2026湖南长沙雅礼中学高三高考模拟（二）数学试题（含答案解析）

高三模拟卷（二）数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则的真子集有（）A．5个 B．6个 C．7个 D．8个2．已知函数则（）A． B． C．3 D．3．已知向量，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（）A．1 B．2 C．3 D．45．从长度为1，3，5，7，9的5根木棒中随机选择3根，则能构成三角形的概率是（）A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.66．已知点到点的距离为，则的最小值是（）A．4 B．5 C．6 D．77．某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除．现已知的质量随时间（年）的指数衰减规律是：（其中为的初始质量）．则当的质量衰减为最初的时，所经过的时间约为（参考数据：，）（）A．20年 B．15年 C．12年 D．10年8．设双曲线：（，）的左焦点为，过坐标原点的直线与交于，两点，，，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知复数，则下列结论正确的有（）A．的虚部是 B．的共轭复数是C．在复平面内对应的点在第二象限 D．10．已知函数满足，且，则（）A． B．C．的图象关于点对称 D．在区间上单调递减11．某商场举办有奖摸球活动，盒中有编号为1到10的10个完全相同的小球，每次摸球后不放回，直到盒中无球为止，记为一轮活动．规则如下：第1次摸球：从10个球中随机抽取一个；第次摸球（）：若在前次摸球中未出现编号为的球，则本次直接获得号球；否则，从盒中剩余的球中随机抽取一个；第10次摸球：此时盒中仅剩1个球，直接取出．若第10次摸出的球编号为10，则本轮游戏结束并获奖；否则，本轮未获奖，可继续下一轮活动（每轮独立，每轮开始时球盒恢复为完整的1～10号球）．下列说法正确的是（）（参考公式：若，则）A．若第1次摸到1号球，则在该轮必能获奖B．第2次摸到球的编号的期望为C．在一轮活动中获奖的概率为D．记随机变量为最终获奖时的活动轮数，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知数列满足：对任意的正整数，，都有，且，则__________．13．已知，若，则的最小值为__________．14．以为底的两个正三棱锥和内接于同一个球，并且正三棱锥的侧面与底面所成的角为，记正三棱锥和正三棱锥的体积分别为和，则__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，成等差数列．（1）求角的大小；（2）若，，求的值．16．（本小题满分15分）如图所示的几何体由等高的圆柱和圆柱拼接而成，点为弧的中点，且，，，四点共面．（1）证明：平面；（2）若直线与平面所成角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．17．（本小题满分15分）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于的人判定为阳性，小于或等于的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．（1）当漏诊率时，求临界值和误诊率；（2）设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值．18．（本小题满分17分）已知函数．（1）若，求实数的值；（2）若时，恒成立，求实数的最大值；（3）设，为数列的前项积，求证：．19．（本小题满分17分）已知抛物线：，过点的动直线交抛物线于，两点，为原点，．（1）求抛物线的方程；（2）过动点作抛物线的切线，过点作切线的垂线，垂足为，求点的轨迹方程；（3）在（2）的条件下，设直线与直线交于点，若动点满足，求直线的斜率的取值范围．第Ⅰ卷题号1234567891011答案CCABADDBBDBCABD第Ⅱ卷12．24313．14．15．【分析】根据已知，，成等差数列，利用正弦定理“边转角”，注意减元，求出角，求角时注意角的范围．再利用余弦定理，注意到，，三者的联系，本考点属于高考高频考点，务必引起高度的注意．【解析】（1）由，，成等差数列，可得，故，所以，3分又，所以，故，又由，可知，故，所以．6分（另法：利用求解）（2）在中，由余弦定理得，8分即，故，又，故，11分所以，故．13分【点睛】利用正、余弦定理解三角形问题，注意使用“边转角、角转边”，注意减元，求角时注意角的范围．利用余弦定理时注意到，，三者的联系，本考点属于高考高频考点，务必引起高度的注意．16．【分析】（1）则由已知可得，有，而，所以可由线面垂直的判定定理可证得结论．（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可．【解析】（1）因为点为弧的中点，是直径，，，所以，所以，3分又因为平面，平面，所以，5分又，平面，．所以平面．7分（2）以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设，因为直线与平面所成角为，所以，则，，，，9分设平面的法向量为，由可得令，则，11分设平面的法向量为，则得，令，则，13分则，故平面与平面所成锐二面角的余弦值为．15分17．【分析】（1）根据题意由第一个图可先求出，再根据第二个图求出97.5右侧的矩形面积即可解出．（2）根据题意确定分段点100，即可得出的解析式，再根据分段函数的最值求法即可解出．【解析】（1）依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为，所以，所以，解得，3分．6分（2）当时，；9分当时，，12分故所以在区间上的最小值为0.02．15分18．【解析】（1）由题意可得，由，解得．3分（2）令，，则，从而，5分由，又，时，则，即，解得，7分当时，，令，则，从而在区间上单调递增，故当时，，则，所以实数的最大值为4．10分（3）由题可知，其中，，12分由（2）可得，从而，14分则．17分19．【解析】（1）设直线：，，，联立得，则，