2025年概率论与数理统计第四章答案

2025年概率论与数理统计第四章答案一、离散型随机变量的期望与方差计算1.设袋中装有5个红球和3个白球，从中无放回地随机抽取2个球，记X为抽到红球的个数。求E(X)、D(X)及P{X≥1}。解答：X的可能取值为0、1、2。计算各取值的概率：P(X=0)=C(3,2)/C(8,2)=3/28P(X=1)=[C(5,1)C(3,1)]/C(8,2)=15/28P(X=2)=C(5,2)/C(8,2)=10/28=5/14期望E(X)=0×(3/28)+1×(15/28)+2×(5/14)=15/28+10/14=15/28+20/28=35/28=5/4。方差D(X)=E(X²)[E(X)]²。先计算E(X²)：E(X²)=0²×(3/28)+1²×(15/28)+2²×(5/14)=15/28+4×(10/28)=15/28+40/28=55/28。故D(X)=55/28(25/16)=(55×425×7)/112=(220175)/112=45/112。P(X≥1)=1P(X=0)=13/28=25/28。二、连续型随机变量的期望与方差2.设随机变量X的概率密度函数为：f(x)={kx(1-x),0≤x≤1；0,其他}(1)求常数k；(2)求E(X)、D(X)；(3)求P{X>E(X)}。解答：(1)由概率密度的归一性，∫₋∞^∞f(x)dx=1，即∫₀¹kx(1-x)dx=1。计算积分：∫₀¹(kxkx²)dx=k[x²/2x³/3]₀¹=k(1/21/3)=k/6=1⇒k=6。(2)E(X)=∫₀¹x·6x(1-x)dx=6∫₀¹(x²x³)dx=6[x³/3x⁴/4]₀¹=6(1/31/4)=6×(1/12)=1/2。计算E(X²)=∫₀¹x²·6x(1-x)dx=6∫₀¹(x³x⁴)dx=6[x⁴/4x⁵/5]₀¹=6(1/41/5)=6×(1/20)=3/10。故D(X)=E(X²)[E(X)]²=3/10(1/2)²=3/101/4=(65)/20=1/20。(3)E(X)=1/2，因此P(X>1/2)=∫_{1/2}^16x(1-x)dx=6∫_{1/2}^1(xx²)dx=6[x²/2x³/3]_{1/2}^1。计算上下限：当x=1时，值为1/21/3=1/6；当x=1/2时，值为(1/8)/2(1/8)/3=1/161/24=(32)/48=1/48；故积分结果为6×(1/61/48)=6×(8/481/48)=6×(7/48)=7/8。三、协方差与相关系数3.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为：f(x,y)={2,0≤x≤1,0≤y≤x；0,其他}求Cov(X,Y)及ρ(X,Y)。解答：首先计算边缘密度：f_X(x)=∫₀^x2dy=2x，0≤x≤1；f_Y(y)=∫_y^12dx=2(1y)，0≤y≤1。计算E(X)=∫₀¹x·2xdx=2∫₀¹x²dx=2×(1/3)=2/3；E(Y)=∫₀¹y·2(1y)dy=2∫₀¹(yy²)dy=2×(1/21/3)=2×(1/6)=1/3；E(XY)=∫₀¹∫₀^xxy·2dydx=2∫₀¹x[∫₀^xydy]dx=2∫₀¹x·(x²/2)dx=∫₀¹x³dx=1/4；协方差Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)=1/4(2/3)(1/3)=1/42/9=(98)/36=1/36；计算D(X)：E(X²)=∫₀¹x²·2xdx=2∫₀¹x³dx=2×(1/4)=1/2，故D(X)=1/2(2/3)²=1/24/9=(98)/18=1/18；计算D(Y)：E(Y²)=∫₀¹y²·2(1y)dy=2∫₀¹(y²y³)dy=2×(1/31/4)=2×(1/12)=1/6，故D(Y)=1/6(1/3)²=1/61/9=(32)/18=1/18；相关系数ρ(X,Y)=Cov(X,Y)/[√D(X)√D(Y)]=(1/36)/(√(1/18)×√(1/18))=(1/36)/(1/18)=1/2。四、期望与方差的性质应用4.设随机变量X₁,X₂,…,Xₙ独立同分布，E(Xᵢ)=μ，D(Xᵢ)=σ²，令Sₙ=X₁+X₂+…+Xₙ，求E(Sₙ)、D(Sₙ)及E(Sₙ²)。解答：由期望的线性性质，E(Sₙ)=E(X₁)+E(X₂)+…+E(Xₙ)=nμ；由方差的性质（独立变量方差可加），D(Sₙ)=D(X₁)+D(X₂)+…+D(Xₙ)=nσ²；计算E(Sₙ²)=D(Sₙ)+[E(Sₙ)]²=nσ²+(nμ)²=nσ²+n²μ²；或直接展开：Sₙ²=(X₁+X₂+…+Xₙ)²=ΣXᵢ²+2Σ_{i<j}XᵢXⱼ，故E(Sₙ²)=ΣE(Xᵢ²)+2Σ_{i<j}E(Xᵢ)E(Xⱼ)（因独立，E(XᵢXⱼ)=E(Xᵢ)E(Xⱼ)）。其中E(Xᵢ²)=D(Xᵢ)+[E(Xᵢ)]²=σ²+μ²，共有n项；Σ_{i<j}E(Xᵢ)E(Xⱼ)=C(n,2)μ²=n(n-1)μ²/2，共有2×C(n,2)=n(n-1)项。因此E(Sₙ²)=n(σ²+μ²)+n(n-1)μ²=nσ²+nμ²+n²μ²nμ²=nσ²+n²μ²，与前式一致。五、矩的计算5.设随机变量X服从参数为λ的指数分布，其概率密度为f(x)=λe^{-λx},x>0，求X的k阶原点矩E(Xᵏ)。解答：指数分布的k阶原点矩可通过积分计算：E(Xᵏ)=∫₀^∞xᵏ·λe^{-λx}dx。令t=λx，则x=t/λ，dx=dt/λ，积分变为：∫₀^∞(t/λ)ᵏ·λe^{-t}·(dt/λ)=(1/λᵏ)∫₀^∞tᵏe^{-t}dt=Γ(k+1)/λᵏ。由于Γ函数性质Γ(k+1)=k!（k为正整数），故E(Xᵏ)=k!/λᵏ。六、综合应用题6.某保险公司承保1000份同类型保单，每份保单在一年内发生赔付的概率为0.05，且各保单是否赔付相互独立。设X为一年内发生赔付的保单数，求E(X)、D(X)及P{X≤60}的近似值（用中心极限定理）。解答：X服从二项分布B(n=1000,p=0.05)，故E(X)=np=1000×0.05=50；D(X)=np(1-p)=1000×0.05×0.95=47.5；由中心极限定理，当n较大时，X近似服从正态分布N(np,np(1-p))=N(50,47.5)。标准化后，Z=(X-50)/√47.5≈N(0,1)。P(X≤60)≈P(Z≤(60-50)/√47.5)=P(Z≤10/6.892)≈P(Z≤1.45)。查标准正态分布表，Φ(1.45)=0.9265，故P(X≤60)≈0.9265。七、条件期望与方差7.设随机变量X在区间(0,1)上均匀分布，给定X=x时，Y服从区间(0,x)上的均匀分布，求E(Y)和D(Y)。解答：X的概率密度f_X(x)=1,0<x<1；给定X=x时，Y的条件密度f_{Y|X}(y|x)=1/x,0<y<x；由全期望公式，E(Y)=E[E(Y|X)]。先求条件期望E(Y|X=x)=∫₀^xy·(1/x)dy=(1/x)·(x²/2)=x/2，故E(Y)=E(X/2)=(1/2)E(X)=(1/2)×(1/2)=1/4；计算D(Y)=E[D(Y|X)]+D[E(Y|X)]。条件方差D(Y|X=x)=E(Y²|X=x)[E(Y|X=x)]²。E(Y²|X=x)=∫₀^xy²·(1/x)dy=(1/x)·(x³/3)=x²/3，故D(Y|X=x)=x²/3(x/2)²=x²/3x²/4=x²/12；因此E[D(Y|X)]=E(X²/12)=(1/12)E(X²)。X的E(X²)=∫₀¹