专题四计算题培优3电磁感应中的综合问题

例1(2024·湖北卷·15)如图所示，两足够长平行金属直导轨MN、PQ的间距为L，固定在同一水平面内，直导轨在左端M、P点分别与两条竖直固定、半径为L的14圆弧导轨相切。MP连线与直导轨垂直，其左侧无磁场，右侧存在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场。长为L、质量为m、电阻为R的金属棒ab跨放在两圆弧导轨的最高点。质量为2m、电阻为6R的均匀金属丝制成一个半径为L的圆环，水平放置在两直导轨上，其圆心到两直导轨的距离相等。忽略导轨的电阻、所有摩擦以及金属环的可能形变，金属棒、金属环均与导轨始终接触良好，重力加速度大小为g。现将金属棒ab(1)ab刚越过MP时产生的感应电动势大小；(2)金属环刚开始运动时的加速度大小；(3)为使ab在整个运动过程中不与金属环接触，金属环圆心初始位置到MP的最小距离。答案(1)BL2gL(2)(3)B解析(1)根据题意可知，对金属棒ab由静止释放到刚越过MP过程中，由动能定理有mgL=12m解得v0=2则金属棒ab刚越过MP时产生的感应电动势大小为E=BLv0=BL2(2)根据题意可知，金属环在导轨间两段圆弧并联接入电路中，轨道外侧的两端圆弧金属环被短路，由几何关系可得，每段圆弧的电阻为R0=R可知，整个回路的总电阻为R总=R+R·RR+Rab刚越过MP时，通过金属棒ab的感应电流为I=ER总对金属环由牛顿第二定律有2BL·I2=2解得a=B(3)根据题意，结合上述分析可知，金属环和金属棒ab所受的安培力等大反向，则系统的动量守恒，由于金属环做加速运动，金属棒做减速运动，为使ab在整个运动过程中不与金属环接触，则有当金属棒ab和金属环速度相等时，金属棒ab恰好追上金属环，设此时速度为v，由动量守恒定律有mv0=mv+2mv解得v=13v设经过时间t，金属棒ab与金属环共速，对金属棒ab，由动量定理有-BILt=m·v03-则有BLq=23mv设金属棒运动距离为x1，金属环运动的距离为x2，则有q=BL联立解得Δx=x1-x2=mR则金属环圆心初始位置到MP的最小距离d=L+Δx=B2例2(2025·福建卷·16)光滑斜面倾角θ=30°，Ⅰ区域与Ⅱ区域均存在垂直斜面向外的匀强磁场，两区域中磁感应强度大小相等。正方形线框abcd质量为m，总电阻为R，线框由同种材料制成且粗细均匀，Ⅰ区域沿斜面的宽度为L1，Ⅱ区域沿斜面的宽度为L2，两区域间无磁场区域沿斜面的宽度大于线框的边长。线框从某一位置释放，cd边进入Ⅰ区域时速度大小为v，且直到ab边离开Ⅰ区域时速度大小始终为v，cd边进入Ⅱ区域时的速度和ab边离开Ⅱ区域时的速度一致。已知重力加速度为g。(1)求线框释放时cd边与Ⅰ区域上边缘的距离；(2)求cd边进入Ⅰ区域时cd边两端的电势差；(3)求线框从刚进入Ⅱ区域到完全离开Ⅱ区域过程中克服安培力做功的平均功率。答案(1)v2g(2)34解析(1)设线框释放时cd边与Ⅰ区域上边缘的距离为d，从线框释放到cd边到达Ⅰ区域上边缘过程中，由动能定理得mgdsinθ=12mv2，解得d=(2)因为cd边进入Ⅰ区域时速度大小为v，且直到ab边离开Ⅰ区域时速度大小始终为v，可知线框的边长L=L1，根据平衡条件有mgsinθ=BIL1又E=BL1v，I=Ecd边两端的电势差U=34联立解得U=3(3)①若L2>L1，线框在cd边进入Ⅱ区域到ab边离开Ⅱ区域运动过程中，根据动量定理mgsinθ·t2-2BIL1t3=0根据q=I·Δt=ER·Δt=ΔΦΔtR·Δt即It3=B由(2)知B=mgR联立解得t2=2根据动能定理-W克安+mgsinθ(L2+L1)=0克服安培力做功的平均功率P=W联立解得P=mgv②若L2<L1，同理可得q'=B根据动量定理mgsinθ·t4-2BIL1t5=0其中q'=It5联立解得t4=2根据动能定理-W克安'+mgsinθ(L2+L1)=0克服安培力做功的平均功率P'=W联立解得P'=mgv③若L2=L1，结合上述分析知，线框从刚进入Ⅱ区域到完全离开Ⅱ区域的过程，始终受安培力，可能一直减速，也可能先减速后匀速，则cd边进入区域Ⅱ时的速度与ab边离开区域Ⅱ时的速度不可能一致，故不存在此种情况。例3(2025·山东日照市二模)如图所示，两平行金属导轨固定在水平面上，窄轨M1N1、M2N2之间的距离L1=1m，光滑的宽轨O1P1、O2P2之间的距离L2=2m。窄轨以垂直于轨道的虚线A1A2为分界线，左侧粗糙，右侧光滑。窄轨左侧通过开关S1连接一电容C=0.02F的不带电的电容器(耐压值足够大)。宽轨和窄轨连接处有开关S2，宽轨左侧接有电阻R1=10Ω。质量m=1kg的金属棒ab静止在窄轨上，ab棒到A1A2的距离x=4.5m，与窄轨粗糙部分间的动摩擦因数μ=0.2；质量M=2kg的金属棒cd静止在宽轨上。整个装置处于方向竖直向上、磁感应强度大小B=10T的匀强磁场中。现闭合S1，断开S2，给ab棒施加一与导轨平行、大小为5N的恒力F，当其运动到A1A2时，撤去F，同时断开S1，闭合S2。窄轨和宽轨足够长，ab始终在窄轨上运动，cd棒始终在宽轨上运动。两金属棒在运动过程中始终与导轨垂直且与导轨接触良好，cd棒连入电路中的电阻R2=20Ω，ab棒及导轨电阻均不计。重力加速度g取10m/s2。求：(1)恒力F的作用时间；(2)cd棒从开始运动到匀速的过程中，通过cd棒的电荷量；(3)cd棒从开始运动到匀速的过程中，cd棒中产生的焦耳热。答案(1)3s(2)0.1C(3)1J解析(1)先闭合开关S1，断开开关S2，设金属棒ab在F作用下加速度为a，根据牛顿第二定律可得：F-μmg-BIL1=maI=ΔQΔt=CBL解得a=F-μmgm+CB则金属棒ab在拉力作用下从静止开始做匀加速直线运动，根据x=12at解得t=3s(2)当金属棒ab运动到A1A2处时，其速度为v0，v0=at=3m/s，此时撤去恒力F，同时断开开关S1，闭合开关S2，金属棒ab在安培力作用下向右减速，金属棒cd在安培力作用下向右加速，最终都做匀速直线运动，设金属棒ab、cd匀速直线运动的速度分别为v1、v2，根据动量定理可得：对金属棒ab：-BIL1Δt=mv1-mv0对金属棒cd：BIL2Δt=Mv2对整个闭合电路,ab、cd棒匀速时有