人教高中数学A版必修二《向量的数量积 第2课时》

人教高中数学A版必修二《向量的数量积

第2课时》主讲人：wt回顾:向量a与b的数量积的含义是什么？向量的数量积具有哪些运算性质？

a·b=|a||b|cosθ，其中θ为向量a与b的夹角．设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量,则(1)

a·e=e·a

=|a|cosθ．(2)a⊥b⟺a·b=0．(3)当a与b同向时，a·b=|a||b|；当a与b反向时，a·b=-|a||b|．

特别地，a·a=|a|2或|a|=．(4)|a·b|≤|a||b|．（由|cosθ|≤1得到）复习引入探究：类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算律，你能得到数量积的哪些运算律？(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；a·(b·c)＝(a·b)·c；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.(1)λ(μa)＝(λμ)a；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.以上猜想对吗？如何证明？交换律、结合律、分配律一、呈现背景提出问题(1)a·b＝b·a二、分析联想寻求方法(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)二、分析联想寻求方法思考：a·(b·c)＝(a·b)·c成立吗？(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线．因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立．二、分析联想寻求方法(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c与c方向相同的单位向量为e二、分析联想寻求方法向量数量积的运算律：(1)a·b＝b·a(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c（分配律）（交换律）（数乘结合律）三、猜想验证得出结论例1：我们知道，对任意，恒有对任意向量，是否也有下面类似的结论？（1）(a+b)2

（2）(a+b)·(a-b)

解：

=a·(a+b)+b·(a+b)

=(a+b)·(a+b)

=a·a+a·b+b·a+b·b=a2+2a·b+b2；=a·(a-b)+b·(a-b)=a2-b2．=a·a-a·b+b·a-b·b

三、猜想验证得出结论例题2：已知|a|=6，|b|=4，a与b的夹角，求.解：(a+2b)·(a-3b)

=a·(a-3b)+2b·(a-3b)

=|a|2-|a||b|cos

-6|b|2=62-6×4×cos60º-6×42=-72．

=a·a-3a·b+2b·a-6b·b=|a|2-a·b-6|b|2四、运用新知巩固内化例题3：已知|a|=3，|b|=4，且a与b不共线.当为何值时，向量

互相垂直？则a+kb与a-kb互相垂直的充要条件是

(a+kb)·(a-kb)=0，解：依题，a+kb与a-kb不共线，

即a2-k2b2=0．

因为a2=32=9，b2=42=16，所以

9-16k2=0．

因此

k=．

也就是说，当k=

时，a+kb与a-kb互相垂直．四、运用新知巩固内化(1)a·b＝b·a(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c1.向量的数量积运算律是怎样的？2.类比实数中的结论，数量积是否有相似的结论呢？比

如消去律等？（分配律）（交换律）（数乘结合律）五、回顾反思拓展问题感谢观看202X/01/01汇报人：WPSPPT模板：/moban/

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