【解析】（1）根据射线的定义画图即可;（2）根据作图语言画图即可;（3）根据尺规作角的方法作图即可；（4）根据角的和差进行计算即可.【解答】（1）解：如图所示：射线BA即为所求；

（2）解：如图所示：线段AD即为所求；

（3）解：如图所示：∠AOE即为所求；

（4）解:∵∠AOE=∠B,∠AOE+∠B=90∘,33.（24-25·河南模拟）【问题情境】

如图1，把一副直角三角板的直角边BO和DO分别放在直线MN上，两个三角板在直线MN两侧，已知∠AOB=90∘，∠（1）图1中，∠AOC=，∠BOC=．（2）如图2，OE为射线，将三角板AOB绕点O旋转，使三角板AOB的一边OB恰好平分∠NOE，问：此时OA是否平分∠（3）将图2中的三角板AOB绕点O旋转至图3的位置，使OA在∠DOC的内部．

①求∠COB+∠AOD的度数；

②在图3中利用尺规作∠【答案】120∘,150OA平分∠DOE,①120∘,【解析】（1）根据角的和差解答即可;（2）根据角平分线定义得∠EOB=∠NOB,再根据等角的余角相等得∠（3）①由题意得出∠COB+∠DOA=∠AOB+(【解答】（1）∠AOC=90∘+30∘=120∘,∠BOC=180（2）OA平分∠DOE,理由如下：

∵OB平分∠NOE,

∴∠EOB=∠NOB. ∵∠AOB=90∘,（3）①∠COB+∠DOA

=(∠AOB+∠COA)+∠AOD

34.（22-23江西模拟）综合与实践用一般观念研究筝形

研究对象：筝形

研究思路：类比线段、角、三角形，按“定义一性质一应用”的路径，由特殊到一般进行研究．

研究角度：整体——对称性

要素——边角及相关元素的关系

研究方法：观察（度量、实验）——猜想——验证

研究内容：

【一般概念】如图，在四边形ABCD中，AD=CD,AB=CB．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．【性质探索】根据定义，探索筝形的性质，得出如下结论：

内角：筝形有一组对角相等

对角线：……问题解决：（1）尺规作图：如图2，已知△ABD，求作一点C，使得四边形ABCD（2）已知：如图3，在