2026广东省东莞市九年级第一次模拟测试数学试卷答案解析

第1页/共1页2026广东省东莞市九年级第一次模拟测试数学试卷答案解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.下列四个选项中，最小的数是（）A. B. C.0 D.3.14【答案】B【解析】【分析】本题考查实数的大小比较，运用“负数小于0，0小于正数，两个负数比较大小，绝对值更大的数更小”的规则即可求解．【详解】解：故四个数中最小的数是．2.我国古代数学成就中蕴含了许多具有对称美的图案．在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形

．【详解】A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意，B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意，C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意，D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．3.已知在直角坐标系中，点的坐标为，则点关于轴的对称点是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】平面直角坐标系中，点关于x轴对称时，对称点的横坐标不变，纵坐标变为原纵坐标的相反数．利用规律即可直接得出结果．【详解】解：∵点的坐标为，∴点关于轴的对称点的横坐标为，纵坐标为，即对称点坐标为．4.下列计算正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘除法则，幂的乘方法则逐一判断选项．【详解】A选项：和不是同类项，不能合并，故A计算错误．B选项：，故B计算错误．C选项：，故C计算正确．D选项：，故D计算错误．5.如图，已知，则的度数（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用平行线的判定和性质进行求解．【详解】解：∵，∴，∴．6.下图是东莞市2026年4月6日到10日的天气情况，这5天中最低气温（单位：）的中位数与众数分别是（）A.23， B.24， C.，24 D.23，23【答案】D【解析】【分析】从折线统计图中读取这5天的最低气温数据，将其从小到大排列，根据中位数和众数的定义求解即可．【详解】解：由图可知，这5天的最低气温分别为：．将这组数据从小到大排列为：．

处于中间位置的数是，

中位数是．

在这组数据中，出现了次，出现的次数最多，

众数是．故选D．7.如图，AB为的直径，，则的度数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据圆周角定理的推论，直径所对的圆周角是直角，可得

，再根据直角三角形两锐角互余即可求出

的度数．【详解】解：

为

的直径，

．

，

．故选：C．8.若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查比较反比例函数的函数值的大小关系，根据反比例函数的增减性，进行判断即可．【详解】解：∵，∴反比例函数的图象过二，四象限，在每一个象限内，随着的增大而增大，∵点都在反比例函数的图象上，且，∴；故选D．9.2025年中国成为全球首个年用电量突破10万亿千瓦时的国家．2023年用电量约为9.2万亿千瓦时，由于高端制造业、数字经济和新兴技术领域用电需求快速增长，2025年用电量约为10万亿千瓦时．设用电量的年平均增长率为．根据题意，下列方程正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】设用电量的年平均增长率为，根据“2023年用电量为万亿千瓦时，2025年用电量约为10万亿千瓦时”据此列出一元二次方程即可．【详解】解：∵2023年用电量为万亿千瓦时，年平均增长率为，∴2024年用电量为万亿千瓦时，2025年用电量为万亿千瓦时，又∵2025年用电量为万亿千瓦时，∴列方程得．10.如图，在矩形中，是矩形的对角线，将绕点逆时针旋转得到，使点在线段上，交于点，交于点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意可得，，，根据，，利用同角的余角相等，得到，从而推出，在中，即可求解．【详解】解：由题意可得，，由旋转可知，，∴，∵，∴，∴，∴在中，，．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11.分解因式：_______．【答案】【解析】【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．原式提取7，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：，故答案为：．12.如图，在正六边形中，的大小为__________．【答案】【解析】【分析】根据正六边形的性质得到每个内角都为，且是等腰三角形，从而求得底角即可．【详解】解：∵六边形是正六边形，∴，，∴．13.化简__________．【答案】0【解析】【分析】先将原式中两个分式变形为同分母分式，再根据同分母分式加减法法则计算.【详解】解：14.若一个圆锥的底面半径为3，母线长为8，则该圆锥的侧面展开图的面积为__________．【答案】【解析】【分析】圆锥的侧面积等于底面周长乘以母线长除以2，代入已知的底面半径和母线长，即可计算出侧面展开图的面积.【详解】解：圆锥底面周长，圆锥侧面积.15.已知反比例函数，当时，随的增大而增大，写出一个满足条件的反比例函数解析式__________．【答案】（答案不唯一）【解析】【详解】解：设反比例函数解析式为，根据题意，当时，随的增大而增大，可得，取，可得反比例函数解析式为（答案不唯一）．三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题各7分，共21分）16.计算：【答案】5【解析】【分析】本题考查实数的混合运算，先分别计算算术平方根、特殊角的三角函数值、零指数幂和绝对值，再合并计算得到结果.【详解】解：17.如图，在Rt中，，已知为的中点．（1）求作：过点作直线的垂线；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）延长交于点，连接，请判断四边形的形状，并说明理由．【答案】（1）见解析（2）四边形是矩形，理由见解析【解析】【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）根据有一个角是的平行四边形是矩形证明即可．【小问1详解】解：如图，图形即为所求；【小问2详解】解：结论：四边形是矩形．理由：，，，，，在和中，，，四边形是平行四边形，，四边形是矩形．18.校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动．每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废．（1）若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是（）A．必然事件B．随机事件C．不可能事件（2）若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图法或列表法，求两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率．【答案】（1）B（2）【解析】【分析】本题主要考查了随机事件、列表法求概率等知识点，正确列表成为解题的关键．（1）直接根据随机事件的定义即可解答；（2）将“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”四个游戏分别记作A、B、C、D，然后列表确定所有等可能结果数以及符合题意的结果数，然后运用概率公式求解即可．【小问1详解】解：∵随机抽取一个盲盒并打开，四个游戏均有可能，∴随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是随机事件．故选B．【小问2详解】解：“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”四个游戏分别记作A、B、C、D，根据题意列表如下：ABCDAA，BA，CA，DBB，AB，CB，DCC，AC，BC，DDD，AD，BD，C则共有12种结果，两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的情况数为2．所以两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率为．四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）19.东莞运河是20世纪60年代开挖的一条人工河，全长103公里，是广东省最长的运河．是东莞人民靠双手“锄挖肩挑”建成的奇迹．某项目学习小组的同学想要测量某段运河的宽度，他们设计了如下测量方案：如图，在运河的对岸岸边任取一点，再在河的这边取两点B、C，在点处测得与河岸的夹角为，在点处测得与河岸的夹角为，、两点间的距离为100米．（1）求该段运河的宽度（即中边上的高）；（结果精确到0.1米；参考数据：）（2）学习小组在测量时发现还有其他测量方案，请你另外设计一套测量运河宽度的方案．要求：在备用图中画出图形、标出字母，并作出简要说明．【答案】（1）（2）见详解【解析】【分析】（1）过点A作的延长线于点D，设,则，根据，即可列出方程；（2）过河对岸点A作，在河这边任选一点C，作，测量，，的长度，通过相似可得河宽的长度．本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．【小问1详解】解：如图，过点A作的延长线于点D，设,由图可知，，在中，∵，∴，在中，∵，∴,∵，∴，∴∴,∴河的宽度约为；【小问2详解】如图2，过河对岸点A作，在河这边任选一点C，作，测量，，的长度，通过相似可得河宽的长度．20.如图，在四边形中，．以为直径的经过点D，且与边交于点E，连接．（1）求证：为的切线；（2）若，求的长．【答案】（1）详见解析（2）．【解析】【分析】（1）只要证明，即可证明为的切线；（2）过点D作，垂足为F，在中，，，，求得，，在中，，，，求得，再根据圆内接四边形的性质结合等边对等角求得，据此求解即可．【小问1详解】证明：∵，∴，又∵，∴，∵为的直径，∴，∴，∴，即，∴，∴为的切线；【小问2详解】解：如图，过点D作，垂足为F，∵，∴，∴，∵中，，，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵中，，，，∴，∵，，∴，∵四边形内接于，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，切线的判定，解直角三角形的应用．正确引出辅助线解决问题是解题的关键．21.项目学习【项目主题】利用闲置硬纸板制作长方体收纳盒收纳玩具．【项目素材】两块长为100cm，宽为40cm的长方形硬纸板．【任务要求】任务一：如图1，把一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．任务二：如图2，把另一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分．【问题解决】（1）若任务一中设计的收纳盒的底面积为，求剪去的正方形的边长为多少？（2）若任务二中设计的收纳盒的底面积为．判断能否把一个长宽高的尺寸如图3所示的玩具车完全放入该收纳盒并盖上盖子，请简述理由．【答案】（1）（2）不能；理由见解析．【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，读懂题意，列出方程是解题的关键．（）设剪去的小正方形的边长为，由题意得，然后解方程并检验即可；（）根据题意，设收纳盒的高为，则收纳盒底面的长为，宽为，则，求出收纳盒的高长宽高，从而即可判断玩具车能否完全放入．【小问1详解】解：（1）设剪去的小正方形的边长为，由题意得：，解得：，（不符合题意，舍去）．答：剪去的小正方形的边长为；【小问2详解】解：根据题意，设收纳盒的高为，则收纳盒底面的长为，宽为，∴，解得：，（不符合题意，舍去），∴收纳盒的高为；收纳盒的长为，收纳盒的宽为，∵（玩具车长小于收纳盒长），（玩具车高小于收纳盒高），但（玩具车宽大于收纳盒宽），∴玩具车不能完全放入该收纳盒．五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）22.【定义】如果一个凸四边形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，则称该四边形为对称四边形，称该直线为对称轴．（1）【概念理解】下列图形一定是对称四边形的是______；（填序号）（2）如图1，在平面直角坐标系中，若点，，，组成的四边形为对称四边形，则满足点的个数为______；（3）【性质探究】如图2，对称四边形关于直线对称，对角线，相交于点，过点作于点，交于点，若，求对称四边形的面积．（4）【拓展应用】如图3，在菱形中，，点为对角线上一点，沿边折叠得到，延长交射线于，则当，，，组成的四边形为对称四边形时，求的值．（作答要求：画出所有满足条件的情况示意图，并写出相应的答案即可）【答案】（1）①③④（2）（3）（4）或或或【解析】【分析】（1）根据对称四边形的定义，逐项判断即可；（2）根据题意可知，当四边形分别为矩形、等腰梯形和筝形时，四边形是对称四边形，据此可求得答案；（3）可证明，得到，求得，进而可求得答案；（4）分四种情况讨论：当点与点重合时，当点在的延长线上时，当时，当时．【小问1详解】①矩形的一条对称轴为一条边的垂直平分线，所以矩形一定是对称四边形；②平行四边形（非矩形、菱形和正方形）没有对称轴，所以平行四边形不一定是对称四边形；③等腰梯形的对称轴为底的垂直平分线，所以等腰梯形一定是对称四边形；④筝形的对称轴为直线，所以筝形一定是对称四边形．故答案为：①③④【小问2详解】根据题意可知，四边形不可能为菱形和正方形，所以当四边形分别为矩形、等腰梯形和筝形时，四边形是对称四边形，所以，点在图中的位置如图所示，共有个．故答案为：【小问3详解】∵对称四边形关于直线对称，点和点为对应点，∴，．∴．∵，∴．∴．∴．又∵，∴．∴．∴．∴．∴对称四边形的面积．【小问4详解】（Ⅰ）如图所示，当点与点重合时．根据题意可知垂直平分线段，∴．∴四边形为筝形，是对称四边形．∵，，∴为等边三角形．根据图形折叠的性质可知，∴．∴．（Ⅱ）如图所示，当点在的延长线上时．根据题意可知，，，∴为等边三角形．∴．根据图形折叠的性质可得，∴．∴．∴．∴四边形为筝形，是对称四边形．根据题意可知．∴．∵，，∴为等边三角形．∴．又∵，，∴．∴．∴．∴．∴．（Ⅲ）如图所示，当时．根据图形折叠的性质可知，，，．∵，∴．∴，．∴，．∴．∵，∴．∴．∴．∴．在和中，，，∴∴∴四边形为等腰梯形，是对称四边形．在中，，∴．∴，．∵，∴．∴．（Ⅳ）如图所示，当时．根据题意可知，．∴．∴．∴．∴．根据图形折叠的性质可知，，∴．∴．∴．∴．∴．在和中，，，∴．∴．∴四边形为等腰梯形，是对称四边形．在中，，∴．∴，．∵，∴．∴．综上所述，或或或．23.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与