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2025年新加坡竞赛练习题及答案一、代数题设三次多项式f(x)满足f(1)=0，解答：观察已知值：f(1)=0=−1，f(1)=1−1=0二、几何题在等腰三角形△ABC中，AB=AC=10，∠BAC=，D是B解答：1.计算BC的长度：由余弦定理，B=A2.确定AD的长度：AD是角平分线且△ABC为等腰三角形，故AD也是中线和高。∠BAD3.设DE=x，则AE=ADC=由于∠ADC=−∠ADB(10=(5+因此AE三、数论题求最小的正整数n，使得+2025能被n解答：设n+45=k（+2025要求k∣90k+4050，即k4050的正因数有1,由于n>0，故k=n+此时n=5045=5，验证：+四、组合数学题有5个不同的红球和3个不同的蓝球，排成一列，要求任意两个蓝球不相邻，且红球中编号为A的红球不在最左端，编号为B的红球不在最右端，求排列数。解答：1.无限制的总排列数：先排5个红球，有5!种；红球形成6个间隙（包括两端），选3个放蓝球，有()种，蓝球排列有3!2.排除A在最左端的情况：A固定在最左端，剩余4个红球排列有4!种；此时红球形成5个间隙（最左端已被A占据，无左侧间隙），选3个放蓝球，有()种，蓝球排列3!3.排除B在最右端的情况：同理，B固定在最右端，剩余4个红球排列有4!种；红球形成5个间隙（最右端已被B4.加上A在最左端且B在最右端的重复排除情况：A固定最左，B固定最右，剩余3个红球排列有3!种；红球形成4个间隙（左右端均被占据），选3个放蓝球，有()种，蓝球排列3!综上，符合条件的排列数为144001440五、综合题设函数f(x)=+ax+b解答：1.分析函数性质：f(x)是开口向上的抛物线，在区间[0,1]上的极值可能在端点x2.顶点在区间内（0≤−≤顶点值f(−)=b，需满足|b|≤13.顶点在区间外（a>0或a>0时，函数在[0,1]递增，最大值f(1)=1a<−2时，函数在

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