第2课时点到平面、两平行平面之间的距离课件-2025-2026学年高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

2.4.4第2课时

点到平面的距离、两个平行平面之间的距离

2.两条平行直线间的距离求两条平行直线l，m之间的距离，可在其中一条直线l上任取一点P，则两条平行直线间的距离就等于

的距离.点P到直线m空间距离两点距离、点到直线的距离、两条平行直线的距离点到平面的距离、直线到平面的距离、两个平行平面的距离这三个距离公式如何推导呢√√

如图，在平面α内任取一点A，作向量AP，设

n

是平面α的法向量，则AP在法向量

n

上的投影长

即为点P到平面α的距离．（一）点到平面的距离点面距实质上就是平面外的定点与平面内任意一点连线对应的向量在平面的法向量上的投影长.例1在三棱锥S-ABC中，棱长SA=1，SB=2，SC=3，∠ASB，∠BSC，∠CSA都是直角，求点S到平面ABC的距离．

如图，你准备选择哪个向量在平面ABC的法向量n上的投影长来计算点面距？与同学是否相同呢？例1在三棱锥S-ABC中，棱长SA=1，SB=2，SC=3，∠ASB，∠BSC，∠CSA都是直角，求点S到平面ABC的距离．例1在三棱锥S-ABC中，棱长SA=1，SB=2，SC=3，∠ASB，∠BSC，∠CSA都是直角，求点S到平面ABC的距离．求点

P到平面

α

的距离的步骤：归纳总结1.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，

AA1=，AC=BC=1，∠ACB=90°．求点B1到平面A1BC的距离．1.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，

AA1=，AC=BC=1，∠ACB=90°．求点B1到平面A1BC的距离．当直线与平面平行时，直线上的每个点到平面的距离都相等，因而可以利用点到平面的距离来解决两平行平面间的距离问题（二）直线到平面的距离

直线

l和平面α间的距离等于直线

l上任一点A到平面α的距离，也等于线段AB在平面α的法向量

n

上的投影长．

如图，A，B分别是直线

l和平面α上的任意一点，设

n

是平面α的一个法向量，则平面α，β之间的距离例2如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点坐标为A(2，0，0)，D(0，0，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，2)，E，F分别为AC，AD1的中点．（1）求证：EF//平面BCD1；（2）求直线EF与平面BCD1之间的距离．例2如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点坐标为A(2，0，0)，D(0，0，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，2)，E，F分别为AC，AD1的中点．（1）求证：EF//平面BCD1；（2）求直线EF与平面BCD1之间的距离．例2如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点坐标为A(2，0，0)，D(0，0，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，2)，E，F分别为AC，AD1的中点．（2）求直线EF与平面BCD1之间的距离．求直线

l到平面

α

的距离的思路及步骤：思路：当线面平行时，求线面距离可以转化为求直线上任意一点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解.归纳总结具体步骤：两平行平面间的距离处处相等，因而可以利用点到平面的距离来解决两平行平面间的距离问题（三）两平行平面间的距离

两平行平面α，β之间的距离等于平面α上任一点A到平面β的距离，也等于两平面之间任一条线段AB在平面α的法向量n上的投影长．两平行平面间的距离如图，A，B分别是平行平面α，β上的任意一点，设n是平面α，β的一个法向量，则平面α，β之间的距离d=______.

例3如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点坐标为A(1，0，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)，求平面AB1C与平面A1C1D之间的距离．例3如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点坐标为A(1，0，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)，求平面AB1C与平面A