中学数学最短路径问题习题集锦

中学数学最短路径问题习题集锦在中学数学的知识体系中，最短路径问题不仅是几何部分的重点与难点，更因其蕴含的转化与化归思想，成为培养学生数学思维的绝佳载体。这类问题往往需要我们跳出固定思维模式，巧妙运用几何图形的性质（如轴对称、平移、旋转等）将复杂问题简化，最终回归到“两点之间线段最短”这一最基本的公理上来。本文将梳理中学阶段常见的最短路径问题类型，并通过典型例题的解析，帮助读者掌握此类问题的解题策略与技巧。一、经典“将军饮马”模型及其应用“将军饮马”问题是最短路径问题的鼻祖，其核心思想是利用轴对称变换，将折线转化为直线，从而直接应用“两点之间线段最短”的公理。（一）基本模型：一线同侧两点例题1：如图，已知直线l及其同侧两点A、B，试在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小。分析：直接连接AB，线段AB与直线l的交点显然不满足PA+PB最小（因为A、B在同侧）。关键在于如何将其中一个点“搬到”直线l的另一侧，使得连接两点的直线能与l相交，交点即为所求。解答：1.作点A关于直线l的对称点A'。2.连接A'B，交直线l于点P。3.点P即为所求，此时PA+PB=A'B，值最小。原理：利用轴对称的性质，PA=PA'，故PA+PB=PA'+PB。根据两点之间线段最短，A'B为A'到B的最短路径，从而PA+PB最小。（二）变式模型一：角内一点到两边距离和最小例题2：如图，已知∠AOB内有一点P，试在OA、OB上分别找一点M、N，使△PMN的周长最小。分析：三角形周长最小，即PM+MN+NP最小。这里有两个动点M、N分别在两条直线上。我们可以类比基本模型，通过两次轴对称变换，将折线PM+MN+NP转化为直线。解答：1.分别作点P关于OA的对称点P1，关于OB的对称点P2。2.连接P1P2，分别交OA、OB于点M、N。3.点M、N即为所求，此时△PMN的周长PM+MN+NP=P1P2，值最小。原理：通过轴对称，PM=P1M，PN=P2N，故周长转化为P1M+MN+NP2=P1P2，由两点之间线段最短可知其最小。（三）变式模型二：两定点一动点（或两动点一定点）距离差最大例题3：如图，已知直线l及其异侧两点A、B，试在直线l上找一点P，使|PA-PB|的值最大。分析：与“和最小”问题不同，“差最大”问题同样可以利用轴对称。此时，A、B在直线l异侧，若在同侧，则直接连接延长即可。解答：1.作点B关于直线l的对称点B'。2.连接AB'并延长，交直线l于点P。3.点P即为所求，此时|PA-PB|=|PA-PB'|=AB'，值最大。原理：由三角形三边关系可知，对于直线l上任意一点P'，|P'A-P'B|=|P'A-P'B'|≤AB'（当且仅当P'与P重合时取等号）。二、利用“垂线段最短”解决最短路径问题当问题中涉及点到直线的距离，或动态变化中某线段长度需要最小化时，“垂线段最短”这一性质往往能直接发挥作用。（一）点到直线的最短距离例题4：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点P是边BC上的动点（不与B、C重合），过点P作PD⊥AB于点D，连接AP，求PD+PC的最小值。分析：这里PC是点P到点C的距离，PD是点P到直线AB的距离。直接求和不易，考虑是否能将其中一个距离进行转化。注意到AC是固定的直角边。解答：1.过点C作AB的垂线，垂足为D'，交BC于点P'。2.点P'即为所求点P，此时PD+PC=P'D'+P'C=CD'（因为P'在CD'上，PD'=P'D'，PC=P'C，且PD'+P'C=CD'）。3.计算CD'的长度：在Rt△ABC中，AB=10（勾股定理）。利用面积法，AC×BC=AB×CD'，即6×8=10×CD'，解得CD'=4.8。故PD+PC的最小值为4.8。原理：当点P运动到使得P、D、C三点共线，且这条线垂直于AB时，PD+PC转化为点C到直线AB的垂线段CD'，根据垂线段最短，此时和最小。（二）动态图形中的垂线段最短例题5：如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB边的中点，点F是BC边上的动点，将△EBF沿EF折叠，点B落在点B'处，连接B'A、B'D，求B'D的最小值。分析：折叠问题中，折痕是对称轴，对应点到折痕的距离相等。点B'的运动轨迹是以E为圆心，EB长为半径的圆弧（因为EB'=EB，E为定点）。故问题转化为：在以E为圆心，1为半径的圆上，找一点B'，使B'D的值最小。解答：1.由题意，EB=EB'=1（E为AB中点，AB=2），所以点B'在以E为圆心，1为半径的圆上。2.连接DE，交⊙E于点B''，则B''D即为所求的最小值。3.计算DE的长度：在Rt△ADE中，AD=2，AE=1，所以DE=√(AD²+AE²)=√5。4.B'D的最小值为DE-EB''=√5-1。原理：圆外一点到圆上点的最短距离为该点到圆心的距离减去半径。这里D是圆外一点，E是圆心，B'是圆上一点，故B'D最小值为DE-EB'。三、利用平移解决“造桥选址”模型当最短路径中涉及到必须经过一条“等长”的线段（如河上造桥，桥长固定且与河岸垂直）时，平移是常用的手段，目的是将“折线”中的固定长度部分平移出去，转化为纯粹的两点间距离问题。例题6：如图，A、B两地被一条河隔开，现要在河上造一座桥MN（桥与河岸垂直），桥架在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线l1、l2）分析：路径AMNB中，MN的长度是固定的（河宽）。要使总路径最短，即AM+NB最短。若能将MN平移，使M、N两点重合，则可转化为A到B'（B平移后对应点）的直线距离。解答：1.将点B沿垂直于河岸的方向向河岸l1平移，平移距离为河宽d（即MN的长度），得到点B'。2.连接AB'，交河岸l1于点M。3.过点M作MN⊥l1交河岸l2于点N。4.连接NB，则路径AMNB即为最短路径。原理：由于MN=BB'且MN∥BB'，故四边形MNBB'是平行四边形，从而NB=MB'。因此，AM+NB=AM+MB'=AB'，根据两点之间线段最短，此时AM+NB最小，加上固定的MN，总路径最短。四、综合应用与解题策略归纳最短路径问题形式多样，但其本质都是围绕“两点之间线段最短”这一核心。解决此类问题的关键在于：1.识别模型：判断问题属于“将军饮马”（轴对称）、“垂线段最短”、“造桥选址”（平移）还是其他模型。2.转化思想：运用轴对称、平移、旋转等几何变换，将不在同一直线上的线段“搬”到同一直线上，或将动态问题转化为静态定点问题。3.回归本源：最终都要落脚到“两点之间线段最短”或“垂线段最短”这两个基本事实。4.动手操作与画图：准确作出辅助图形（对称点、平移后的点、轨迹圆等）是成功解题的前提。在实际解题中，往往需要多种思想方法的综合运用，例如在折叠问题中，既会用到轴对称，也