中北大学《近世代数》2025-2026学年第一学期期末试卷(A卷)

说明：本试卷将作为样卷直接制版胶印，请命题教师在试题之间留足答题空间。（第1页共6页）制卷人签名：制卷人签名：制卷日期：审核人签名：：审核日期：………………………………………………装……订……线…………………中北大学《近世代数》2025-2026学年第一学期期末试卷(A卷)适用年级专业考试方式闭卷考试时间120分钟学院专业班级学号姓名题号一二三四五六七八总分阅卷教师得分………………得分一、单项选择题（每题1分，共20分）1.设G是一个群，a是G中任意元素，那么以下哪个命题是正确的？A.如果a的阶是2，则a是G的生成元。B.如果a的阶是2，则a是G的换位元。C.如果a的阶是2，则a是G的单位元。D.如果a的阶是2，则a是G的逆元。2.设G是一个有限群，且|G|=8，那么G的子群个数是：A.1B.2C.4D.83.在群G中，如果a是G的生成元，那么a的阶是：A.1B.|G|C.|G|-1D.2|G|4.设G是一个群，a是G中任意元素，那么以下哪个命题是正确的？A.如果a的阶是2，则a是G的换位元。B.如果a的阶是2，则a是G的单位元。C.如果a的阶是2，则a是G的逆元。D.如果a的阶是2，则a是G的生成元。5.设G是一个有限群，且|G|=12，那么G的子群个数是：A.1B.2C.4D.126.在群G中，如果a是G的生成元，那么a的阶是：A.1B.|G|C.|G|-1D.2|G|7.设G是一个群，a是G中任意元素，那么以下哪个命题是正确的？A.如果a的阶是2，则a是G的换位元。B.如果a的阶是2，则a是G的单位元。C.如果a的阶是2，则a是G的逆元。D.如果a的阶是2，则a是G的生成元。8.设G是一个有限群，且|G|=10，那么G的子群个数是：A.1B.2C.4D.109.在群G中，如果a是G的生成元，那么a的阶是：A.1B.|G|C.|G|-1D.2|G|10.设G是一个群，a是G中任意元素，那么以下哪个命题是正确的？A.如果a的阶是2，则a是G的换位元。B.如果a的阶是2，则a是G的单位元。C.如果a的阶是2，则a是G的逆元。D.如果a的阶是2，则a是G的生成元。11.设G是一个有限群，且|G|=15，那么G的子群个数是：A.1B.2C.4D.1512.在群G中，如果a是G的生成元，那么a的阶是：A.1B.|G|C.|G|-1D.2|G|13.设G是一个群，a是G中任意元素，那么以下哪个命题是正确的？A.如果a的阶是2，则a是G的换位元。B.如果a的阶是2，则a是G的单位元。C.如果a的阶是2，则a是G的逆元。D.如果a的阶是2，则a是G的生成元。14.设G是一个有限群，且|G|=20，那么G的子群个数是：A.1B.2C.4D.2015.在群G中，如果a是G的生成元，那么a的阶是：A.1B.|G|C.|G|-1D.2|G|16.设G是一个群，a是G中任意元素，那么以下哪个命题是正确的？A.如果a的阶是2，则a是G的换位元。B.如果a的阶是2，则a是G的单位元。C.如果a的阶是2，则a是G的逆元。D.如果a的阶是2，则a是G的生成元。17.设G是一个有限群，且|G|=25，那么G的子群个数是：A.1B.2C.4D.2518.在群G中，如果a是G的生成元，那么a的阶是：A.1B.|G|C.|G|-1D.2|G|19.设G是一个群，a是G中任意元素，那么以下哪个命题是正确的？A.如果a的阶是2，则a是G的换位元。B.如果a的阶是2，则a是G的单位元。C.如果a的阶是2，则a是G的逆元。D.如果a的阶是2，则a是G的生成元。20.设G是一个有限群，且|G|=30，那么G的子群个数是：A.1B.2C.4D.30二、多项选择题（每题2分，共20分）1.以下哪些是群的定义条件？A.闭合性B.结合性C.单位元D.逆元2.以下哪些是有限群的性质？A.子群个数有限B.生成元个数有限C.群的阶有限D.群的阶无限3.以下哪些是群同态的定义条件？A.保持群运算B.保持单位元C.保持逆元D.保持子群4.以下哪些是群同构的定义条件？A.保持群运算B.保持单位元C.保持逆元D.保持子群5.以下哪些是群分解定理的结论？A.有限群可以分解为若干个循环群的直积B.有限群可以分解为若干个交换群的直积C.有限群可以分解为若干个非交换群的直积D.有限群可以分解为若干个循环群的直积和交换群的直积三、判断题（每题1分，共10分）1.任何群都是交换群。（）2.任何有限群都是循环群。（）3.任何群都有单位元。（）4.任何群都有逆元。（）5.任何有限群都有生成元。（）6.任何群都有子群。（）7.任何群都有同态。（）8.任何群都有同构。（）9.任何有限群都可以分解为若干个循环群的直积。（）10.任何有限群都可以分解为若干个交换群的直积。（）四、名词解释（每题4分，共20分）1.群2.子群3.生成元4.同态5.同构五、简答题（每题6分，共18分）1.简述群的定义及其性质。2.简述子群的定义及其性质。3.简述生成元的定义及其性质。4.简述同态的定义及其性质。5.简述同构的定义及其性质。六、案例分析题（1题，满分12分）阅读以下案例，回答问题：某公司有5名员工，他们分别是A、B、C、D、E。公司规定，员工每周必须参加至少1次公司组织的活动，活动包括篮球、足球、羽毛球、乒乓球、跑步。每位员工参加活动的次数不限，但必须满足以下条件：（1）A参加的活