2025年分布函数题库及答案

2025年分布函数题库及答案一、选择题（每题3分，共15分）1.设随机变量X的分布函数为F(x)，则下列结论中错误的是（）A.F(x)是右连续函数B.limₓ→+∞F(x)=1C.P(X=a)=F(a)-F(a⁻)D.对任意x₁<x₂，有F(x₁)≥F(x₂)答案：D（分布函数是非降函数，x₁<x₂时应有F(x₁)≤F(x₂)）2.已知离散型随机变量X的可能取值为1,2,3，且P(X=1)=0.2，P(X=2)=0.5，则其分布函数F(2.5)的值为（）A.0.2B.0.5C.0.7D.1.0答案：C（F(2.5)=P(X≤2.5)=P(X=1)+P(X=2)=0.2+0.5=0.7）3.设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，分布函数为F(x)，则下列等式中恒成立的是（）A.F(x)=∫₋∞ˣf(t)dtB.f(x)=F'(x)对所有x成立C.P(a<X≤b)=F(b)-F(a⁻)D.limₓ→-∞F(x)=1答案：A（连续型变量的分布函数是概率密度的积分；B选项在f(x)连续点成立；C应为F(b)-F(a)；D极限应为0）4.若随机变量X服从参数λ=0.5的指数分布，则其分布函数F(x)在x=2处的值为（）A.1-e⁻¹B.e⁻¹C.1-e⁻⁰·⁵D.e⁻⁰·⁵答案：A（指数分布F(x)=1-e⁻λˣ(x≥0)，代入λ=0.5，x=2得1-e⁻¹）5.设X~N(μ,σ²)，其分布函数为Φ((x-μ)/σ)，则Φ(z)表示（）A.标准正态分布的概率密度B.标准正态分布的分布函数C.一般正态分布的概率密度D.一般正态分布的分布函数答案：B（Φ(z)是标准正态分布N(0,1)的分布函数）二、填空题（每题4分，共20分）6.离散型随机变量X的分布律为P(X=k)=C(3,k)(1/2)³(k=0,1,2,3)，则其分布函数F(1.5)=______。答案：P(X≤1.5)=P(X=0)+P(X=1)=C(3,0)(1/2)³+C(3,1)(1/2)³=1/8+3/8=4/8=1/27.连续型随机变量X的概率密度为f(x)=2x（0≤x≤1，否则0），则其分布函数F(x)在x=0.5处的值为______。答案：F(0.5)=∫₀⁰·⁵2tdt=t²|₀⁰·⁵=0.258.设X~U(a,b)（均匀分布），其分布函数F(x)=0.6时，x=______（用a,b表示）。答案：均匀分布F(x)=(x-a)/(b-a)(a≤x≤b)，令(x-a)/(b-a)=0.6，解得x=a+0.6(b-a)=0.4a+0.6b9.已知随机变量X的分布函数F(x)=A+Barctanx（-∞<x<+∞），则常数B=______。答案：由limₓ→+∞F(x)=1得A+B·(π/2)=1；limₓ→-∞F(x)=0得A+B·(-π/2)=0。联立解得B=1/π10.设X~P(λ)（泊松分布），则其分布函数F(k)表示______（用概率表达式描述）。答案：P(X≤k)=Σₙ=0ᵏ(λⁿe⁻λ)/n!（k为非负整数）三、计算题（每题10分，共50分）11.已知离散型随机变量X的分布函数为：F(x)=0,x<10.3,1≤x<20.7,2≤x<31,x≥3求：(1)X的分布律；(2)P(1.5<X≤2.5)解：(1)分布律为P(X=1)=F(1)-F(1⁻)=0.3-0=0.3；P(X=2)=F(2)-F(2⁻)=0.7-0.3=0.4；P(X=3)=F(3)-F(3⁻)=1-0.7=0.3。即X~{1:0.3,2:0.4,3:0.3}(2)P(1.5<X≤2.5)=F(2.5)-F(1.5)=0.7-0.3=0.412.设连续型随机变量X的概率密度为：f(x)=ke⁻³ˣ,x>00,其他(1)求常数k；(2)求分布函数F(x)；(3)计算P(X>0.5)解：(1)由∫₋∞⁺∞f(x)dx=1得∫₀⁺∞ke⁻³ˣdx=k·(1/3)=1，故k=3(2)当x≤0时，F(x)=0；当x>0时，F(x)=∫₀ˣ3e⁻³ᵗdt=1-e⁻³ˣ。综上F(x)=1-e⁻³ˣ(x>0)，否则0(3)P(X>0.5)=1-F(0.5)=1-(1-e⁻¹·⁵)=e⁻¹·⁵≈0.223113.设随机变量X~N(5,4)，求：(1)P(3<X≤7)；(2)常数c使得P(X≤c)=0.95（Φ(1.645)=0.95）解：(1)X~N(5,2²)，标准化得Z=(X-5)/2~N(0,1)P(3<X≤7)=P((3-5)/2<Z≤(7-5)/2)=P(-1<Z≤1)=Φ(1)-Φ(-1)=2Φ(1)-1=2×0.8413-1=0.6826(2)P(X≤c)=Φ((c-5)/2)=0.95，已知Φ(1.645)=0.95，故(c-5)/2=1.645，解得c=5+2×1.645=8.2914.已知随机变量X的分布函数为：F(x)=0,x<0x²,0≤x<11,x≥1求：(1)概率密度f(x)；(2)P(0.3<X<0.7)；(3)P(X>0.5)解：(1)f(x)=F’(x)=2x（0≤x<1），其他为0(2)P(0.3<X<0.7)=F(0.7)-F(0.3)=0.7²-0.3²=0.49-0.09=0.4(3)P(X>0.5)=1-F(0.5)=1-0.5²=1-0.25=0.7515.设随机变量X服从参数n=4,p=0.6的二项分布，求其分布函数F(2)和F(3.5)解：二项分布P(X=k)=C(4,k)(0.6)ᵏ(0.4)⁴⁻ᵏ(k=0,1,2,3,4)F(2)=P(X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=C(4,0)(0.6)⁰(0.4)⁴+C(4,1)(0.6)¹(0.4)³+C(4,2)(0.6)²(0.4)²=1×1×0.0256+4×0.6×0.064+6×0.36×0.16=0.0256+0.1536+0.3456=0.5248F(3.5)=P(X≤3.5)=P(X≤3)=1-P(X=4)=1-C(4,4)(0.6)⁴(0.4)⁰=1-1×0.1296×1=0.8704四、证明题（每题10分，共15分）16.证明：若F₁(x)和F₂(x)都是分布函数，则F(x)=aF₁(x)+(1-a)F₂(x)（0≤a≤1）也是分布函数。证明：需验证分布函数的三个基本性质：(1)非降性：对任意x₁<x₂，F₁(x₁)≤F₁(x₂)，F₂(x₁)≤F₂(x₂)，故aF₁(x₁)+(1-a)F₂(x₁)≤aF₁(x₂)+(1-a)F₂(x₂)，即F(x₁)≤F(x₂)(2)右连续性：F₁(x)和F₂(x)右连续，故对任意x₀，limₓ→x₀⁺F(x)=alimₓ→x₀⁺F₁(x)+(1-a)limₓ→x₀⁺F₂(x)=aF₁(x₀)+(1-a)F₂(x₀)=F(x₀)(3)极限条件：limₓ→-∞F(x)=alimₓ→-∞F₁(x)+(1-a)limₓ→-∞F₂(x)=a×0+(1-a)×0=0；limₓ→+∞F(x)=a×1+(1-a)×1=1综上，F(x)满足分布函数的所有性质，故为分布函数。17.设连续型随机变量X的分布函数F(x)严格单调递增，证明：Y=F(X)服从[0,1]上的均匀分布。证明：Y的分布函数记为G(y)=P(Y≤y)=P(F(X)≤y)当y<0时，G(y)=0；当y≥1时，G(y)=1；当0≤y<1时，因F(x)严格单调递增，存在唯一的x=F⁻¹(y)，使得F(x)=y，故P(F(X)≤y)=P(X≤F⁻¹(y))=F(F⁻¹(y))=y因此，G(y)=y（0≤y≤1）