专题六第1讲函数的图象与性质

第1讲函数的图象与性质微点一函数的图象例1(1)(2024·全国甲卷)函数f(x)=-x2+(ex-e-x)sinx在区间[-2.8，2.8]的图象大致为()答案B解析f(-x)=-x2+(e-x-ex)sin(-x)=-x2+(ex-e-x)sinx=f(x)，又函数f(x)的定义域为[-2.8，2.8]，故该函数为偶函数，可排除A，C，又f(1)=-1+e−1esin1>-1+e−1esinπ6=e2-1-1故可排除D.(2)已知函数f(x)=|lnx|,x>0,2x,x≤0,若a<b<c，且f(a)=fA.(0，e] B.(0，e)C.[e，+∞) D.(e，+∞)答案A解析因为f(x)=|当x>0时，f(x)=|lnx|=ln所以f(x)在(1，+∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减，且f

1e=f(e)=1当x≤0时，f(x)=2x，所以f(x)在(-∞，0)上单调递增，且f(0)=1，所以f(x)的图象如图所示，又a<b<c，且f(a)=f(b)=f(c)，不妨令f(a)=f(b)=f(c)=t，结合图象可知，0<t≤1且a≤0<1e≤b<1<c≤e，即0<f(c)≤1所以0<cf(c)≤e，即cf(c)的取值范围为(0，e].[规律方法](1)确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特殊点排除不符合要求的图象.(2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助于函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题.跟踪演练1(1)(2025·天津)已知函数y=f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为()A.f(x)=xB.f(x)=xC.f(x)=xD.f(x)=x答案D解析由题图可知，该函数为偶函数，而函数f(x)=x1−x和函数f(x)=xx−1为奇函数，故又当x∈(0，1)时，1-x2>0，x2-1<0，此时f(x)=x1−x2>0，f(x)=xx2−1<0，由题图可知当x∈(0，1)时，f(x)<0(2)已知a>0，且a≠1，则函数y=logax+A.第一、二象限 B.第一、三象限C.第二、四象限 D.第三、四象限答案D解析当x=0时，y=loga1a=-1，则当0<a<1时，如图1当a>1时，如图2，函数图象经过第一、三、四象限，所以函数y=logax+1微点二函数的性质例2(1)(2025·石家庄模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x1，x2∈(0，+∞)且x1≠x2时，x2f(x1)−x1fA.(-∞，-2025)∪(2025，+∞)B.(-2025，0)∪(2025，+∞)C.(-∞，-2025)∪(0，2025)D.(-2025，0)∪(0，2025)答案B解析当x1，x2∈(0，+∞)且x1≠x2时，x2f即f(x构造函数g(x)=f(x)x，所以函数g(x)在(0又g(-x)=f(−x)−x=f(x)x所以函数g(x)在(-∞，0)上单调递减，因为f(2025)=2025，则g(2025)=f(2025)2025=1，g(-2025)=g(2025因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0.当x=0时，由f(x)-x=f(0)-0=0得，f(x)-x>0无解；当x>0时，由f(x)-x>0得，f(x)x>1，即g(x)>g(2025)，解得x当x<0时，由f(x)-x>0得，f(x)x<1，即g(x)<g(-2025)，解得-2综上所述，不等式f(x)-x>0的解集为(-2025，0)∪(2025，+∞).(2)(多选)(2025·银川模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=-f

x+32，f(-1)=1，f(0)=-2，且A.f(x)为奇函数B.f(x)为偶函数C.f(x)是周期为3的周期函数D.f(0)+f(1)+…+f(30)=-2答案BCD解析对于A，因为f(x)是定义在R上的函数，且f(0)=-2，所以f(x)不是奇函数，故A错误；对于B，因为f

x−34为奇函数，所以f

x−由f(x)=-f

xf

x−34=-f

x所以-f

−x−34即f

−x−34所以f(-x)=f(x)，即f(x)是偶函数，故B正确；对于C，由f(x)=-f

x+32可得，f(x+3)=-f

x+32=f(x)，所以f(对于D，f(2)=f(-2)=f(1)=f(-1)=1，所以f(0)+f(1)+f(2)=0，由周期性可得，f(0)+f(1)+…+f(30)=10[f(0)+f(1)+f(2)]+f(0)=-2，故D正确.[规律方法](1)函数的奇偶性的判断方法有定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数)；函数单调性的判断方法有定义法、图象法、导数法、性质法(在共同的单调区间内，增函数+增函数为增函数等)；函数的单调性和奇偶性的联系密切，涉及比较大小、解不等式、求函数最值(值域)、零点等.(2)函数的周期性和对称性的常用结论①若f(x+a)=-f(x)或f(x+a)=1f②若f(x)的图象关于直线x=a和x=b对称，则f(x)的一个周期为2|a-b|.③若f(x)的图象关于点(a，0)和直线x=b对称，则f(x)的一个周期为4|a-b|.④若函数f(x)满足关系式f(a+x)+f(a-x)=2b，则函数y=f(x)的图象关于点(a，b)对称.⑤若函数f(x)满足关系式f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=a+b跟踪演练2(1)(2025·黄冈模拟)已知函数f(x)=sinx+ex-e-x，若a=f(-2)，b=f

12，c=fA.a<b<c B.a<c<bC.c<b<a D.b<c<a答案A解析由f(x)=sinx+ex-e-x得，f'(x)=cosx+ex+e-x，∵ex+e-x≥2ex·当且仅当ex=e-x，即x=0时等号成立，而cosx∈[-1，1]，∴f'(x)=cosx+ex+e-x>0，即f(x)在R上单调递增，∵-2<12=lne<ln2∴f(-2)<f

12<f(ln2)，即a<b<c(2)(多选)(2025·海口模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(2+x)+f(2-x)=6，函数F(x)=f(1+x)-(1+x)为偶函数，则()A.函数f(x)图象的一个对称中心为(2，3)B.f(0)=2C.函数f(x)为周期函数，且一个周期为4D.f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=14答案AD解析对于A，由f(2+x)+f(2-x)=6知函数f(x)图象的一个对称中心为(2，3)，故A正确；对于B，因为函数f(x)的图象关于点(2，3)对称，则f(2)=3，由函数F(x)=f(1+x)-(1+x)为偶函数，故f(1+x)-(1+x)=f(1-x)-(1-x)，即f(1+x)=f(1-x)+2x，令x=-1，则f(0)=f(2)-2=3-2=1，故B错误；对于C，由函数f(x)图象的一个对称中心为(2，3)，f(0)=1，则f(4)=5，即f(0)≠f(4)，故函数f(x)的周期不是4，故C错误；对于D，由f(2+x)+f(2-x)=6，令x=1，有f(3)+f(1)=6，又f(2)=3，f(4)=5，故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=14，故D正确.微点三三类函数(高斯函数、倍值函数、类周期函数)1.高斯函数y=[x](1)定义：不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，例如，[3.4]=3，[-2.1]=-3，这一规定最早为数学家高斯所使用，故函数y=[x]称为高斯函数，又称取整函数.(2)性质①定义域：R；值域：Z.②不具有单调性、奇偶性、周期性.(3)图象.2.倍值函数对于函数f(x)的定义域为D，若存在区间[a，b]⊆D，当x∈[a，b]时，f(x)的值域为[ka，kb](k>0)，则称函数f(x)为k倍值函数，区间[a，b]称为函数f(x)的“倍值区间”.特别地，当k=1时，函数f(x)称为保值函数.此类问题可转化为对应“不动点”“稳定点”问题，也可以转化为方程同解问题.3.类周期函数“类周期函数”是指函数图象特征与周期函数的图象特征类似的函数.(1)平移型f(x+T)=f(x)+a如图1，f(x)=f(x-2)+1，当0≤x<2时，f(x)=2(1-|1-x|).如图2，f(x)=f(x-2)-1，当0≤x<2时，f(x)=2(1-|1-x|).(2)伸缩型f(x+T)=af(x)如图3，f(x)=12f(x-2)，当0≤x<2时，f(x)=4(1-|1-x|)如图4，f(x)=2f(x-2)，当0≤x<2时，f(x)=1-|1-x|.(3)横纵伸缩型f(kx)=nf(x)如图5，f(x)=2f

12x，当1≤x<2时，f(x)=1-|2如图6，f(x)=12f

12x，当1≤x<2时，f(x)例3(1)高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一.以其名命名的函数f(x)=[x]称为高斯函数，其中x∈R，[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]=3，[-3.14]=-4.则()A.f(x)是奇函数且为增函数B.g(x)=x-[x]的值域为[0，1]且为周期函数C.若f(x)=2，则h(x)=x+32(x−1)D.∀t>0，满足t[f(x)]2+tf(x)≤t2+1的实数x的取值范围是[-2，2]答案C解析对A，f(2)=f(2.1)=2，所以函数f(x)不是增函数，故A错误；对B，当x∈[k，k+1)(k∈Z)时，g(x)=x-[x]=x-k，且g(x)的值域为[0，1)，故B错误；对C，因为f(x)=2，所以x∈[2，3)，h(x)=x+32(x−1)=(x-1)+因为x∈[2，3)，所以x-1∈[1，2)，则(x-1)+32(x−1)+1≥2(x当且仅当x-1=32(x−1)，即x=62对D，∀t>0，满足t[f(x)]2+tf(x)≤t2+1恒成立，等价于∀t>0，[f(x)]2+f(x)≤t2因为t2+1t=t+1t≥2，当且仅当t=1所以[f(x)]2+f(x)≤2，即-2≤f(x)≤1，所以x的取值范围是[-2，2)，故D错误.(2)如果函数y=f(x)在定义域内存在区间[a，b]，使f(x)在[a，b]上的值域是[2a，2b]，那么称f(x)为“倍增函数”，若函数f(x)=ln(ex+m)为“倍增函数”，则实数m的取值范围是()A.−14，+C.(-1，0) D.−答案D解析由于f(x)=ln(ex+m)在定义域上是增函数，根据“倍增函数”的定义可知f(a)=ln(ea+所以m构造函数g(x)=e2x-ex，即g(x)=m有两个解.g'(x)=2e2x-ex=ex(2ex-1)，令g'(x)=0，解得x=-ln2，所以g(x)在区间(-∞，-ln2)上单调递减，在(-ln2，+∞)上单调递增，极小值也即是最小值为g(-ln2)=e-2ln2-e-ln2=14-12=-注意到当x<0时，g(x)=ex(ex-1)<0，g(0)=0，当x>0时，g(x)=ex(ex-1)>0，所以-14<m[规律方法]解决函数新定义问题时需运用所学函数的相关知识和方法理解新定义，将新定义问题转化为已知问题.跟踪演练3(多选)定义：若存在非零常数k，T，使得函数f(x)满足f(x+T)=f(x)+k对定义域内的任意实数x恒成立，则称函数f(x)为“k距周期函数”，其中T称为函数的“类周期”.则()A.一次函数均为“k距周期函数”B.存在某些二次函数为“k距周期函数”C.若“1距周期函数”f(x)的“类周期”为1，且f(1)=1，则f(x)=xD.若g(x)是周期为2的函数，且函数f(x)=x+g(x)在[0，2]上的值域为[0，1]，则函数f(x)=x+g(x)在区间[2n，2n+2](n∈N*)上的值域为[2n，2n+1]答案AD解析设一次函数为f(x)=ax+b(a≠0)，则f(x+T)=a(x+T)+b=ax+b+aT=f(x)+aT，其中k=aT，A正确；设二次函数为f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，f(x+T)=a(x+T)2+b(x+T)+c=ax2+(2aT+b)x+aT2+bT+c，若f(x)是“k距周期函数”，则2aT=0，则T=0，不满足新定义，B错误；设f(x)=x,x∈Q,x+2,x∉Q,则f(x)是“1距周期函数”x∈[2n，2n+2]，则x-2n∈[0，2]，又g(x)=g(x-2n)，则f(x-2n)=x-2n+g(x-2n)∈[0，1]，则f(x)=x+g(x)=(x-2n)+g(x-2n)+2n=f(x-2n)+2n∈[2n，2n+1]，D正确.专题强化练[分值：73分]一、单项选择题(每小题5分，共40分)1.函数y=f(x)的图象与函数y=3x的图象关于直线y=x对称，则f

13+fA.1 B.2 C.3 D.4答案A解析因为函数y=f(x)的图象与函数y=3x的图象关于直线y=x对称，所以f(x)=log3x，所以f

13+f(9)=log313+log2.(2025·全国Ⅰ卷)已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)=5-2x，则f

−3A.-12 B.-14 C.14答案A解析由题意知f(x)=f(-x)，f(x+2)=f(x)对一切x∈R成立，于是f

−34=f

34=f

114=5-2×3.(2025·天津滨海新区模拟)已知a=30.9，b=log29，c=e-ln3，则()A.b>a>c B.b>c>aC.c>a>b D.a>c>b答案A解析由题意得，c=e-ln3=eln13=13<1=30<a=30.9<31=3=log28<log29=b，即c<a<b，故b>4.(2025·北京)在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T=klog2N(单位：小时)，其中k为常数.在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加(单位：小时)()A.2 B.4 C.20 D.40答案B解析设当N取106个单位，1.024×109个单位，4.096×109个单位时所需时间分别为T1，T2，T3，由题意，T1=klog2106=6klog210，T2=klog2(1.024×109)=klog2(210×106)=k(10+6log210)，T3=klog2(4.096×109)=klog2(212×106)=k(12+6log210)，因为T2-T1=k(10+6log210)-6klog210=10k=20，所以k=2，所以T3-T2=k(12+6log210)-k(10+6log210)=2k=4，所以当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加4小时.5.下列可以作为方程x3+y3=4xy的图象的是()答案D解析当x<0时，x3=4xy-y3=y(4x-y2)<0，若y<0，则4x-y2>0，即y2<4x<0，不成立，故x<0，y<0不可能同时成立，故A，B，C错误.6.(2025·石家庄模拟)已知函数g(x)=ax2+bx+a-b，其中a，b为常数，若函数f(x)=1aA.g(x)的图象与坐标轴有三个交点B.g(x)的图象的对称轴在y轴左侧C.关于x的方程g(x)=1有两个不等实根D.g(x)在区间(1，+∞)上单调递增答案D解析函数f(x)的图象在R上为减函数，则0<1a<1，即a>1，又图象经过点(-1，1)，即f(-1)=1a−1−b=1，故得-1-b=0于是g(x)=ax2-x+a+1为开口向上的抛物线，对称轴为直线x=12a，又12a∈由g(x)在12a，+∞上单调递增，得g(x)在区间(1，+令g(x)=ax2-x+a+1=0，因为a>1，所以Δ=1-4a(a+1)<0，所以函数g(x)的图象与x轴没有交点，与y轴有唯一交点，即g(x)的图象与坐标轴只有一个交点，故A错误；对于C，方程g(x)=1即为ax2-x+a=0，又a>1，故Δ=1-4a2<0，所以方程无实数根，故C错误.7.若存在0<a<b使函数f(x)在区间[a，b]上的值域为mb，ma(m>0)，则称函数f(x)为区间[a，b]的“限定函数”，m为函数f(x)的“限定数”.已知定义在R上的奇函数f(x)满足当x<0时，f(x)=-x-2，且f(x)为区间[a，b]的“限定函数”，则“A.0，12C.1，32答案B解析由f(x)是R上的奇函数得f(0)=0，当x>0时，-x<0，∴f(-x)=-(-x)-2=x-2，故f(x)=-f(-x)=-x+2，∴f(x)=−x+2,x>0,0,x=0,−x−2,又存在0<a<b使函数f(x)在[a，b]上的值域为mb∴f(a)=ma，f(b)=m即-a+2=ma，-b+2=m令-z+2=mz，则-z2+2z-m=0在(0，+∞)上有两个不相等的实数根a，b又g(z)=-z2+2z-m的对称轴为直线z=1，故需满足Δ>0,g(0)<0⇒故m的取值范围是(0，1).8.(2025·全国Ⅰ卷)已知2+log2x=3+log3y=5+log5z，则x，y，z的大小关系不可能为()A.x>y>z B.x>z>yC.y>x>z D.y>z>x答案B解析方法一设2+log2x=3+log3y=5+log5z=m，令m=2，则x=1，y=3-1=13，z=5-3=1125，此时x>y>z，令m=5，则x=8，y=9，z=1，此时y>x>z，C有可能；令m=8，则x=26=64，y=35=243，z=53=125，此时y>z>x，D有可能.方法二设2+log2x=3+log3y=5+log5z=t，则x=2t-2，y=3t-3，z=5t-5.当x>y时，2t-2>3t-3，解得t<3ln3−2ln2ln3−ln2<5当z>y时，5t-5>3t-3，解得t>5ln5−3ln3ln5−ln3因此当x>z>y时，t无解，故选B.二、多项选择题(每小题6分，共18分)9.(2022·新高考全国Ⅰ卷)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R，记g(x)=f'(x).若f

32−2x，gA.f(0)=0 B.g−1C.f(-1)=f(4) D.g(-1)=g(2)答案BC解析方法一(转化法)因为f

32−2x，g(所以f

32−2x=即f

32−x=g(2+x)=g(2-x)，所以f(3-x)=f(x)，g(4-x)=g(x)，则f(-1)=f(4)，故C正确；函数f(x)，g(x)的图象分别关于直线x=32，x=2又g(x)=f'(x)，且函数f(x)可导，所以g32=0，g(3-x)=-g(x所以g(4-x)=g(x)=-g(3-x)，所以g(x+2)=-g(x+1)=g(x)，所以g−12=g3g(-1)=g(1)=-g(2)，故B正确，D错误；若函数f(x)满足题设条件，则函数f(x)+C(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定f(0)的函数值，故A错误.方法二(特例法)因为f

32−2x，g(2+x)均为偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x=32对称，函数g(x)的图象关于直线x=2对称.取符合题意的一个函数f(x)=1(x∈R)，则f(0)取符合题意的一个函数f(x)=sinπx，则f'(x)=πcosπx，即g(x)=πcosπx，所以g(-1)=πcos(-π)=-π，g(2)=πcos2π=π，所以g(-1)≠g(2)，排除D.故选BC.10.(2025·白银模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(-x)+f(x+2)=6，且∀t≠0，tf(x+t)-tf(x)<0，则下列说法正确的是()A.函数y=f(x+1)-3为偶函数B.函数f(x)为减函数C.函数f(x)的图象关于点(1，3)中心对称D.f(3x-2)-3>0的解集为(1，+∞)答案BC解析因为f(-x)+f(x+2)=6，所以f(-x+1)-3=-[f(x+1)-3]，所以函数y=f(x+1)-3为奇函数，函数f(x)的图象关于点(1，3)中心对称，故A错误，C正确；因为∀t≠0，tf(x+t)-tf(x)<0，即t[f(x+t)-f(x)]<0，当t>0时，f(x+t)<f(x)，当t<0时，f(x+t)>f(x)，所以函数f(x)为减函数，故B正确；令x=-1，则f(1)+f(-1+2)=6，所以f(1)=3，则f(3x-2)-3>0等价于f(3x-2)>f(1)，因为函数f(x)为减函数，所以3x-2<1，即x<1，故f(3x-2)-3>0的解集为(-∞，1)，故D错误.11.设函数y=f(x)的定义域为R，如果存在常数T(T≠0)，对于任意x∈R，都有f(x+T)=T·f(x)，则称函数y=f(x)是“类周期函数”，T为函数y=f(x)的“类周期”.现有下面四个命题，正确的是()A.函数f(x)=3-x是“类周期函数”B.函数f(x)=x3是“类周期函数”C.如果函数f(x)=cosωx是“类周期函数”，那么“ω=kπ，k∈Z”D.如果“类周期函数”y=f(x)的“类周期”为-1，那么它是周期为2的周期函数答案ACD解析对于A，若函数f(x)=3-x是“类周期函数”，则存在非零常数T，使f(x+T)=T·f(x)，即3-x-T=T·3-x，即(T-3-T)·3-x=0，即T-3-T=0，令g(T)=T-3-T，因为g(0)=0-1=-1<0，g(1)=1-13=23>0，且函数g(T)在(0，所以函数g(T)=T-3-T在(0，1)上存在零点，即方程T-3-T=0在(0，1)上有解，即存在常数T(T≠0)，对于任意x∈R，都有f(x+T)=T·f(x)，所以函数f(x)=3-x是“类周期函数”，故A正确；对于B，若函数f(x)=x3是“类周期函数”，则存在非零常数T，使f(x+T)=T·f(x)，即(x+T)3=T·x3，则T=(x即3T=x+Tx=1+则T=0，矛盾，所以不存在常数T(T≠0)，对于任意x∈R，都有f(x+T)=T·f(x)，所以函数f(x)=x3不是“类周期函数”，故B错误；对于C，若函数f(x)=cosωx是“类