东北大学《近世代数》2025-2026学年第一学期期末试卷(A卷)

说明：本试卷将作为样卷直接制版胶印，请命题教师在试题之间留足答题空间。（第1页共6页）制卷人签名：制卷人签名：制卷日期：审核人签名：：审核日期：………………………………………………装……订……线…………………东北大学《近世代数》2025-2026学年第一学期期末试卷(A卷)适用年级专业考试方式闭卷考试时间120分钟学院专业班级学号姓名题号一二三四五六七八总分阅卷教师得分………………得分一、单项选择题（每题1分，共20分）1.设集合A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A与B的笛卡尔积C的元素个数是：A.3B.4C.6D.92.在群G中，若a^2=e，则G是：A.阿贝尔群B.非阿贝尔群C.素数阶群D.非素数阶群3.设G是有限群，|G|=15，则G中至少有一个阶为3的元素。4.在群G中，若a^3=e，则G是：A.阿贝尔群B.非阿贝尔群C.素数阶群D.非素数阶群5.设G是有限群，|G|=10，则G中至少有一个阶为2的元素。6.在群G中，若a^4=e，则G是：A.阿贝尔群B.非阿贝尔群C.素数阶群D.非素数阶群7.设G是有限群，|G|=12，则G中至少有一个阶为3的元素。8.在群G中，若a^5=e，则G是：A.阿贝尔群B.非阿贝尔群C.素数阶群D.非素数阶群9.设G是有限群，|G|=14，则G中至少有一个阶为2的元素。10.在群G中，若a^6=e，则G是：A.阿贝尔群B.非阿贝尔群C.素数阶群D.非素数阶群11.设G是有限群，|G|=16，则G中至少有一个阶为4的元素。12.在群G中，若a^7=e，则G是：A.阿贝尔群B.非阿贝尔群C.素数阶群D.非素数阶群13.设G是有限群，|G|=18，则G中至少有一个阶为3的元素。14.在群G中，若a^8=e，则G是：A.阿贝尔群B.非阿贝尔群C.素数阶群D.非素数阶群15.设G是有限群，|G|=20，则G中至少有一个阶为4的元素。16.在群G中，若a^9=e，则G是：A.阿贝尔群B.非阿贝尔群C.素数阶群D.非素数阶群17.设G是有限群，|G|=21，则G中至少有一个阶为3的元素。18.在群G中，若a^10=e，则G是：A.阿贝尔群B.非阿贝尔群C.素数阶群D.非素数阶群19.设G是有限群，|G|=22，则G中至少有一个阶为2的元素。20.在群G中，若a^11=e，则G是：A.阿贝尔群B.非阿贝尔群C.素数阶群D.非素数阶群二、多项选择题（每题2分，共20分）1.以下哪些是群的定义条件？A.闭合性B.结合性C.存在单位元D.存在逆元2.以下哪些是环的定义条件？A.闭合性B.结合性C.存在单位元D.存在逆元3.以下哪些是域的定义条件？A.闭合性B.结合性C.存在单位元D.存在逆元4.以下哪些是阿贝尔群的特征？A.交换律B.结合律C.存在单位元D.存在逆元5.以下哪些是素数阶群的特征？A.交换律B.结合律C.存在单位元D.存在逆元三、判断题（每题1分，共10分）1.在群G中，若a^2=e，则G是阿贝尔群。（）2.在环R中，若a^2=0，则R是域。（）3.在域F中，若a^2=0，则a=0。（）4.在群G中，若a^3=e，则G是素数阶群。（）5.在环R中，若a^2=1，则a=1。（）6.在域F中，若a^3=e，则a是单位元。（）7.在群G中，若a^4=e，则G是阿贝尔群。（）8.在环R中，若a^4=0，则R是域。（）9.在域F中，若a^5=e，则a是单位元。（）10.在群G中，若a^6=e，则G是素数阶群。（）四、名词解释（每题4分，共20分）1.群2.环3.域4.阿贝尔群5.素数阶群五、简答题（每题6分，共18分）1.简述群的定义及其性质。2.简述环的定义及其性质。3.简述域的定义及其性质。六、案例分析题（1题，满分12分）阅读以下案例，回答问题：某公司研发部门有5名员工，分别为A、B、C、D、E。他们负责完成一个项目，项目需要按照以下步骤进行：1.A完成需求分析；2.B完成系统设计；3.C完成编码；4.D完成测试；5.E完成文档编写。要求：请根据群的概念，分析该公司研发部门在完成项目过程中的组织结构，并说明该组织结构属于哪种类型的群。答案：该公司研发部门在完成项目过程中的组织结构可以看作是一个循环群。具体分析如下：1.A完成需求分析后，将需求传递给B，B完成系统设计后，将设计传递给C，C完成编码后，将代码传递给D，D完成测试后，将测试结果传递给E，E完成文档编写后，将文档传递给A，形成一个循环。2.该组织结构属于循环群，