浙教版八年级数学下册基础知识专项讲练 专题627 反比例函数（最值问题）（专项练习）

专题6.27反比例函数（最值问题）（巩固篇）（专项练习）

反比例函数中最值问题主要包括两方面内容：一个是利用反比例函数的增减

性求最值；另一个是利用几何最短路径（垂线段最短、两点之间线段最短）求最

值问题，还有就是利用非负性求最值，本专题以基础、巩固、培优三个梯度精选

了部分最值问题供大家选择使用。

一、单选题

1.设函数、/=&，V2=~—（k>0）.当・3幺4・2时，力的最大值为小的最小值为。+2,则实数a

xx

与K的值为（）

A.a=3,k=lB.a=-1,k=-1C.a=3,k=3D.a=-1,k=3

2.如图.在平面百角坐标系中,反比例函数尸勺x>0）的图象与功长是8的正方形0A4C的两动AB.

8c分别相交于M,N两点，△OMN的面积为7.5.若动点。在工轴上，则PM+PN的最小值是（）

A.15B.7226C.7224D.10

3.如图，RSA3C位于第一象限，48=2,AC=2,直角顶点A在直线上，其中点八的横坐标为

1,且两条直角边A&AC分别平行于x轴、y轴，若函数y=人（女工0）的图象与“5C有交点，则我的最大

4.如图，点4（%,y）,8（毛,为）分别是反比例函数y=&与），2=区在第一象限图象上的动点.①内

X工

②当y=当时，事>M；③氯城的面积可能是幺/；④0A+08的最小值为疯+辰'.以上结论

中正确的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

5.已知反比例函数），=若"5,则函数V有（）

x

A.最大值1B.最小值1C.最大值0D.最小值0

6.如图，点A（a,1）,B（b,3）都在双曲线y=-2上，点P,Q分别是x轴，y轴上的动点，则四

x

边形ABQP周长的最小值为（）

C.2V10+2x/2D,8&

7.已知反比例函数_），=!々工0）,当—24x«—1时，了的最大值是3,则当xN6时，了有（）

x

A.最大值-3B.最大值-1C.最小值-3D.最小值-1

2

8.如图所示，已知A（1,w）,B（2,>'2）为反比例函数）：二一图象上的两点，动点P（x,0）在x轴

X

正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大值时，点尸的坐标是（）

755

A.(3,0)B.(-,0)C.(-,0)D.(-,0)

232

4

9.在平面直角坐标系xOy中，直线），=履与双曲线），=一的图象交于A,8两点，点P在x轴的正半轴

x

上，若附团PB,则0尸的最小值是（）

A.4B.2C.472D.2及

10.如图，40,1）,4（1,5）曲线8c是双曲线），=&饮工0）的一部分.曲线A8与8c组成图形G.由点C

x

开始不断重复图形G形成一条“波浪线”.若点尸（2025,〃。，。（皿。在该“波浪线上，则机的值及〃的最大值

为（）

A.〃?=1,n=\B.，〃=5,n=\C.in—1,〃=5D./〃=1,n=4

二、填空题

11.如图，一次函数y=6x与反比例函数），=七（％>0）的图象交于点4,B两点，点C在X轴上运动,

X

连接AG点Q为AC中点，若点C运动过程中，。。的最小值为2,则攵=.

12.如图，已知点&〃?，川+1>即屋+3,"L1）都在反比例函数），="。>0）的图象上.将线段A8沿直线

x

y+b进行对折得到线段A4,且点A始终在直线04上.当线段A4与X轴有交点时，力的取值的最

大值是一.

13.设函数）1=",y2=—[k>0）,当2WxW3时，函数,的最大值为〃，函数为的最小值为〃-4,

xx

则”.

14.如图，矩形O43C的面积为4,反比例函数），=A的图象与矩形的两边48、8C分别交于点£、F,

x

则四边形。八石尸的面积最大值为.

15.观察理解：当。＞0,b＞0时，（八一6）22（）,回〃-2疝+20,由此可得结论：a+bN2M.即

对干正数mb,当且仅当a=b时，代数式〃+/）取得最小值2，记.

4

问题解决：如图，已知点P是反比例函数＞=一（x＞0）图象上一动点，4（7,1）,则回尸Q4的面积

x

16.如图，在平面直角线坐标系中，点A,B在反比例函数y=°的图象上运动，且始终保持线段

x

AB则线段O历的长度最小值是,

7

17.已知直线），="（。＞0）与双曲线），='相交于点P（%,y）,Q（2,%）,则中2+2%的最大值是

18.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数），==丫＞0）的图象与边长是3的正方形OA8C的两边

X

8C分别相交于。，E两点，a。/犯的面积为I",若动点尸在）'袖上，则+总的最小值是

三、解答题

19.如图1,木匠陈师傅现有一块五边形正D木板，它是矩形A8C。木板用去△C"'后的余料，AD=4,

AB=5,DE=\,尸是8c边上一点.陈师傅打算利用该余料截取一块矩形材料，其中一条边在4。上.

（1）［初步探究］

当用7=2时.

①若截取的矩形有一边是DE,则截取的矩形面积的最大值是：

②若截取的矩形有一边是BF,则截取的矩形面积的最大值是；

（2）［问题解决］

如图2,陈师傅还有另一块余料，NBAF=4FE=90。,AB=EF=\,CD=3,AF=8,CD//AFf

且。。和4••之间的距离为4,若以"•所在直线为x轴，4,中点为原点构建直角坐标系，则曲线。上是反比

例函数），二&图象的一部分，陈师傅想利用该余料截取一块矩形MNG”材料，其中一条边在川上，所截矩

x

形MNGH材料面积是:.求GN的长.

6

20.如图，一次函数）=尔+〃（"?。0）的图象与反比例函数），=：（左00）的图象交于第二、四象限内的

点A（a,3）和点8（6,〃）.过点A作x轴的垂线，垂足为点C,»线的面积为3

（1）分别求出一次函数），=如+〃（/力0）与反比例函数），="（女/0）的表达式；

k

（2）结合图象直接写出根v+〃＞［的解集；

⑶在X轴正半轴上取点使以取得最大值时，求出点P的坐标.

21.如图，在平面直角坐标系中，一次函数）-3+6的图象经过点A（0，-4）,网2,0）,交反比例函数y

=T（x>0）的图象于点C（3,。），点P在反比例函数的图象上，横坐标为〃（0<〃<3），?。||），轴交直线于

点2,。是y轴上任意一点，连接P。、QD.

（1）求一次函数和反比例函数的表达式;

（2）求4。。。面积的最大值.

22.阅读与思考

卜面是小米同学的数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务.

如果a>0,b>Ot那么（"一"）"°,即4+〃一2疝NO,得a+bN2瓢,即2而是。+〃的最小

值，当〃=力时，等号成立.

1

HI+--

例题：当机>0时，求相的最小值.

》=_!_y_ni+—>2.lmx—

解：令a=〃?，m,由得mV川，

m+—>2

0，〃，

1

mT—

故当〃?=1时，/〃有最小值2.

任务：

A

⑴填空：已知x>0,只有当x=时，x+2有最小值，最小值为.

X

⑵如图，。为双曲线y=?x>0）上的一点，过点尸作PCJ_x轴于点C,P。，'轴于点。.求PC+PD

的最小值.

23.某企业生产一种必需商品，经过长期市场调查后发现：商品的月总产量稳定在600件.商品的月

销量Q（件）由基本销售量与浮动销售量两个部分组成，其中基本销售量保持不变，浮动销售量与售价工（元

/件）（x<10）成反比例,且可以得到如下信息:

售价「（元/件）58

商品的销售量Q（件）580400

⑴求。与x的函数关系式.

⑵若生产出的商品正好销完，求售价元

⑶求售价x为多少时，月销售额最大，最大值是多少？

24.如图1,矩形0ABe的顶点A、C分别落在x轴、丁轴的正半轴上，点3(4,3),反比例函数尸勺x>0)

的图象与AB、8c分别交于。、E两点，AO=1,点尸是线段。4上一动点.

(1)求反比例函数关系式和点E的坐标；

(2)如图2,连接PE、PD,求PD+依的最小值；

⑶如图3,当NPZM=45。时，求线段OP的长.

参考答案

1.D

【分析】先利用反比例函数的增减性分别用含攵的代数式表示》的最大值，”的最小值，再解方程组

即可.

解：:函数)，/='当-3W2时，W的最大值为a,

x

当X二一3时，)1最大，此时。=一号，

••,»=--0>0),”的最小值为〃+2,

x

，当工=一3时，力最小，此时。+2=§,

.・，+2='解得：k=3,

33

3

/.a=—=-1,

3

故选D

【点拨】本题考查的是反比例函数的性质，掌握反比例函数的增减性是解本题的关键.

2.B

【分析】作点M关于X轴的对称点AT,连接MN,与X轴为交点为P,此时PM+PN的值最小，根据

正方形的边长为8,表示出M,N点坐标，再根据(30MN的面积即可求出&的值，进•步求HIM,MM'

的坐标，即可求出PM+PN的最小值MN的值.

解：如图，作NEJLr轴交于点尸，作点M关于x轴的对称点M',连接MN,与x轴的交点为P,

此时PM+PN的值最小，

N在反比例函数图象上,

8

==

缶S^OEN2^1S&ORM»

回S7)FN=S四边形AEF”，

==

taS^oMNS2)FN+S4FMNSpq边形八£行“十^AFA/A,

回S^OMN=S梯形AEMW=式8R产京尸5,

28

解得：k=56,

0M(8,7),N(7,8),

团”(8,-7),

&MN=J(7-81+(8+7f=后^,

即PM+PN的最小值为后

故选：B.

【点拨】本题考查了反比例函数与正方形的综合，根据正方形的性质以及反比例函数图象上点的特征

求出点M和N的坐标是解决本题的关键.

3.B

【分析】设直线尸x与8C交于E点，分别过A,E两点作x轴的垂线，垂足为。，F,EF交AB于M,

求出A,E点坐标，即可求出k的取值范围，进一步可知k的最大值.

解：如图，设直线.产x与BC交于E点，分别过A.E两点作x轴的垂线，垂足为Q,F,EF交AB于M,

(M点的横坐标为1,A点在直线"X上，

04(14),

又0A8=AC=2,轴，AC||y轴，

05(3,1),C(l,3),且4WC为等腰直角三角形，

8C的中点坐标为(U，F)，

即为(2,2),

团点(2,2)满足直线尸心

回点(2,2)即为E点坐标，E点坐标为(2,2),

I3k=ODxAD=l,或k=0FxEF=4,

当双曲线与财BC有交点时，1回她14,即A的最大值为：4

故选：B

【点拨】本题考查一次函数与双曲线函数的综合，等腰直角三角形性质，中点坐标表示方法，解题的

关键是求出£点坐标为(2,2),利用点4£坐标求出〃的取值范围.

4.A

【分析】由图象可直接判断①：当时，作出图形，可直接判断②；在②的基础上可得出AOAB

的面积，进而可判断③；当0A+4B最小时，需要。4最小且0B最小时取得，只需要分别求出。4和OB

的最小值即可判断④.

解：当x/=X2=l时，yi=ki,y2=fo,显然”>w，则42>k/.故①正确；

k,k

当y/=y2时，X2=—,xi=—,由依>心可得X2>X/.故②正确；

当w=”时，如图所示，此时△QW的面积可能是与区,故③正确；

当QA+AB最小时，需要0A最小且08最小时取得，

设点A的坐标为（"?,〃），

团。入2=nJ2-|-n2>2mn=2kI,

当且仅当m=n时，0A有最小值,

同理可得。B有最小值底，

（304+08的最小值为疯+同，故④正确.

综上可得，正确的有：①②③④，共4个，

故选：A.

【点拨】本题主要考查反比例函数中4的几何意义，关键是知道当0A+AB最小时，需要0A最小且

08最小时取得.

5.A

【分析】利用反比例函数的性质，由x的取值范围并结合反比例函数的性质解答即可.

解：瞅=5>0,

回在每个象限内y随x的增大而减小，

又团当x=5时，y=l,

但当x>5时，y<l；

团函数）'有最大值1

故选：A.

【点拨】本题主要考查反比例函数的性质，当k>0时，在每一个象限内，），随x的增大而减小；当我

V。时，在每一个象限，y随x的增大而增大.

6.B

【分析】先把A点和B点的坐标代入反比例函数解析式中，求出a与b的值，确定出A与B坐标，再

作A点关于x轴的对称点D,B点关于y轴的对称点C,根据对称的性质得到C点坐标为（1,3）,D点坐标

为（-3,-1）,CD分别交x轴、y轴于P点、Q点，根据两点之间线段最短得此时四边形ABPQ的周长最小,

然后利用两点间的距离公式求解可得.

3

解：团点A（a,1）,B（b,3）都在双曲线y=-，上，

0axl=3b=-3»

0a=-3,b=-l»

0A(-3,1),B(-1,3),

作A点关于x轴的对称点D1-3,-1),B点关于y轴的对称点C(1,3),连接CD,分别交x轴、y轴

于P点、Q点，此时四边形ABPQ的周长最小，

0QB=QC,PA=PD,

回四边形ABPQ周长=AB+BQ+PQ+PA=AB+CD,

.AB=«-3++(I—3]=20,6="(1+3尸+(3+1)2=46,

自四边形ABPQ周长最小值为2拒+4夜=6&,

故选：B.

【点拨】此题考查反比例函数的综合题，勾股定理，掌握反比例函数图象上点的坐标特征、热练运用

两点之间线段最短解决有关几何图形周长最短的问题是解题的关键.

7.C

【分析】由函数经过第二象限，可确定左＜0,则在-2领k-1上，)，值随工值的增大而增大，即可确定

3

函数的解析式为)，=-一，由此可求解.

x

解：EI当-2^1卜-1时，y的最大值是3.

(3反比例函数经过第二象限，

瞅V0,

团在-2效k-1上，y值随x值的增大而增大，

(3当犬=一1时，y有最大值一片

切的最大值是3,

团一k=3,

瞅二一3,

3

By=—,

x

当x.6时，y=有最小值

x2

故选：C.

【点拨】本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握反比例函数的图象及性质，通过所给条件确定A

<c是解题的关键.

8.A

思路引领：求出A、B的坐标，设直线A8的解析式是)，=履+4把A、B的坐标代入求出直线4B的解

析式，根据三角形的三边关系定理得出在中，\AP-BP\<AB,延长AB交x轴于产，当P在产点时,

PA-PB=AB,此时线段AP与线段BP之差达到最大，求出直线/W于x轴的交点坐标即可.

2

解：回把人(1,)"),B(2,丫2)代入反比例函数产一得；y/—2,”一1，

x

财(1,2),B(2,1),

自在国48P中，由三角形的三边关系定理得：\AP-BP\<AB,

自延长A8交x轴于P,当P在产点时，PA-PB=AB,

即此时线段AP与线段8P之差达到最大，

设直线AB的解析式是y=kx^b,

任+b=2

把4、8的坐标代入得：匕八「

22+〃=1

解得：k=-1,b=3,

回直线AB的解析式是y=-x+3,

当y=0时，x=3,

即P(3,0).

故选：A.

【分析】由图象的对称性可得。4=04,从而可得OP=OA,设点A坐标为(孙进而求解.

解:如图,

：.OA=OB,即点。为AB中点,

\-PALPB.

•••在R/AAP8中，OP=^AB=OA,

设点A坐标为(〃?,3),则OP=OA=

+8,

.•.当加=±,即帆=2时，OP取最小值为2拒.

nt

故选：D.

【点拨】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题,解题关键是掌握反比例函数的性质，掌握函数

与方程的关系，掌握直角三角形斜边中线长度等于斜边的一半.

10.C

【分析】根据题意利用点B的坐标可以求女的值，然后根据图象可知每5个单位长度为一个循环，从

而可以求得/〃的值和〃的最大值.

解：团点4（1,5）在双曲线），=«（攵工0）的图象上,

x

（34=5,

回40,1）,曲线A8与8c组成图形G.由点。开始不断重复图形G形成一线"波浪线”.

回。的纵坐标为1,

13点C在），=3伏工。）的图象上，点C的纵坐标为1,

x

（3点C的横坐标是5,

回点C的坐标为（5,1）,

E2025-5=405.

国尸(2025,刈中/〃=1,

(3。(％〃)在该“波浪线〃上,

用结合图象，可知〃的最大值是5.

综上所述，〃?=1,n=5.

故选：C.

【点拨】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思

想解答.

11.»

3

【分析】如图(见分析)，先根据一次函数与反比例函数的中质可得点O是的中点，再根据三角形

中侍线定理可得OQ=gBC,从而可得5。的最小值为4.然后根据垂线段最短可得当轴时,BC取

得最小值，从而可得此时点8的纵坐标为-4,最后代入一次函数的解析式可得点3的坐标，将其代入反比

例函数的解析式即可得.

解：如图，连接3C,

由题意得：点。是A8FJ中点，

•••点。为AC的中点，

•••。。是的中位线，

:.OQ=^BC,

点、c运动过程中，OQ的最小值为2,

•・•点C运动过程中，〃。的最小值为4,

由垂线段最短得：当8C_Lx轴时，8c取得最小值,

，此时点8的纵坐标为-4,

2

将y=-4代入一次函数y=6x得：6x=-4,解得“=-(，

2

即倒_4),

将3(1-4)代入反比例函数y」得：^=~|x(-4)=1,

3x33

故答案为：

【点拨】本题考查了一次函数与反比例函数的综合、三角形中位线定理等知识点，熟练掌握反比例函

数的性质是解题关键.

12..

16

【分析】由题可得〃？(〃?+1)=(m+3)(w-1),解这个方程求出血的值,由于点4关于直线尸得+6的

对称点点4始终在直线0A上，因此直线尸心一+力必与直线04垂直，只需考虑两个临界位置(4/在x轴上、

8/在x轴上)对应的人的值，就可以求出匕的取值范围，再确定b的最大值.

I

解：0点AUn,m+1),B(〃汁3,川-1)都在反比例函数y=—的图象上.

0/w(zn+1)=(m+3)(m-1).

解得：m=3.

①当点8/落到x轴上时，如图1,

v=kx-b

图1

设直线0A的解析式为广公,

胤点A的坐标为(3,4),

4

03«=4,即。=—.

回直线04的解析式为

(3点A/始终在直线。4上,

田直线y=k.x+b与直线0A垂直.

4,

3

3

□^=—.

4

回直线y=--x+b,

4

4

由于翘。八,可设直线84解析式为y=-x+c.

回点B的坐标为（6,2）,

4

0yx6+c=2,即c--6.

4

团直线33/解析式为V=yx-6.

4Q

当产。时，-x-6=0.则有后一.

32

9

回点8/的坐标为（另，0）.

团点C是48/的中点，

9

0点C的坐标为（”受，一）即（?，】）•

3

0点C在直线产-1卢方上,

「321…

□一一X—+/7=1.

44

解得：/六79?.

16

3

0D(-,2).

3

①点。在直线产〃上，

33

0—x-+b=2.

42

25

解得：b=—.

O

?579

综上所述：当线段4B/与x轴有交点时，则〃的取值范围为

o16

力的取值的最大值是?79，

16

79

故答案为：77.

16

【点拨】本题考杳了反比例函数图象上点的坐标特征，中点坐标公式待定系数法求一次函数解析式，等

知识，利用线段A/B/与4轴有交点时，分类讨论A/、助在x轴上的思想方法，是一道好题.

13.2

【分析】首先根据h与x的取值分析函数》="，»=-K(k>())的增减性，根据增减性确定最值，进

XX

而求解.

解：瞅>0,2<v<3,

国力随工的增大而减小，丁2随x的增大而增大，

团当尸2时，v取最大值，最大值为，=。①；

当X—2时，”取最小值,最小值为-与一〃-4②；

由①②得a=2,k=4,

故答案为：2.

【点拨】本题考查了反比例函数的性质，关键是能根据反比例函数的增减性确定最值.

5

14.-

2

【分析】设3(小b),则。加4,根据反比例函数图象上点的坐标特征可得£点，”点的坐标，进而可

得关8尸长度的代数式，根据三角形的面积公式，以及反比例函数系数k的几何意义，得到关于四边

形04EF的面积的代数式，利用二次函数的最值求解即可.

解：设6(”，〃)，则心4,E(1,b),F(a,-),

ba

7

则四边形OAE7的面积为：S矩形八他.-S^OCF-S4BEF

=--(A-2)2+-,

8Vf2

故当女=2时，四边形OAE/7的面积最大，最大面积为：|.

故答案为：

【点拨】本题考查反比例函数，以及反比例函数的系数&的几何意义，熟练掌握数形结合思想是解决本

题的关键.

15.2

【分析】将回POA的面积表示出来，再结合材料所给的信息，即可求解.

解：过点P作y轴的垂线，与过点A作的工轴的垂线交于点8,过点A作x轴的垂线交x轴于点C,过

点P作x轴的垂线交x轴于点Z）,如图，

>

c\O\\DX

4

13点P是反比例函数y=一（A>0）图象上・动点，

X

4

设点尸（心一），其中〃>0,

a

（3A（-1,1）,

44

eBP=a+l,AB=一一1,BC=PD=-,4C==CO=l,OD=a,

aa

回SNOA=S海的BCDP~S4ABp-S4KCO~L.DOP

=BP-BC--ABBP--ACCO--OD-PD

222

414114

=（4+1）-----（一一1）（"+1）——xlxl一一a•一

a2a22a

2a

丁屋

2—>0»—>0,

a2

@-+->2./^=2,

a2\a2

la对于正数2,三，当且仅当2=三时，代数式取得最小值为2.

a2a2a2

(30POA的面积的最小值为2.

故答案为：2.

【点拨】本题考杳了反比例函数与三角形面积的综合应用，解题的关键是读懂材料.

16.3亚

【分析】如图，当时，线段长度的最小.首先证明点A与点/，关于直线¥=八对称，因为

点A,B在反比例函数y=2的图象上，AB=46，所以可以假设小向一，则B机+4,-—4,则

(〃?+4哈-4)=5,整理得5=4+4〃?，推出A(l,5),8(5,1),可得M(3,3),求出OW即可解决问题.

解：如图，因为反比例函数关于直线),=x对称，观察图象可知：当线段AB与直线)'二1垂直时，垂足

为M,此时=OM的值最小，

团〃为线段A8的中点，

^OA=OB,

缶点4,8在反比例函数)，=°的图象上，

x

回点A与点8关于直线)，=不对称，

田A8=4夜，

另设人(〃?,二)，则B(/〃+4,二—4),

0(7«+4)|<--4=5,

整理得5=m~+4〃z，

解得：〃7=1(负值舍去)，

0>4(1,5),5(5,1),

团”(3,3),

回OM=3夜,

回线段OM的最小值为3拒.

故答案为：3五.

【点拨】本题主要考查了反比例函数的综合，勾股定理，垂直平分线的性质，轴对称性质，判断QW取

得最小值时A,8两点的位置，熟练掌握对称两点坐标的设法，函数解析式代入求值，由坐标计算线段长度

的方法是解题的关键.

17.1

【分析】由题意易得耳=一X2，贝IJ有不工2+2$=-工；+2E=-(3-1『+1,然后问题可求解.

解:由直线产⑪与双曲线"I相交于点尸(百，2，。(孙丹)可得:工―

A

2

2

0xix24-2x,=-%1+2x(=-(xt-1)~+1,

0-(%,-I)2<0

ta当x=i时,-(百-ip+i有最大值,最大值为i：

故答案为L

【点拨】本题主要考查反比例函数及配方法求最值，熟练掌握反比例函数及完全平方公式进行变形是

解题的关键.

18.V26

【分析】由正方形Q48C的边长是3,得到点。的横坐标和点£的纵坐标为6,求得。’3,1),

根据三角形的面积列方程得到八(3,2),E(2,3),作E关于〉，轴的对称点9，连接EN>交,、轴于P,则£7)的

长=灯)+庄的最小值，根据勾股定理即可得到结论.

解：回正方形048。的边长是3,

(3点D的横坐标和点E的纵坐标为3,

四尚E加，

回8£=3-&,BD=3--,

33

EAODE的面积为羡，

ha1々％11k1八女Y5

03x3--x3x----x3x----x3---=—>

23232V3J2

团&=6或-6（舍去），

由0（3,2）,£（2,3）,

作E关广y轴的对称点£,连接£。交），轴「则£。的长=PD+PE的最小值,

住BE=5,80=1,

©DEuy/BE'BD2=J5?+F=底,

故答案为：\/26.

【点拨】本题考查了反比例函数的系数左的几何意义，轴对称-最小距离问题，勾股定理，正方形的性

质，正确的作出图形是解题的关键.

19.⑴①4；②10；⑵g

【分析1（1）①当OE为矩形一条边，A。为矩形另一条边时，截取的矩形面积的最大；

②当所为矩形一条边，A3为矩形另一条边时，截取的矩形面积的最大；

（2）由题意可知4（-4,0）,*4,0）,8（T1）,E（4,l）,再由七点在函数），=：图象上，求出反比例函

数的解析式为再求点。（L4）,C（-Z4）,用待定系数法求出直线BC的解析式，设则

（214、（4214、73

H-r―,再由方程5=/=-,求出，的值即可求GN的长.

\3J/\tJJo

（1）解：①当OE为矩形一条边，4D为矩形另一条边时，截取的矩形面积的最大，

•.•4?=4,DE=\,

.-.S=4xl=4,

截取的矩形面积的最大值4：

故答案为：4；

②当防为矩形一条边，人4为矩形另一条边时，截取的矩形面积的最大,

\-AB=5,BF=2,

.-.5=5x2=10,

，械取的矩形面积的最大值10；

故答案为：10；

（2）解：vAF=8,

••.A（Y,0）,尸（4,0）,

-：AB=EF=\,

.•.8（-41），E（4J）,

•.•E点在函数），=《图象上，

x

:.k=4,

4

・••反比例函数的解析式为丁二一，

X

•.•8和AF之间的距离为4,CD//AF,

・・.拉（1,4）,

•.。=3,

/.C（-2,4）,

设直线8C的解析式为产网+3

-4kr+b=\

••1-21+方=4'

解得｛2,

b=l

3个

y=—x+7,

2

设*f44、则(*2"14R

7

解得I4,

7

.,.GMKJ长为a.

【点拨】本题考查了反比例函数的图象及性质，矩形的性质，矩形的面积，熟练掌握知识点是解题的

关键.

20.⑴反比例函数的表达式为一次函数表达式为y=-1x+2：⑵x<—2或0Vx<6；（3）

x2

P（l0,0）

【分析】（1）由“OC的面积为3,可求出a的值，确定反比例函数的关系式，把点8坐标代入可求》

的值.

（2）结合图像观察，求•次函数图像位于反比例函数图像的下方时，自变量x的取值范围即可.

（3）作对称点3关于x的对称点8',直线A9与x轴交点就是所求的点求出直线与x轴的交点坐

标即可.

（1）解：根据题意，AC=3,

,­,S"=3，

OC=2,

结合图形，可得A（-2,3）,

将A（—2,3）代入）=&得〃=-6,

X

反比例函数的表达式为），=-2.

X

把8（6力）代入反比例函数得方=・1,

・•・8（6,-1）,

将人（-2,3）和8（6,7）代入严心+，〃解得：m=2,k=；

二•一次函数表达式为y=-gx+2.

k

（2）由图象可以看出的"优+〃>一解集为xv-2或0<xv6.

（3）解：如图，作点3关于x轴的对称点连接色与工轴交于P,此时最大.

VB（6,-l）,

夕（6,1）,

设直线4P的关系式为）=依+。'，将A（-2,3）,8'（6,1）代入,

解得〃=一;，〃'=■!，

直线AP的关系式为y=-%+|，

当产。时，解得K=10，

.•・P（10,0）.

【点拨】本题考查反比例函数的图像和性质、一次函数、轴对称以及待定系数法求函数关系式等知识，

理解轴对称知识作图是解题的关键.

21.（l）y=2x-4；y=-；（2）4

x

【分析】（1）利用点A（0,-4）、3（2,0）求解一次函数的解析式，再求C的坐标，再求反比例函数解析

式；

（2）设则Q（〃⑵7-4）,再表示尸。的长度，列出三角形面积厉〃的函数关系式，利用函数的

性质可得答案.

（1）解：把4（0，-4）、*2,0）代入一次函数产辰+〃得:

//=-4k=2

解得：

2&+Q0b=-4

自•次函数的关系式为y=2x-4,

回把C（3,。）代入得a=2,

创各。（3,2乂弋入y=七得攵=3x2=6,

0y=-；

X

(2)团点夕在反比例函数的图象上，点。在一次函数的图象上,0V〃<3,

回点点Q(〃,2〃一4),

回PQ=——(2/?-4),

n

13s少也畲-(2〃-4)甘=-/+2〃+3=・(〃-+4,

0-KO,

13当〃=1时，S』]叱大=4,

所以，VQPQ面枳的最大值是4.

【点拨】本题考查反比例函数、一次函数的解析式，将面积用函数的数学模型表示出来，利用函数的

最值求解是解决问题的基本思路.

22.(1)2,4；(2)2>76

【分析】(1)利用阅读材料的结论、并仿照阅读材料的例题解答即可；