2025-2026学年北京市朝阳区高三数学高考三模模拟试卷（含答案详解与评分标准）

2025-2026学年北京市朝阳区高三数学高考三模模拟试卷（含答案详解与评分标准）学校：____________班级：____________姓名：____________考号：____________考试时间：120分钟满分：150分题型选择题填空题解答题合计题量106622分值3018102150注意事项：1．本卷为2025-2026学年高三数学高考三模考前综合检测卷，重点考查阶段复习效果、核心方法掌握情况和临场解题规范。2．答题前请在指定位置填写学校、班级、姓名和考号；客观题答案应清楚填写，主观题须写出必要的推理过程。3．作答时应保持卷面整洁，使用规范数学符号；解答题评分以主要步骤、关键结论和最终结果为依据。一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则等于（）A．B．C．D．2．已知向量，。若，则实数的值为（）A．B．C．D．3．已知，，则等于（）A．B．C．D．4．已知正项等比数列满足，，其前5项和为（）A．31B．32C．62D．645．袋中有3个红球和2个蓝球，从中不放回地随机取出2个球，恰好取到1个红球和1个蓝球的概率为（）A．B．C．D．6．函数在区间上的最大值为（）A．B．C．D．7．一个圆锥的底面半径为2，高为3，则它的侧面积为（）A．B．C．D．8．椭圆的离心率为（）A．B．C．D．9．一组数据的方差为4，将每个数据变为后，新数据的方差为（）A．4B．8C．15D．1610．若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为（）A．B．1C．D．2二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。请把正确答案填写在题中横线上。11．的展开式中的常数项为__________。12．圆以，为直径。在圆上且横坐标为1的点中，纵坐标较大的点的纵坐标为__________。13．已知数列满足，，则=__________。14．若，且，则=__________。15．随机变量，则=__________。16．已知函数有三个不同的实数零点，则实数的取值范围是__________。三、解答题：本大题共6小题，共102分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。17．（本小题十四分）在中，角所对的边分别为，已知，，。（1）求边的长和的面积；（2）点在边上，且，求的长。作答区：________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________18．（本小题十六分）已知正项等比数列满足，，前项和为。（1）求数列的通项公式及；（2）设，，求；（3）证明：对任意正整数，都有。作答区：________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________19．（本小题十七分）某校高三年级在考前三模前开展数学专项复习检测。随机抽取100名学生，按“每日数学专项训练时间是否不少于60分钟”和“三模数学成绩是否不低于120分”分类，得到如下列联表：每日数学专项训练时间成绩不低于120分成绩低于120分合计不少于60分钟281240少于60分钟223860合计5050100（1）根据表中数据，估计“每日数学专项训练时间不少于60分钟的学生三模数学成绩不低于120分”的概率；（2）从三模数学成绩不低于120分的学生中随机抽取5人参加答疑交流，记其中每日训练时间不少于60分钟的人数为，求，并写出的表达式；（3）若，且时可认为两个分类变量在0.01的显著性水平下有关，判断“专项训练时间是否不少于60分钟”与“三模数学成绩是否不低于120分”是否有关。作答区：________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________20．（本小题十七分）如图形情境所示，四棱锥的底面是边长为2的正方形，，。（1）证明：；（2）求锐二面角的余弦值；（3）求点到平面的距离。作答区：________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________21．（本小题十八分）已知椭圆，左右焦点分别为，右顶点为。过点的直线与椭圆交于另一点，其中。（1）求点的坐标（用表示）；（2）求面积的最大值；（3）当面积取得最大值时，求直线的方程。作答区：_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________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参考答案与解析一、选择题答案与解析1．B。解析：由得，又，所以。评分标准：选B得3分，选错、多选或不选得0分。本题考查集合运算与不等式解集。解题时先把描述法集合转化为区间，再进行交集运算。端点是否包含由不等号决定，3和4均满足两个集合的条件，因此答案应为闭区间。2．A。解析：由垂直条件得。因为，，所以，解得。评分标准：选A得3分。本题考查向量数量积与垂直关系。垂直条件不是单独令两个坐标成比例，而是令数量积为零。把向量和先写出再点乘，可以减少符号错误。3．A。解析：，且正弦值为，故，，从而。评分标准：选A得3分。本题考查三角函数值与角范围。已知角的范围能排除其他同名角，因此不能只根据特殊角值写出多个可能结果。确定角后再求二倍角余弦即可。4．C。解析：设公比为，因数列为正项等比数列，，所以，。于是。评分标准：选C得3分。本题考查等比数列公比、首项和前项和。正项条件排除了负公比，若忽视这一条件会得到不符合题意的公比。求和时需从首项开始列齐五项。5．C。解析：总取法数为，恰好1红1蓝的取法数为，概率为。评分标准：选C得3分。本题考查古典概型。总事件为从五个球中不放回取两个，基本事件数为组合数。目标事件先选红球再选蓝球，顺序不影响组合计数。6．C。解析：，临界点为。比较，，，，最大值为2。评分标准：选C得3分。本题考查函数在闭区间上的最值。闭区间最值必须比较端点值和区间内临界点值，不能只依赖导数符号或函数图像的直观形状。7．B。解析：圆锥母线长，侧面积。评分标准：选B得3分。本题考查圆锥侧面积公式。圆锥侧面积中的长度是母线长而不是高，需先用勾股定理求母线。半径、母线和圆周率相乘即为侧面积。8．B。解析：椭圆中，，故，，离心率。评分标准：选B得3分。本题考查椭圆标准方程与离心率。分母较大的项确定长半轴，焦距满足平方差关系。离心率为半焦距与长半轴的比值。9．D。解析：数据作线性变换时，方差乘以系数2的平方，即。评分标准：选D得3分。本题考查方差的线性变换性质。加减常数不改变方差，乘以系数会使方差乘以系数平方。该性质常用于数据标准化与统计估计。10．B。解析：不等式等价于对任意成立。设，则，故在上增、在上减，最大值为。评分标准：选B得3分。本题考查恒成立不等式与最值。把参数移到一侧后，需要求右端函数在正数范围内的最大值。导数判号显示最大值在x等于1时取得。二、填空题答案与解析11．答案：。解析：通项为。令得，常数项为。评分标准：写出得3分。本题考查二项式展开式的通项。常数项的关键是指数为零，求出对应项序号后再代入系数和符号。负号来自含负幂项的奇次选择。12．答案：3。解析：以、为直径的圆的圆心为，半径平方为5，方程为。令，得，纵坐标较大者为3。评分标准：写出3得3分。本题考查圆的直径式与坐标运算。由直径端点先求圆心和半径，再代入横坐标求纵坐标。题目要求纵坐标较大，需在两个解中作选择。13．答案：91。解析：由递推式累加，。评分标准：写出91得3分。本题考查递推数列的累加法。递推式右端与n有关，求第10项时需要从第一项连续累加到第9次递推，不能把n直接代入一次。14．答案：。解析：由二倍角公式，代入得。评分标准：写出得3分。本题考查正切与二倍角正弦的关系。角在第一象限保证所求正弦值为正，使用正切形式的二倍角公式可以避免先求正弦余弦。15．答案：。解析：。评分标准：写出得3分。本题考查二项分布的尾概率。由于试验次数较少，可直接计算X等于3和X等于4两个互斥事件的概率，再相加得到结果。16．答案：。解析：，函数在处取得极大值，在处取得极小值。三次函数有三个不同实零点，当且仅当且，故。评分标准：写出得3分。本题考查三次函数图像与零点个数。三次函数有三个不同实零点时，局部极大值需在x轴上方，局部极小值需在x轴下方。三、解答题答案详解与评分标准17．答案详解与评分标准（1）由余弦定理，，故。三角形面积。（2）建立坐标系：令，，由于且，可取。由，点为从到三等分处，故。于是。评分标准：第（1）问8分，其中写出余弦定理并代入4分，求出2分，求出面积2分；第（2）问6分，其中建立恰当坐标或等价几何表示2分，求出点位置2分，求出2分。本题属于三角形边角关系与分点长度综合。第（1）问的关键是已知两边及夹角，优先使用余弦定理；面积公式使用同一组夹边和夹角，可以直接得到精确值。第（2）问可用平面几何、向量或坐标法解决，坐标法的优势是把分点问题化为坐标平均，减少辅助线讨论。作答时要注意边a对应角A，不能把已知的b、c与角的位置混淆。若用向量法，可设AD向量为AB向量与AC向量的线性组合，再由分点比求系数，最终平方求长。不同方法得到的长度应保持为根式精确值。18．答案详解与评分标准（1）设公比为。由，且数列为正项，得。又，故，所以。前项和为。（2）由，得。因此。（3）因为对任意正整数，都有，所以。评分标准：第（1）问6分，求出公比2分，求出通项2分，求出前项和2分；第（2）问6分，写出3分，求和正确3分；第（3）问4分，说明并推出不等式各2分。本题围绕等比数列的确定、构造数列求和和不等式证明展开。正项条件是确定公比符号的关键，若只由平方关系得到正负两个公比，需要结合题意删去负值。第二问中b_n本身仍为等比数列，首项与公比都要由通项公式直接计算。第三问的证明不需要极限语言即可完成，因为T_n等于固定常数乘以一个小于1的正因子。写作时要说明4的负n次方为正，从而括号内严格小于1，才能得到严格小于六分之一。19．答案详解与评分标准（1）由表中数据，每日数学专项训练时间不少于60分钟的学生共有40人，其中三模数学成绩不低于120分的有28人，所求估计概率为。（2）在成绩不低于120分的50人中，每日训练不少于60分钟的有28人。随机抽取5人，服从超几何分布，故。同时。（3）由列联表，，，，，。代入得。因为，所以可认为“专项训练时间是否不少于60分钟”与“三模数学成绩是否不低于120分”在0.01的显著性水平下有关。评分标准：第（1）问4分，列出条件概率2分，计算正确2分；第（2）问6分，识别超几何背景2分，求期望2分，写出概率表达式2分；第（3）问7分，代入列联表数据3分，计算2分，作出判断并表述结论2分。本题以三模复习数据为背景，考查频率估计概率、超几何分布和独立性检验。条件概率中的分母是训练时间不少于60分钟的学生总数，而不是全体100人。第二问从成绩达标学生中抽样，成功个数应取其中训练时间达标的人数。独立性检验的结论必须回到实际问题表述。计算出统计量后，要与给定临界值比较，再说明在0.01显著性水平下认为两个分类变量有关。只写“大于临界值”而不解释变量关系，结论表达不完整。20．答案详解与评分标准（1）因为，且在平面内，所以。又正方形的对角线互相垂直，故。直线与相交于并同在平面内，所以。（2）以为原点，分别以所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则，，，，。平面的一个法向量可取，平面的一个法向量可取。故，锐二面角的余弦值为。（3）平面可用法向量表示。点到该平面的距离为。评分标准：第（1）问5分，说明2分，说明2分，得出线面垂直1分；第（2）问7分，建立坐标系2分，求出两个法向量3分，求出锐二面角余弦2分；第（3）问5分，写出距离公式2分，代入计算3分。本题考查空间线面关系、二面角和点面距离。第一问的证明结构是由线线垂直推出线面垂直，必须指出平面内两条相交直线。由于PA垂直底面，BD在底面内，所以BD垂直PA；正方形对角线垂直给出BD垂直AC。后两问采用坐标法时，坐标轴选取应与正方形边和高线一致，使点坐标简单。求二面角可以转化为两个平面法向量的夹角，若法向量夹角为钝角，锐二面角的余弦取其绝对值。点面距离公式要用目标平面的法向量，不能误用另一个平面的法向量。21．答案详解与评分标准（1）将代入椭圆方程，化简得。除去交点，另一交点的横坐标为，纵坐标为。（2）椭圆焦点满足，故，。以为底，底长为2，点到轴的距离为，因此面积。令，则，当时取得最大值。（3）由第（2）问，面积取得最大值时，故直线方程为或。评分标准：第（1）问7分，正确代入2分，因式分解或利用根的关系3分，写出坐标2分；第（2）问7分，求出焦点2分，写出面积表达式3分，求最大值2分；第（3）问4分，求出两条直线方程各2分。本题是直线与椭圆综合。直线经过右顶点，联立后必有一个根对应已知点A，因此求另一交点时要剔除该根。若直接套用韦达定理，也需要把已知根与另一根的关系写清楚，否则容易把P点横坐标求错。面积最大值的本质是点P到焦点所在直线的距离最大。由于两焦点在x轴上，面积可直接用纵坐标绝对值表示。最后由对称性得到两条直线，斜率一正一负，任意漏写一条都会造成答案不完整。22．答案详解与评分标准（1）当时，，。所以函数在上单调递减，在上单调递增，极小值为。（2）对一般，有。因为，所以当时，当时。故在上单调递减，在上单调递增，最小值为。（3）若对任意都有，则其最小值必须非负，即。设，则。所以在上递增，在上递减，且最大值。因此只有成立。于是。将代入，得，即，等号当且仅当。评分标准：第（1）问5分，求导2分，判定单调性2分，求极小值1分；第（2）问7分，求导2分，按与关系讨论单调性3分，求最小值2分；第（3）问8分，转化为最小值非负2分，研究单调性3分，求得1分，推出对数不等式及等号条件2分。本题是导数、最值与恒成立问题的综合。函数定义域为正数，求导后分母始终为正，因此导数符号只由x与参数a的大小关系决定。第（2）问的单调性讨论为第（3）问提供了最小值表达式。恒成立问题转化为最小值非负后，新的对象是参数函数h(a)。对h(a)求导并判定其在参数范围内的最大值，得到只有a等于1时可行。最后代回原不等式得到对数基本不等式，并说明等号条件，可以形成完整闭环。全卷评分标准客观题评分标准：选择题每题3分，共30分。每小题只有一个正确选项，答案与参考答案一致得满分；未选、错选、多选均不得分。阅卷时不按推理过程给分，但学生在草稿或卷面上形成的关键判断可以作为教师讲评依据。填空题每题3分，共18分，答案形式与参考答案等价即可给分；若结果需要区间、集合或分数形式，端点、括号、符号必须完整准确。仅写出中间量而未写出最终结果不得满分。解答题评分标准：解答题共102分，按步骤给分。每道题的得分点包括审题建模、关键公式或定理、运算推理、结论表达四个层面。若考生方法与参考答案不同，只要逻辑正确、结论一致，应依据同等难度的关键步骤给分；若前一问计算错误但后一问思路正确，可在不重复扣分的原则下酌情给后续方法分。若只写最终答案而缺少必要过程，通常不得超过该问分值的一半。书写与表达评分标准：三模检测强调高考答题规范。代数题应写明定义域、参数范围和变形依据；三角与向量题应注明所用公式及角的范围；概率统计题应说明随机变量含义、分布类型和抽样背景；立体几何题应说明线面位置关系或坐标系建立方式；解析几何题应写出代入、化简、根与坐标的对应关系；导数题应体现求导、符号判断、单调区间和极值最值之间的逻辑链条。运算错误处理标准：若解题思路完整但出现一次非关键性算术错误，导致最终数值错误，可扣除该问1至2分；若错误改变了问题结构或使后续推理失去依据，应按实际完成的有效步骤给分。若使用计算器式结果而未保留准确值，且题目要求精确表达，应扣相应表达分。若写出两个互相矛盾的答案，不能按正确答案给满分，应结合过程判断有效部分。证明题评分标准：证明类设问重在逻辑链条完整。只写结论不写依据不得满分；若能指出两条相交直线分别与目标直线垂直，并据此推出线面垂直，应给主要步骤分；若使用坐标法证明，应写明坐标系、点坐标、向量或法向量的来源。对不等式证明，应明确函数构造、单调性或最值结论，不能只凭图像直观说明。应用与统计题评分标准：统计背景题应把实际语义与数学模型对应起来。条件概率要说明分母所代表的样本范围；超几何分布要说明总体、成功个数和抽取个数；独立性检验要写出列联表参数、统计量代入值、临界值比较和实际结论。若只计算统计量而没有用语言回答变量是否有关，应扣结论表达分。解析几何评分标准：解析几何题必须区分已知交点和待求交点。直线与圆锥曲线联立后，若因式分解得到一个已知根，应准确剔除已知点并求出另一交点坐标；面积、距离、斜率等量应与坐标关系对应。若只得到面积表达式但未完成最值分析，可给代入和表达式分，不给最值结论分。导数与参数题评分标准：导数综合题按“求导—判号—单调—最值—参数结论”的顺序评分。若导数正确但区间判号错误，应保留求导分；若最小值表达式正确但参数函数单调性分析不完整，可给部分分。由恒成立问题转化为最小值非负时，必须说明转化理由；由所得参数反推出经典不等式时，应写出代入过程和等号成立条件。解答题评分细目题号分值主要给分点1714分第（1）问以余弦定理和面积公式为核心，重视三角形边角对应关系；第（2）问可用坐标法、向量法或中线分点公式，关键在于正确确定分点位置并完成距离计算。过程清楚、结果准确给满分。1816分先由正项条件确定公比，再求通项与前n项和；第二问要把新数列化为等比数列求和；第三问利用正数项或极限前的严格不等关系完成证明，不能只写趋近于常数。1917分第（1）问考查条件概率语义；第（2）问考查超几何分布的期望和概率表达式；第（3）问考查独立性检验完整流程，统计量、临界值和实际判断三项缺一不可。2017分线面垂直证明要说明两条相交直线；二面角可用法向量夹角处理，并要转化为锐角余弦；点面距离要选取正确平面法向量，代入距离公式时注意绝对值。2118分联立直线与椭圆方程后应剔除右顶点这一已知交点；面积表达式应化为单变量函