2026中考第一轮复习数学第14课时：几何初步（教师版）

2026年中考第一轮复习（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练）第14课时几何初步一、核心知识一、核心知识（一）几何图形的认识立体图形与平面图形：立体图形：各部分不都在同一平面内的图形（如正方体、圆柱、圆锥），从不同方向观察可得到______视图______（主视图、俯视图、左视图）。平面图形：各部分都在同一平面内的图形（如线段、角、三角形），立体图形的_____表面展开图______是平面图形（如正方体展开图有11种基本形式）。常见立体图形的特征：圆柱：有______2个______底面（圆形，大小相等）和1个侧面（曲面），侧面展开图是______长方形______；圆锥：有1个底面（圆形）和1个侧面（曲面），侧面展开图是______扇形______；正方体：有6个面（都是正方形，大小相等）、12条棱（长度相等）、8个顶点，相对面在展开图中不相邻（相隔一个正方形）。（二）线段、射线与直线定义与表示：直线：没有端点，向两端无限延伸，表示为直线AB或直线l；射线：有______1个______端点，向一端无限延伸，表示为射线OA（端点在前）；线段：有______2个______端点，不能延伸，表示为线段AB或线段a，两点之间______线段最短______。线段的计算与性质：中点：若C是线段AB的中点，则AC=BC=12AB三等分点：若D、E是线段AB的三等分点，则AD=DE=EB=13AB两点间距离：两点之间线段的______长度______，是两点间的最短距离。（三）角的认识与计算角的定义与表示：定义：由两条有公共端点的______射线______组成，公共端点叫顶点，两条射线叫边；也可由一条射线绕端点旋转形成。表示：∠AOB、∠O或∠1（用数字或希腊字母表示）。角的分类：锐角：0°<∠α<90°；直角：∠α=90°；钝角：90°<∠α<180°；平角：∠α=180°；周角：∠α=360°。角的性质与计算：余角：若∠α+∠β=90°，则∠α与∠β互余，同角（等角）的余角______相等______；补角：若∠α+∠β=180°，则∠α与∠β互补，同角（等角）的补角相等；角平分线：若OC平分∠AOB，则∠AOC=∠BOC=12∠AOB（四）相交线与平行线相交线：对顶角：两条直线相交形成，对顶角______相等______（如∠AOC与∠BOD）；邻补角：有一条公共边，另一边互为反向延长线，和为180°；垂线：两条直线相交成直角时，互相垂直，其中一条叫另一条的垂线，垂足为交点，过一点有且只有______1条______直线与已知直线垂直，垂线段最短。平行线：定义：在同一平面内，______不相交______的两条直线；判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角，两直线平行；性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。二、核心能力二、核心能力（一）立体图形与展开图题型1：立体图形的识别与视图解题思路根据立体图形的面（平面/曲面）、底面形状判断类型；主视图反映物体长和高，俯视图反映长和宽，左视图反映宽和高，注意“长对正、高平齐、宽相等”。题型2：正方体展开图与相对面解题思路正方体展开图中，相对面不相邻（相隔一个正方形），可通过“Z”字形两端或“一”字形中间隔一个确定相对面，再结合题意判断汉字或数字对应关系。（二）线段的计算题型1：线段中点与等分点计算解题思路根据中点（或等分点）定义列出线段间的数量关系，结合总长度列方程或直接用和差计算，注意分类讨论（如点在线段上或延长线上）。题型2：最短路径问题解题思路利用“两点之间线段最短”，将立体图形表面路径转化为平面图形中的线段（如圆柱侧面展开为长方形），再计算长度。（三）角的计算与互余互补题型1：角平分线相关计算解题思路根据角平分线定义设未知数，结合已知角的度数列方程，或直接利用“角平分线分角为相等两部分”计算。题型2：余角与补角应用解题思路先根据互余（和为90°）、互补（和为180°）列出等式，再结合角的关系（如倍分、差）求解，注意“同角的余角/补角相等”的灵活运用。（四）相交线与平行线题型1：对顶角与垂线计算解题思路对顶角相等直接转化角度，垂线形成的直角（90°）可作为已知条件，结合角的和差求未知角。题型2：平行线的判定与性质综合解题思路“判定”由角的关系推直线平行，“性质”由直线平行推角的关系，综合题需交替使用两者，注意找准同位角、内错角、同旁内角。三、易错警示三、易错警示立体图形展开图混淆错误：认为圆锥侧面展开图是圆形（实际是扇形）；提醒：圆柱侧面展开是长方形，圆锥是扇形，正方体展开图需排除“凹”“田”字形。射线与线段表示错误错误：将射线OA表示为射线AO（端点位置错误）；提醒：射线表示时端点必须在前，线段无方向，直线无端点。角的互余互补忽略“同一平面”错误：认为不在同一平面的两个角和为90°就是互余（实际互余互补与位置无关，仅与度数有关）；提醒：互余互补仅需满足度数和，与位置无关，但需注意题目中角的位置关系是否影响计算。平行线性质与判定混淆错误：由“两直线平行”推出“同位角互补”（实际是相等）；提醒：判定是“角→线”，性质是“线→角”，记清“平行出相等/互补”。线段计算忽略分类讨论：错误：已知AB=4，BC=2，直接求AC=6（忽略C在线段AB上时AC=2）；提醒：点在线段延长线上时需用减法，在线段上时用加法，优先画图分析。四、真题演练四、真题演练（一）选择题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）1.（2024・陕西中考）将半圆绕直径所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（）A.圆柱B.圆锥C.球D.圆台【答案】C【解析】考点：点线面体旋转。半圆绕直径旋转一周形成球，圆柱由矩形旋转形成，圆锥由直角三角形旋转形成，圆台由直角梯形旋转形成，故选C。【解答】解：根据立体图形旋转特征，半圆绕直径旋转一周得到球，故选C。（2024・江苏扬州中考）如图是某几何体的表面展开后得到的平面图形，该几何体是（）A.三棱锥B.圆锥C.三棱柱D.长方体【答案】C【解析】考点：几何体展开图。展开图上下为三角形（两个底面），中间为3个长方形（侧面），符合三棱柱特征，三棱锥展开为4个三角形，圆锥为扇形+圆形，长方体为6个长方形，故选C。【解答】解：展开图含2个三角形底面和3个长方形侧面，对应三棱柱，故选C。3.（2024・江苏盐城模拟）如图(1)是一个小正方体的表面展开图，小正方体从图(2)所示位置依次翻转到第①格、第②格，第③格，第④格，这时小正方体朝上一面的字是（

）A.六 B.中 C.学 D.强【答案】D【解析】根据正方体的展开图可得，“一”的对面为“中”，“二”的对面为“强”，“六”的对面为“学”，再由翻转即可得出结果．【解答】解：根据正方体的展开图可得，“一”的对面为“中”，“二”的对面为“强”，“六”的对面为“学”，翻转第①格时，“二”在下，翻转第②格时，“六”在下，翻转第③格时，“一”在下，翻转第④格时，“二”在下，这时小正方体朝上一面的字是“强”，故选：D．4.（2024・江西中考）4×3正方形网格中，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有（）1种B.2种C.3种D.4种【答案】B【解析】考点：正方体展开图。正方体展开图需满足“1-4-1”“2-3-1”等形式，空白处需补充后符合展开图规则，共2种位置，故选B。【解答】解：结合正方体展开图特征，符合条件的空白小正方形有2个，故选B。5.（2024・甘肃武威中考）若∠A=55°，则∠A的补角为（）A.35°B.45°C.115°D.125°【答案】D【解析】考点：补角定义。补角和为180°，180°-55°=125°，故选D。【解答】解：∠A的补角=180°-∠A=180°-55°=125°，故选D。（2024・广西中考）2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（）20°B.40°C.60°D.80°【答案】C【解析】考点：钟面角。钟面分12格，每格30°（360°÷12），2时整时针与分针隔2格，30°×2=60°，故选C。【解答】解：钟面每格30°，2时整相隔2格，30°×2=60°，故选C。（2024・河北模拟）四条线段a、b、c、d中，与挡板另一侧的线段m在同一直线上的是（）A.aB.bC.cD.d【答案】A【解析】考点：直线性质。用直尺连接线段与挡板的交点，重合的线段为a，故选A。【解答】解：借助直尺画直线，线段a与m在同一直线上，故选A。（2024・云南模拟）∠α是锐角，∠α与∠β互补，∠α与∠γ互余，则∠β-∠γ=（）A.45°B.60°C.90°D.180°【答案】C【解析】考点：互余互补。∠β=180°-∠α，∠γ=90°-∠α，∠β-∠γ=（180°-∠α）-（90°-∠α）=90°，故选C。【解答】解：由互补得∠β=180°-∠α，互余得∠γ=90°-∠α，差值为90°，故选C。（2024・广东模拟）E是直线CA上一点，∠FEA=40°，EB平分∠CEF，GE⊥EF，则∠GEB=（）10°B.20°C.30°D.40°【答案】B【解析】考点：角平分线与垂直。∠CEF=180°-40°=140°，EB平分得∠CEB=70°；GE⊥EF得∠GEF=90°，∠CEG=180°-40°-90°=50°，∠GEB=70°-50°=20°，故选B。【解答】解：∠CEF=140°，EB平分得∠CEB=70°，∠CEG=50°，差值为20°，故选B。10.（2024・安徽模拟）-6与6间的线段六等分，五个等分点对应数a₁、a₂、a₃、a₄、a₅，下列正确的是（）A3>0B.|a1|=|a4|C.a1+a2+a3+a4+a5=0D.a2+a5<0【答案】C【解析】考点：线段等分与数轴。线段长12，每段2，等分点为-4、-2、0、2、4，a₃=0，|a1|=4≠|a4|=2，和为-4-2+0+2+4=0，a₂+a₅=-2+4=2>0，故选C。【解答】解：等分点为-4、-2、0、2、4，和为0，故选C。11.（24-25·云南中考）如图，已知直线c与直线a,b都相交．若a∥b,∠1=50∘，则∠A.53∘ B.52∘ C.51∘ D.50【答案】D【解析】本题考查了利用平行线的性质求角度，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．

根据“两直线平行，内错角相等”即可求解．【解答】解：∵a∥b,∠1=50∘，

∴∠12.（24-25·山东模拟）如图，点M，N处各安装一个路灯，点P处竖有一广告牌，测得PM=7m，PN=5m，则点P到直线MN的距离可能为（

）A.7m B.6m C.5m D.4m【答案】D【解析】本题考查点到直线的距离，垂线段最短，根据点到直线的距离为点到直线的垂线段的长，结合垂线段最短得到，点P到直线MN的距离小于PN的长，进行判断即可．【解答】解：∵PM=7m，PN=5m，∴PN<PM，由题意，点P到直线MN的距离为点P到直线MN的垂线段的长度，故小于PN的长，∴点P到直线MN的距离可能为4m；故选D．13.（25-26·河南月考）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1=155∘,∠2=30∘，则∠3的度数为（

）A.45∘ B.50∘ C.55∘ D.60∘【答案】C【解析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解．【解答】解：∵AB // OF，∴∠1+∠BFO=180∘，∴∠BFO=180∘−155∘=25∘，∵∠POF=∠2=30∘，∴∠3=∠POF+∠BFO=30∘+25∘=55∘；故选：C．14.（24-25·广东中考）如图，直线a∥b，直线AB⊥AC，若∠1=50∘，则∠2=（

）A.30∘ B.40∘ C.45∘ D.50∘【答案】B【解析】根据平行线的性质及垂直的意义可进行求解．【解答】解：∵直线a∥b，∠1=50∘，∴∠1=∠3=50∘，∵直线AB⊥AC，∴∠2+∠3=90∘．∴∠2=40∘．故选：B．15.（24-25·广东模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘,∠B=30∘,BC=6，AD平分∠CAB交BC于点D，点E为边AB上一点，则线段DE长度的最小值为（

）A.2 B.3 C.2 D.3【答案】C【解析】本题主要考查解直角三角形和角平分线的性质，垂线段最短，根据题意求得∠BAC和AC，结合角平分线的性质得到∠CAD和DC，当DE⊥AB时，线段DE长度的最小，结合角平线的性质可得DE=DC即可．【解答】解：∵∠C=90∘,∠B=30∘，∴∠BAC=60∘，在Rt△ABC中，tan∠B=ACCB，解得AC=23，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=30∘，∴tan∠CAD=DCCA，解得DC=2，当DE⊥AB时，线段DE长度的最小，∵AD平分∠CAB，∴DE=DC=2．故选∶C．（二）填空题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）16.（2024・内蒙古中考）线段AB=4，在直线AB上作BC=2，D是AC中点，则AD=______1或3______cm。【答案】1或3【解析】考点：线段中点与分类讨论。C在AB上时AC=2，AD=1；C在AB延长线上时AC=6，AD=3，故答案为1或3。【解答】解：分类讨论C的位置，得AD=1或3，故答案为1或3。17.（2024・湖南长沙中考）C、D是AB上两点，D是AC中点，AB=10cm，BC=4cm，则AD=______3______cm。【答案】3【解析】考点：线段和差与中点。AC=AB-BC=6cm，D是中点，AD=3cm，故答案为3。【解答】解：AC=10-4=6cm，AD=6÷2=3cm，故答案为3。18.（24-25·河北模拟）如图，电子屏幕上有一条直线l，在直线l上有A，B，C，D四点，四点之中相邻两点之间的距离相等，光点P沿着直线l从点A运动到点D，当光点P到A，B，C，D四点中至少两点的距离相等时，光点P就会发出红光，则光点P发出红光的次数为5.

【答案】5【解析】本题考查了线段的中点，利用总体思想去思考线段的总条数是解决问题最巧妙的办法，可以减去不必要的讨论与分类．

点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点，据此解答即可．【解答】解：根据题意可知：

当点P经过任意一条线段中点时会发出红光，

∵图中共有线段DC、DB、DA、CB、CA、BA，

∵四点之中相邻两点之间的距离相等

∵BC和AD中点是同一个，

∴光点P发出红光的次数为5．

故答案为：5．

19.（24-25·湖南模拟）在直线l上顺次取三点A、B、C，使线段AB=8cm，BC=3cm，则线段AC的长为11cm.【答案】11cm【解析】本题考查了线段的和差运算，根据在直线上顺次取三点A、B、C，得出AC=AB+BC，再代数计算，即可作答．【解答】∵在直线l上顺次取三点A、B、C，

∴AC=AB+BC，

∵AB=8cm，BC=3cm，

∴AC=8+3=11(cm)，

故答案为:11cm．

20.（24-25·辽宁模拟）如图，点O在CD上，OC平分∠AOB,∠AOE=90∘，若∠BOD=153∘，则∠DOE的度数是【答案】63°【解析】∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠COB；∠AOE=90°，∠BOD=153°，∠COD=180°，∴∠COB=180°-153°=27°，∠AOC=27°，∠DOE=180°-∠AOE-∠AOC=180°-90°-27°=63°.【解答】63°21.（24-25·湖南模拟）如图，在下列条件中，能够证明AD∥CB的条件是∠2=∠3(答案不唯一)【答案】∠2=∠3(答案不唯一【解析】根据平行线的判定定理逐项分析判断即可求解．【解答】解：∠3=∠2，内错角相等两直线平行，能判定AD // BC，故D符合题意．

故答案为：∠2=∠22.（24-25·四川模拟）如图，已知直线AB∥CD，EG平分∠BEF，∠1=40∘，则∠2的度数是70【答案】70°【解析】根据平行线的性质可得∠EFG=∠1=40∘，∠EFG+∠BEF=180∘，【解答】∵AB∥CD，

∴∠EFG=∠1=40∘，∠EFG+∠BEF=180∘，∠EGF=∠BEG，

∴∠BEF=180∘-40∘23.（25-26·江苏模拟）如图，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，连接EF，以点E为圆心，适当长为半径画弧．交射线EA于点M，交EF于点N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在∠AEF的内部相交于点H，画射线EH交CD于点G，若∠AEF=80∘，则∠EGF的度数为【答案】40°【解析】本题考查角平分线的作图，平行线的性质，熟练掌握角平分线的作法和平行线的性质是解题的关键．由作图可知∠AEG=∠FEG，结合∠AEF=80【解答】解：由作图可知∠AEG=∠FEG，

∵∠AEF=80∘，

∴∠AEG=∠FEG=12∠AEF=40∘，24.（24-25·四川中考）如图，直线l与正五边形ABCDE的边AB、DE分别交于点M、N，则∠1+∠2的度数为144°【答案】144°【解析】本题考查了多边形的内角和、对顶角相等，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键；

先根据多边形的内角和计算出∠A=∠E=108∘，再根据四边形的内角和是【解答】解：∵正五边形ABCDE，

∴∠A=∠E=3×180∘5=108∘，

25.（25-26·甘肃模拟）如图，△ABC中，∠B=30∘，将△ABC绕点C顺时针旋转60∘得到△DEC，点A,B的对应点分别为D,E，延长BA交DE于点F，下列结论一定错误的是A.∠ACB=∠ACD B.AC∥DEC.AB=EF【答案】ABC【解析】本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据旋转性质得∠BCE=∠ACD=60∘，结合∠B=30∘，即可得证BF⊥【解答】解：记BF与CE相交于一点H，如图所示：

∵△ABC中，将△ABC绕点C顺时针旋转60∘得到△DEC，

∴∠BCE=∠ACD=60∘

∵∠B=30∘

∴在△BHC中，∠BHC=180∘-∠BCE-∠B=90∘

∴BF⊥CE

故D选项是正确的，符合题意；

设∠ACH=x∘

∴∠ACB=60∘-x∘，

∵∠B=30∘

∴∠EDC=∠BAC=180∘-30∘-(60∘-x∘)=90∘+（三）解答题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）26.（24-25·河北模拟）A、B、C、D四个车站的位置如图所示．

（1）A、D两站的距离为___4a+3b______；（2）C、D两站的距离为___a+3b_______；（3）若a=3，C为AD的中点，求b的值．【答案】4a+3ba+3bb的值是2【解析】（1）根据线段的和列出代数式，计算即可；（2）根据线段的差列出代数式，计算即可；（3）根据线段中点的性质列出方程a+3b=12(4a+3b)【解答】（1）解：A、D两站的距离为(a+b)+(3a+2b)=a+b+3a+2b=4a+3b；

故答案为：4a+3b；（2）C、D两站的距离为(3a+2b)-(2a-b)=3a+2b-（3）C为AD的中点，

∴CD=12AD，a+3b=12(4a+3b)

当a=3时，3+3b=12(12+3b)27.（23-24·陕西模拟）如图，在△ABC中，点E是边BC上一点，连接AE，延长EA至点D，连接CD，∠B=∠D，∠BAC+∠CAE=180【答案】见解答【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质，邻补角．熟练掌握全等三角形的判定与性质，邻补角是解题的关键．

由∠BAC+∠CAE=180∘，∠【解答】证明：∵∠BAC+∠CAE=180∘，∠DAC+∠CAE=180∘，

∴∠BAC=∠DAC，

∵∠28.（24-25·辽宁模拟）如图，点C、E、B、F在一条直线上，AB⊥CF于B，DE⊥CF于E，AC=DF,CE=BF．求证：AC∥【答案】见解答【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，根据HL证明Rt△ABC≅【解答】证明：∵点C、E、B、F在一条直线上，AB⊥CF于B，DE⊥CF于E，

∴∠ABC=∠DEF=90∘，

∵CE=BF，

∴CE+BE=BF+BE

∴BC=EF，

在29.（23-24·湖北模拟）如图，EF∥CD，GD∥CA，∠1=（1）求∠2（2）若DG平分∠CDB，求∠【答案】∠2=∠A=【解析】（1）根据EF∥CD，∠1=140∘，得出∠（2）根据DG平分∠CDB，∠2=40【解答】（1）解：∵EF∥CD，

∴∠1+∠ACD=180∘，

∵∠1=140（2）解：∵DG平分∠CDB，∠2=40∘，

∴∠BDG=∠2=4030.（24-25·广东模拟）如图，AB∥CD，点E是射线CD上一点．

（1）实践与操作：利用尺规作图，作∠FED，使∠FED=∠C，边EF交射线（2）应用与证明：求证∠AFE=【答案】见详解见详解【解析】（1）根据要求作出图形；（2）根据条件得出AC∥EF，进而证明四边形【解答】（1）解：图形如图所示：

（2）证明：由(1)得∠FED=∠C，

∴AC∥EF

又∵AB∥CD

31.（24-25·河北期中）在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸ABCD，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中AE=FB），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．

图1图2图3（1）直接写出ADAB（2）如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是（

）

（3）卡纸型号型号I型号II型号III规格（单位：cm）302080单价（单位：元）3520

现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整AE，EF的比例，制作棱长为10cm的正方体礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用．

（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用）

【答案】2；C见解答．【解析】（1）由折叠和题意可知，GH=AE+FB，AH=DH，四边形EFNM是正方形，得到EM=EF，即AG=EF，即可求解；（2）根据几何体的展开图即可求解；（3）由题意可得，每张型号III卡纸可制作10个正方体，每张型号II卡纸可制作2个正方体，每张型号I卡纸可制作1个正方体，即可求解．【解答】(1)解：如图：

上述图形折叠后变成：

由折叠和题意可知，GH=AE+FB，AH=DH，∵四边形EFNM是正方形，∴EM=EF，即AG=EF∴GH+AG=AE+FB+EF，即AH=AB∵AH=DH∴AD∴ADAB的值为：(2)解：根据几何体的展开图可知，“吉”和“如”在对应面上，“祥”和“意”在对应面上，而对应面上的字中间相隔一个几何图形，且字体相反，∴C故选：C．（3）解：卡纸型号型号I型号II型号III需卡纸的数量（单位：张）132所用卡纸总费用（单位：元）58

根据(1)和题意可得：卡纸每格的边长为5cm，则要制作一个边长为10cm的正方体的展开图形为：

∴型号III卡纸，每张卡纸可制作10个正方体，如图：

型号II卡纸，每张这样的卡纸可制作2个正方体，如图：

型号I卡纸，每张这样的卡纸可制作1个正方体，如图：

∴可选择型号III卡纸2张，型号II卡纸3张，型号I卡纸1张，则10×∴所用卡纸总费用为：20×2+5×32.（24-25·湖南模拟）爱钻研的琪琪发现将图1所示的手表，理解成图2的数学模型（点A和点D是表带的两端，点A，B，C，D在同一条线段上），可以产生下面的数学问题．

（1）已知表盘直径BC为4cm（B、C为表盘上两点，BC为直径），CD=4AB，若B是AC中点，则表带CD=___16___cm．（2）在某个时刻，分针ON指向表盘上的数字“6”（此时ON与OC重合）．时针为OE，表盘显示时间为是10:30，如图3所示．

①10:30时分针和时针的夹角为___135___度；

②作射线OF，使∠EOF=20∘（3）如图4所示，自10:30之后，若射线OF始终是∠EON的角平分线（分针还是ON），在一小时以内，经过___17011或37011___分钟后，∠【答案】16①135；②∠BOF=2517011或【解析】（1）中点，得到AB=BC=4cm，进而求出CD的长即可；（2）①表盘为圆分12小时，每分钟时针走过的度数为0.5∘，一格为30∘，根据10:30分针和时针的夹角的度数等于4格的度数加上时针30分钟走过的度数计算即可；

②分情况讨论，当射线OF在（3）设经过时间为t分钟，∠EOF的度数是25【解答】（1）解：∵BC为4cm，B是AC中点，

∴AB=BC=4cm，

∴CD=4AB=16cm；

（2）①表盘分为12格，一格的度数为360∘÷12=30∘，时针一分钟所走的度数为：30∘÷60=0.5∘，

∴从10:00到10:30，时针30分钟走的度数为30×0.5∘=15∘，

∴10:30分针和时针的夹角的度数为4×30∘+15∘=135∘；

故答案为：135；

②由①知：∠（3）解：设经过时间为t分钟，∠EOF的度数是25∘，

∵时针与分针得速度差为6∘-0.5∘=5.5∘，

∴∠EON=|135∘-5.5t|

∵OF平分∠EON，

∴∠EOF=|135∘-5.5t|2=33.（24-25·辽宁模拟）如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=60∘．将一把直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，其中∠OMN=30（1）将如图中的三角尺绕点O顺时针旋转至如图，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求（2）将如图中的三角尺绕点O按每秒10∘的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第__9或27____秒时，边MN恰好与射线OC平行；在第__12或30____秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC．(直接写出结果（3）将如图中的三角尺绕点O顺时针旋转至如图，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与【答案】150∘9或2712或30∠AOM与∠NOC之间的数量关系为∠【解析】（1）根据邻补角的定义求出∠BOC=120∘，再根据角平分线的定义求出∠COM，然后根据（2）分别分两种情况根据平行线的性质和旋转的性质求出旋转角，然后除以旋转速度即可得解；（3）用∠AOM和∠CON表示出【解答】（1）解：∵∠AOC=60∘，

∴∠BOC=120∘，

又∵OM平分∠BOC，（2）∵∠OMN=30∘，

∴∠N=90∘-30∘=60∘，

∵∠AOC=60∘，

∴当ON在直线AB上时，MN // OC，

旋转角为90∘或270∘，

∵每秒顺时针旋转10∘，

∴时间为9或27，

直线ON恰