2026年广义积分常识题库及答案

2026年广义积分常识题库及答案1.计算无穷积分∫₁^∞1/(x²+2x+2)dx。解：分母配方得(x+1)²+1，令t=x+1，则积分变为∫₂^∞1/(t²+1)dt=[arctant]₂^∞=π/2arctan2。2.判别瑕积分∫₀^21/√(4-x²)dx的收敛性。解：x=2为瑕点，原积分=lim(ε→0+)∫₀^(2-ε)1/√(4-x²)dx=lim(ε→0+)[arcsin(x/2)]₀^(2-ε)=arcsin10=π/2，收敛。3.计算∫₀^∞x³e^(-x²)dx。解：令t=x²，则x=√t，dx=dt/(2√t)，积分变为(1/2)∫₀^∞t^(3/2)e^(-t)t^(-1/2)dt=(1/2)∫₀^∞te^(-t)dt=(1/2)Γ(2)=1/2×1!=1/2。4.判别∫₁^∞(cosx)/(x√x)dx的收敛性（绝对或条件）。解：|cosx|/(x√x)≤1/x^(3/2)，而∫₁^∞1/x^(3/2)dx收敛（p=3/2>1），故原积分绝对收敛。5.计算无界函数积分∫₀^1(lnx)^2dx。解：瑕点x=0，令t=-lnx，则x=e^(-t)，dx=-e^(-t)dt，积分变为∫+∞^0t²(-e^(-t)dt)=∫₀^∞t²e^(-t)dt=Γ(3)=2!=2。6.判别∫₁^∞(sin²x)/x²dx的收敛性。解：sin²x=(1-cos2x)/2≤1/2，故(sin²x)/x²≤1/(2x²)，∫₁^∞1/x²dx收敛，原积分绝对收敛。7.计算∫₋∞^∞1/(x²+4x+13)dx。解：分母配方(x+2)²+9，令t=x+2，积分变为∫₋∞^∞1/(t²+9)dt=(1/3)[arctan(t/3)]₋∞^∞=(1/3)(π/2(-π/2))=π/3。8.判别∫₀^11/(x(1-x))dx的收敛性。解：x=0和x=1均为瑕点，拆分为∫₀^(1/2)+∫_(1/2)^1。∫₀^(1/2)1/(x(1-x))dx~∫₀^(1/2)1/xdx（x→0+时1-x→1），发散；同理∫_(1/2)^11/(x(1-x))dx~∫_(1/2)^11/(1-x)dx（x→1-时x→1），也发散，故原积分发散。9.计算∫₀^∞e^(-3x)cos(2x)dx。解：设I=∫₀^∞e^(-3x)cos(2x)dx，分部积分得I=[-e^(-3x)cos(2x)/3]₀^∞(2/3)∫₀^∞e^(-3x)sin(2x)dx。边界项为1/3，第二项再分部积分得-(2/3)[-e^(-3x)sin(2x)/3]₀^∞(4/9)I，边界项为0，故I=1/3(4/9)I，解得I=3/13。10.判别∫₁^∞(lnx)/x^(3/2)dx的收敛性。解：x→∞时，lnx增长慢于x^ε（ε>0），取ε=1/4，则(lnx)/x^(3/2)≤x^(1/4)/x^(3/2)=1/x^(5/4)，而∫₁^∞1/x^(5/4)dx收敛（p=5/4>1），故原积分收敛。11.计算∫₀^11/√(1-x²)dx。解：x=1为瑕点，积分=lim(ε→0+)∫₀^(1-ε)1/√(1-x²)dx=lim(ε→0+)[arcsinx]₀^(1-ε)=π/20=π/2。12.判别∫₁^∞(sinx+cosx)/xdx的收敛性。解：分拆为∫₁^∞sinx/xdx+∫₁^∞cosx/xdx，均满足Dirichlet条件：sinx和cosx的积分有界，1/x单调趋于0，故原积分条件收敛。13.计算∫₀^∞xe^(-x)dx。解：Γ(2)=1!=1，直接得结果为1。14.判别∫₀^11/√(x(1-x))dx的收敛性。解：x=0和x=1为瑕点，令x=sin²t，则dx=2sintcostdt，积分变为∫₀^(π/2)1/√(sin²tcos²t)×2sintcostdt=∫₀^(π/2)2dt=π，收敛。15.计算∫₁^∞1/(x√(x-1))dx。解：令t=√(x-1)，则x=t²+1，dx=2tdt，积分变为∫₀^∞1/((t²+1)t)×2tdt=2∫₀^∞1/(t²+1)dt=2×(π/2)=π。16.判别∫₀^∞e^(-x²)lnxdx的收敛性。解：x→0+时，e^(-x²)lnx~lnx，∫₀^1lnxdx收敛（结果-1）；x→∞时，e^(-x²)lnx衰减快于任何多项式，故整体收敛。17.计算∫₋∞^∞x²e^(-x²)dx。解：利用Γ函数，∫₋∞^∞x²e^(-x²)dx=2∫₀^∞x²e^(-x²)dx=2×(1/2)Γ(3/2)=Γ(3/2)=√π/2。18.判别∫₀^1(1cosx)/x³dx的收敛性。解：x→0+时，1cosx~x²/2，故(1cosx)/x³~1/(2x)，∫₀^11/xdx发散，原积分发散。19.计算∫₀^∞(e^(-x)e^(-2x))/xdx。解：利用Frullani积分公式，∫₀^∞(f(ax)-f(bx))/xdx=(f(0)-f(∞))ln(b/a)，此处f(x)=e^(-x)，f(0)=1，f(∞)=0，故积分=ln2。20.判别∫₁^∞(1e^(-x))/x²dx的收敛性。解：x→∞时，1e^(-x)~1，故(1e^(-x))/x²~1/x²，∫₁^∞1/x²dx收敛；x→0+时无定义（积分从1开始），故原积分收敛。21.计算∫₀^1x^5√(1-x²)dx。解：令t=x²，x=√t，dx=dt/(2√t)，积分变为(1/2)∫₀^1t^(5/2)√(1-t)t^(-1/2)dt=(1/2)∫₀^1t^2(1-t)^(1/2)dt=(1/2)B(3,3/2)=(1/2)×Γ(3)Γ(3/2)/Γ(9/2)=(1/2)×2!×(√π/2)/(7!!√π/8)=(1/2)×2×(√π/2)/(105√π/8)=8/(210)=4/105。22.判别∫₁^∞(sinxcosx)/x^(1/3)dx的收敛性。解：sinxcosx=sin(2x)/2，∫₁^Asin(2x)dx有界（≤1），1/x^(1/3)单调趋于0，由Dirichlet判别法收敛；但|sin(2x)|/(2x^(1/3))≥sin²(2x)/(2x^(1/3))=(1cos4x)/(4x^(1/3))，∫₁^∞1/x^(1/3)dx发散，故原积分条件收敛。23.计算∫₀^∞e^(-x)sinx/xdx。解：交换积分顺序，∫₀^∞(∫₀^∞e^(-x)sinxe^(-tx)dt)dx=∫₀^∞(∫₀^∞e^(-(t+1)x)sinxdx)dt=∫₀^∞1/((t+1)²+1)dt=[arctan(t+1)]₀^∞=π/2π/4=π/4。24.判别∫₀^1(lnx)^ndx（n为正整数）的收敛性。解：令t=-lnx，积分变为∫₀^∞t^ne^(-t)dt=Γ(n+1)=n!，收敛。25.计算∫₋∞^∞1/(x²+2x+2)^2dx。解：分母配方(x+1)²+1，令t=x+1，积分变为∫₋∞^∞1/(t²+1)^2dt。利用递推公式∫1/(t²+1)^ndt=(t/(2(n-1)(t²+1)^(n-1)))+(2n-3)/(2(n-1))∫1/(t²+1)^(n-1)dt，n=2时，∫₋∞^∞1/(t²+1)^2dt=π/2。26.判别∫₁^∞(lnx)^k/xdx（k为实数）的收敛性。解：令t=lnx，dt=dx/x，积分变为∫₀^∞t^kdt，当k<-1时收敛（p=-k-1>0），否则发散。27.计算∫₀^∞xe^(-x)sinxdx。解：设I=∫₀^∞xe^(-x)sinxdx，利用Laplace变换，L{sinx}=1/(s²+1)，L{xsinx}=2s/(s²+1)^2，s=1时I=2×1/(1+1)^2=1/2。28.判别∫₀^11/√(x(1-x^2))dx的收敛性。解：x=0为瑕点，x→0+时1/√(x(1-x^2))~1/√x，∫₀^11/√xdx收敛；x=1时1-x^2=(1-x)(1+x)~2(1-x)，故1/√(x(1-x^2))~1/√(2(1-x))，∫_(1/2)^11/√(1-x)dx收敛，整体收敛。29.计算∫₀^∞e^(-x^4)dx。解：令t=x^4，x=t^(1/4)，dx=(1/4)t^(-3/4)dt，积分变为(1/4)∫₀^∞t^(-3/4)e^(-t)