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6.3平面向量基本定理及坐标表示第六章平面向量及其应用6.3.1

平面向量基本定理1.理解平面向量基本定理及其意义.2.理解作为一个基底的条件，能熟练运用一个基底表示平面内的任一向量.3.会用平面向量基本定理解决有关向量问题.重点：平面向量基本定理及其应用.难点：平面向量基本定理的理解及应用.学习目标知识梳理平面向量基本定理：

不共线

基底一、平面向量基本定理的理解常考题型

【解析】由平面向量基本定理可知，AD中说法是正确的.对于B，由平面向量基本定理可知，若平面的基底确定，那么同一平面内任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的.对于C，当λ1＝λ2＝0或μ1＝μ2＝0时，结论不成立.【答案】

BC

训练题1.如图所示，用向量e1，e2表示向量a-b为（

）A.-4e1-2e2

B.-2e1-4e2

C.e1-3e2

D.3e1-e22.如果e1，e2是平面α内的一组基底，那么下列命题正确的是（

）A.若存在实数λ1，λ2使λ1e1+λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0B.空间内任一向量a都可以表示为a＝λ1e1+λ2e2，其中λ1，λ2∈RC.λ1e1+λ2e2不一定在平面α内，λ1，λ2∈RD.对于平面α内任一向量a，使a＝λ1e1+λ2e2的实数对（λ1，λ2）有无数对3.若{e1，e2}是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（）A.e1-e2，e2-e1

B.e1-e2，e1+e2C.2e2-e1，-2e2+e1

D.2e1+e2，4e1+2e2

C

A

B

二、用基底表示向量

◆用基底表示向量的两种方法1.几何法主要是根据向量加减法及数乘运算的几何意义数形结合逐步转化，其一般步骤为：（1）根据已知条件画出图形；（2）灵活运用三角形法则与平行四边形法则一步步向基底转化，直到用基底表示目标向量.此方法是用基底表示向量最常用的方法.2.代数法（1）建立关于目标函数的方程求解，其一般步骤为：①依据题目给出的条件，建立目标向量和基底向量间的等量关系；②解方程求得目标向量，如本组第4题思路二.（2）待定系数法，其一般步骤为：①设出含待定系数的目标向量关于基底向量的二元表达式；②利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度建立目标向量与基底向量之间满足的关系式（一般需建立两个不同的向量关系式）；③建立关于待定系数的方程或方程组；④解方程或方程组即得.

B

C三、利用平面向量基本定理求参数

D

D

D

◆利用平面向量基本定理求参数范围的一般思路根据向量的线性表示求有关参数的取值范围问题的关键是利用平面向量基本定理建立所求参数的关系式，转化为函数的最值问题求解，或通过数形结合确定参数的范围.

四、平面向量基本定理在平面几何中的应用例5如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值.

◆基底建模法基底建模法是利用向量解决几何图形有关证明和求解问题的重要方法，关键在于选取合适的

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