《初中数学中考复习矩形、菱形、正方形》课件

第五单元四边形第22讲矩形、菱形、正方形第五单元四边形数据聚焦考点梳理1数据剖析题型突破2数据链接真题试做3栏目导航

教材链接人教:八下第十八章P52-P59.冀教:八下第二十二章P134-P149.北师:九上第一章P1-P29.数据聚焦考点梳理1矩形、菱形、正方形矩形的性质与判定菱形的性质与判定定义正方形的性质与判定性质判定定义性质判定定义性质判定特殊的平行四边形的关系1.定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.如图.2.性质:(1)边:对边平行且相等.(2)角:四个内角都是①

.

(3)对角线:两条对角线②

且③

.

(4)对称性:矩形既是中心对称图形,也是轴对称图形,有2条对称轴.(5)面积:相邻两边的乘积.考点

1矩形的性质与判定直角相等互相平分【技法归纳】应用矩形性质计算的一般思路:

(1)一条对角线将矩形分成两个全等的直角三角形,用勾股定

理或三角函数求线段的长度;

(2)矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形,

运用这个结论,建立能够得到线段或角度的等量关系.

3.判定(1)有一个角是④

的平行四边形是矩形(定义);

(2)有三个角是⑤

的四边形是矩形;

(3)对角线⑥

的平行四边形是矩形.

直角相等直角

考点

2菱形的性质与判定相等垂直且平分【技法归纳】应用菱形性质计算的一般思路:

(1)菱形的对边平行、对角相等、四边相等,故在解题时,可利用等

量代换来转换为其他边的长;

(2)菱形的对角线互相垂直,故常借助勾股定理来求线段的长.

3.判定(1)有一组邻边相等的⑨

四边形是菱形;

(2)四条边⑩

的四边形是菱形;

(3)两条对角线

的平行四边形是菱形.

平行相等互相垂直2.性质(1)边:四条边都相等;对边平行.(2)角:四个角都是90°.(3)对角线:对角线互相

平分且

;对角线平分一组对角.

(4)对称性:既是中心对称图形,也是轴对称图形,有4条对称轴.考点

3正方形的性质与判定垂直相等1.定义:有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.如图.3.判定(1)一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形(定义);(2)有一个角是直角的

是正方形;

(3)有一组邻边相等的

是正方形;

(4)对角线相等的菱形是正方形;(5)对角线互相垂直的矩形是正方形;(6)对角线互相

的四边形是正方形(需自证).

菱形垂直平分且相等矩形考点

4特殊的平行四边形的关系数据剖析题型突破2题型

2

菱形的性质与判定题型

1

矩形的性质与判定题型

2

正方形的性质与判定

D题型

1

矩形的性质与判定231核心素养·推理能力思路分析

连接CD,利用勾股定理列式求出AB,判断出四边形CFDE是矩形,根据矩形的对角线相等可得EF=CD,再根据垂线段最短可得CD⊥AB时,线段EF的值最小,然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可.12拔高追问其他条件不变,矩形CFDE面积的最大值为

.

满分指导本题考查的知识点是勾股定理、垂线段最短、三角形的面积和矩形的判定和性质.根据矩形的对角线相等可得EF=CD,通过垂线段最短,用等面积法求出CD的长度即可.231

C2313.(2·廊坊一模)如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AF=CE,EF=2BO,连接DE,BF.(1)求证:四边形EBFD是矩形;

(1)证明:平行四边形ABCD中,BO=DO,AO=OC,又∵AF=CE,∴AF-AO=CE-CO,即OE=OF,∴四边形EBFD是平行四边形.又∵EF=2BO,BD=2BO,∴EF=BD,∴四边形EBFD是矩形.231(2)你所证明结论的依据是

,该依据的逆命题是

(填“真”或“假”)命题.

对角线相等的平行四边形是矩形真231

题型

2

菱形的性质与判定231思路分析

根据菱形的面积公式求出对角线AC的长,在Rt△ACE中根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求出OE的长.C96拔高追问

若上题改为:如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点C作CE⊥AD于点E,连接OE,若OB=8,OE的长为6,则S菱形ABCD=

.

满分指导菱形相关的计算问题,一定要想到菱形的四条边相等,对角线互相垂直且平分.在计算角度时注意互余的应用,在计算线段长时注意勾股定理的应用,另外,直角三角形的相关结论也是解决问题的关键.2312.如图,已知平行四边形ABCD,要求利用所学知识在平行四边形ABCD内作一个菱形,甲、乙两位同学的作法分别如下:

甲:连接AC,作AC的垂直平分线交AD,BC于点E,F,则四边形AFCE是菱形.

乙:分别作∠A与∠B的平分线AE,BF,交BC于点E,交AD于点F,则四边形ABEF是菱形.下列判断正确的是(

)A.甲、乙均正确

B.甲错误,乙正确C.甲正确,乙错误

D.甲、乙均错误A2313.(2·衡水景县模拟)如图,已知在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=BC,对角线AC,BD交于点O,且OA=OC,过点D作DE⊥BC,交BC的延长线于点E.(1)求证:OD=OB;(1)证明:∵AD∥BC,∴∠OAD=∠OCB.在△AOD和△COB中,∵∠OAD=∠OCB,OA=OC,∠AOD=∠COB,

∴△AOD≌△COB(ASA),∴OD=OB.231(2)求证:四边形ABCD是菱形;(2)证明:由(1)知OD=OB.∵OA=OC,∴四边形ABCD是平行四边形.又∵AB=BC,∴平行四边形ABCD是菱形.231

2311.(2·河北模拟)将图1中两个三角形按图2所示的方式摆放,其中四边形ABCD为矩形,连接PQ,MN,甲、乙两人有如下结论:甲:若四边形ABCD为正方形,则四边形PQMN必是正方形;乙:若四边形PQMN为正方形,则四边形ABCD必是正方形.下列判断正确的是(

)A.甲正确,乙不正确

B.甲不正确,乙正确C.甲、乙都不正确

D.甲、乙都正确

题型

3

正方形的性质与判定231B

证明:(1)如图,过点E作EM⊥BC于M,EN⊥CD于N,则∠MEN=90°.∵四边形ABCD是正方形,∴CA平分∠BCD,又∵EM⊥BC,EN⊥CD,∴EM=EN.∵∠DEF=∠MEN=90°,231MN

231MN

(2)求证:CE+CG=8.231MN3.(2·河北模拟)如图,在边长为6的正方形ABCD中,点M为对角线BD上任意一点(可与B,D重合),连接AM,将线段AM绕点A逆时针旋转90°得到线段AN,连接MN,DN,设BM=x.231

(1)求证:△ABM≌△ADN;231

231

(3)嘉淇同学在完成(1)后有个想法:“△ABM与△MND也会存在全等的情况”,请判断嘉淇的想法是否正确,若正确,请直接写出△ABM与△MND全等时x的值;若不正确,请说明理由.231

231（3~2）数据链接真题试做3命题点1

矩形的性质与判定命题点2菱形的性质与判定命题点3正方形的性质与判定（10年1考）1.(0·杭州16题4分)如图是一张矩形纸片,点E在AB边上,把△BCE沿直线CE对折,使点B落在对角线AC上的点F处,连接DF.若点E,F,D在同一条直线上,AE=2,则DF=

,BE=

.

2命题点1矩形的性质与判定1

（10年4考）命题点2菱形的性质与判定452.(9·河北5题3分)如图,菱形ABCD中,∠D=150°,则∠1=(

)A.30°

B.25°

C.20°

D.15°D233.(7·河北9题3分)求证:菱形的两条对角线互相垂直.已知:如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD交于点O.求证:AC⊥BD.以下是排乱的证明过程:①又BO=DO,②∴AO⊥BD,即AC⊥BD.③∵四边形ABCD是菱形,④∴AB=AD.证明步骤正确的顺序是(

)A.③→②→①→④ B.③→④→①→②C.①→②→④→③ D.①→④→③→②B45234.(3·河北11题3分)如图,菱形ABCD中,点M,N在AC上,ME⊥AD,NF⊥AB.若NF=NM=2,ME=3,则AN=(

)

A.3

B.4

C.5

D.6B45235.(4·河北23题11分)如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=40°,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°.得到△ADE,连接BD,CE交于点F.(1)求证:△ABD≌△ACE;

4523(2)求∠ACE的度数;

4523(3)求证:四边形ABFE是菱形.(3)证明:∵∠BAD=∠CAE=100°,AB=AC=AD=AE,∴∠ABD=∠ADB=∠ACE=∠AEC=40°.

∵∠BAE=∠BAD+∠DAE=140°,∴∠BFE=360°-∠BAE-∠ABD-∠AEC=140°,∴∠BAE=∠BFE,∴四边形ABFE是平行四边形.∵AB=AE,∴平行四边形ABFE是菱形.4523

提分要点在证明一个四边形是菱形时,应先看是否知道这个四边形是平行四边形,如果不知道它是平行四边形,可有两种思考方法:(1)证明四边形四条边都相等,从而证明该四边形是菱形;(2)先证明四边形是平行四边形,再加一组邻边相等或者对角线互相垂直,从而证明该四边形是菱形.具体选择哪种思考方法,应根据题目特点灵活选用.

4523（10年6考）6.(8·河北12题2分)用一根长为a(单位:cm)的铁丝,首尾相接围成一个正方形,要将它按如图所示的方式向外等距扩1(单位:cm)得到新的正方形,则这根铁丝需增加(

)A.4cm B.8cm

C.(a+4)cm D.(a+8)cmB命题点3正方形的性质与判定1089677.(6·河北6题3分)关于▱ABCD的叙述,正确的是(

)A.若AB⊥BC,则▱ABCD是菱形B.若AC⊥BD,则▱ABCD是正方形C.若AC=BD,则▱ABCD是矩形D.若AB=AD,则▱ABCD是正方形C1089678.(5·河北16题2分)如图是甲、乙两张不同的矩形纸片,将它们分别沿着虚线剪开后,各自要拼一个与原来面积相等的正方形,则(

)A.甲、乙都可以

B.甲、乙都不可以C.甲不可以,乙可以 D.甲可以,乙不可以

A1089679.(4·河北8题3分)如图,将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后,拼成面积为2的正方形,则n≠(

)A.2

B.3

C.4

D.5

A10896710.(3·河北13题3分)一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示,若∠3=50°,则∠1+∠2=(

)A.90° B.100° C.130° D.180°

B1089671.(2·河南)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E为CD的中点.若OE=3,则菱形ABCD的周长为()

A.6B.12C.24D.48C综合模拟练基础全练654321789

10

111314122.(2·四川达州)如图,点E在矩形ABCD的AB边上,将△ADE沿DE翻折,点A恰好落在BC边上的点F处,若CD=3BF,BE=4,则AD的长为()

A.9 B.12 C.15 D.18C654321789

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111314123.(2·重庆A卷)如图,在正方形ABCD中,AE平分∠BAC交BC于点E,点F是边AB上一点,连接DF,若BE=AF,则∠CDF的度数为()A.45° B.60° C.67.5° D.77.5°4.(2·陕西)在下列条件中,能够判定▱ABCD为矩形的是()A.AB=ACB.AC⊥BDC.AB=AD D.AC=BDCD654321789

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D654321789

10

11131412

A654321789

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11131412

A654321789

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111314128.(2·四川达州)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AC=24,BD=10,则菱形ABCD的周长是________.

52654321789

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111314129.(2·黑龙江齐齐哈尔)如图,在四边形ABCD中,AC⊥BD,垂足

为O,AB∥CD,要使四边形ABCD为菱形,应添加的条件是

____________________________________.(只需写出一个条件即可)

AB=CD或AD∥BC或OA=OC或OB=OD等654321789

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1113141210.(2·吉林)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E是边AD的中点,点F在对角线AC上,且AF=AC,连接EF.若AC=10,则EF=_______.

654321789

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1113141211.(2·黑龙江哈尔滨)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,

点E在OB上,连接AE,点F为CD的中点,连接OF,若AE=BE,OE=3,

OA=4,则线段OF的长为_______.

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1113141212.(2·贵州遵义)将正方形ABCD和菱形EFGH按照如图所示摆放,顶点D与顶点H重合,菱形EFGH的对角线HF经过点B,点E,G分别在AB,

BC上.

(1)求证:△ADE≌△CDG;

(2)若AE=BE=2,求BF的长.(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,四边形EFGH是菱形,∴AD=CD,∠A=∠C=90°,DE=DG,在Rt△ADE与Rt△CDG中,∴Rt△ADE≌Rt△CDG(HL);AD=CD,DE=DG,654321789

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1113141213.(2·湖北鄂州)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且∠CDF=∠BDC,∠DCF=∠ACD.

(1)求证:DF=CF;

(2)若∠CDF=60°,DF=6,求矩形ABCD的面积.654321789

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∠DCF=∠DCO,∠CDF=∠CDO,CD=CD,654321789

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1113141214.(2·湖北恩施)如图,已知四边形ABCD是正方形,G为线段AD上任意一点,CE⊥BG于点E,DF⊥CE于点F.求证:DF=BE+EF.证明:∵四边形ABCD是正方形,∴BC=CD,∠BCD=90°,∴∠BCE+∠DCF=90°,∵CE⊥BG,DF⊥CE,∴∠BEC=∠CFD=90°,∴∠BCE+∠CBE=90°,∴∠CBE=∠DCF.在△BCE和△CDF中,∴△BCE≌△CDF(AAS),∴BE=CF,CE=DF,∴CE=CF+EF=BE+EF,∴DF=BE+EF.∠BEC=∠CFD,∠CBE=∠DCF,BC=CD,654321789

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B挑战高分181916171520

D181916171520

D181916171520

D18191617152019.(2·江苏无锡)如图,正方形ABCD的边长为8,点E是CD的中点,HG垂直平分AE且分别交AE,BC于点H,G,则BG=__________.

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181916171520解:(1)①∵四边形ABCD,四边形AECF都是矩形,∴AH∥CG,AG∥HC.∴四边形AHCG为平行四边形.∵∠D=∠F=90°,∠AHE=∠CHD,AE=CD,∴△AEH≌△CDH(AAS),∴AH=CH.∴四边形AHCG为菱形;②设AH=CH=x,则DH=AD-AH=8-x,在Rt△CDH中,HC²=DH²+DC²,即x²=(8-x)²+16,解得x=5.∴四边形AHCG的面积为5×4=20;181916171520

181916171520

D中考创新练242522232122.(2·湖北恩施)如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=90°,AD=10cm,

BC=8cm,点P从点D出发,以1cm/s的速度向点A运动,点M从点B同时出

发,以相同的速度向点C运动,当其中一个动点到达端点时,两个动点同

时停止运动.设点P的运动时间为t(单位:s),下列结论正确的是()

A.当t=4s时,四边形ABMP为矩形

B.当t=5s时,四边形CDPM为平行四边形