棱柱、棱锥和棱台课件2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

第13章

立体几何初步13.1.1棱柱、棱锥和棱台苏教版必修第二册【课标要求】1.利用实物、计算机软件等观察空间图形,认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征.2.能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.要点深化·核心知识提炼知识点一

多面体棱柱、棱锥和棱台都是由一些平面多边形围成的空间图形.由若干个平面多边形围成的空间图形叫作多面体.围成多面体的各个多边形叫作多面体的面,如面PAB;两个面的公共边叫作多面体的棱,如棱PA,棱AB;棱与棱的公共点叫作多面体的顶点,如顶点P,顶点A.以前学过的长方体、正方体都是多面体.知识点二

棱柱、棱锥和棱台的结构特征

多面体定义图形及表示相关概念结构特征棱柱一般地,由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间图形叫作棱柱记作:棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'底面(底):平移起止位置的两个面.侧面:多边形的边平移所形成的面.侧棱:相邻侧面的公共边.顶点:侧面与底面的公共顶点(1)两个底面是全等的多边形且对应边互相平行.(2)侧棱互相平行且相等.(3)侧面都是平行四边形多面体定义图形及表示相关概念结构特征棱锥当棱柱的一个底面收缩为一个点时,得到的空间图形叫作棱锥记作:棱锥S-ABCD底面(底):多边形面.侧面:有公共顶点的各个三角形面.侧棱:相邻侧面的公共边.顶点:各侧面的公共顶点(1)底面是多边形.(2)侧面是有一个公共顶点的三角形.(3)所有侧棱都相交于顶点多面体定义图形及表示相关概念结构特征棱台用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分称为棱台记作:棱台ABCD-A'B'C'D'上底面:原棱锥的截面.下底面:原棱锥的底面.侧面:其余各面.侧棱:相邻侧面的公共边.顶点:侧面与上(下)底面的公共顶点(1)棱台的两个底面是相似的多边形,且对应边平行.(2)侧面都是梯形.(3)侧棱延长后交于一点知识点三

棱柱、棱锥、棱台的分类和特殊情形

多面体分类特殊情形棱柱底面为三角形、四边形、五边形……的棱柱分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱……直棱柱:侧棱垂直于底面的棱柱;斜棱柱:侧棱不垂直于底面的棱柱;正棱柱:底面是正多边形的直棱柱;平行六面体:底面是平行四边形的四棱柱棱锥按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……,其中三棱锥又叫四面体正棱锥:底面是正多边形,并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥多面体分类特殊情形棱台由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫作三棱台、四棱台、五棱台……—知识点四

棱柱、棱锥、棱台的关系在运动变化的观点下,棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来(以三棱柱、三棱锥、三棱台为例).自主诊断判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)棱柱的侧面都是平行四边形.(

)(2)用一个平面去截棱锥,底面和截面之间的部分叫棱台.(

)(3)将棱台的各侧棱延长可交于一点.(

)√×√题型分析·能力素养提升【题型一】棱柱的结构特征例

1

在棱柱中(

)A.只有两个面平行B.所有的棱都平行C.所有的面都是平行四边形D.两底面平行,且各侧棱也互相平行D解析

对于A,如果是长方体,可能不止有两个面平行,故A错;对于B,如果是长方体,不可能所有的棱都平行,只是所有的侧棱都平行,故B错;对于C,如果是底面是梯形的棱柱,不是所有的面都是平行四边形,故C错;对于D,根据棱柱的定义可知,棱柱的两底面平行,且各侧棱也互相平行,故D对.故选D.规律方法

棱柱结构特征的辨析方法(1)扣定义:判断一个几何体是否为棱柱的关键是看几何体是否符合棱柱的定义.①看“面”,即观察这个多面体是否有两个互相平行的面,其余各面都是平行四边形;②看“线”,即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行.(2)举反例:通过举反例,如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合,给予排除.跟踪训练1如图为长方体ABCD-A1B1C1D1.(1)这个长方体是棱柱吗?如果是,是几棱柱?(2)用平面BCFE把这个长方体分成两部分后,各部分还是棱柱吗?若是棱柱,请指出它们的底面与侧棱.解

(1)这个长方体是棱柱,是四棱柱.(2)截面BCFE右侧部分是三棱柱,它的底面是△BEB1与△CFC1,侧棱是EF,B1C1,BC;截面BCFE左侧部分是四棱柱,它的底面是四边形ABEA1与四边形DCFD1,侧棱是AD,BC,EF,A1D1.【题型二】棱锥、棱台的结构特征例

2

(1)下列叙述正确的有(

)①用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台;②两个面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台;③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.A.0个

B.1个

C.2个

D.3个A解析

①中的平面不一定平行于棱锥底面,故①错误;②③可用反例去检验,如图所示,侧棱延长线不能相交于一点,故②③错.故选A.(2)下列说法中,正确的是(

)①棱锥的各个侧面都是三角形;②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面;③棱锥的侧棱平行.A.①

B.①② C.②

D.③B解析

由棱锥的定义知,棱锥的各侧面都是三角形,故①正确;四面体就是由四个三角形所围成的几何体,因此以四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥,故②正确;棱锥的侧棱交于一点,故③错误.故选B.规律方法

判断棱锥、棱台形状的两个方法(1)举反例法:结合棱锥、棱台的定义,举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.(2)直接法:技巧棱锥棱台定底面只有一个面是多边形(边数大于3),此面即为底面(三棱锥除外)两个互相平行的面,即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点跟踪训练2(1)(多选题)下列说法正确的有(

)A.有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥B.棱锥的侧面一定都是三角形C.棱台各侧棱所在直线必交于一点D.有两个面为矩形且相互平行,其余四个面均为等腰梯形的几何体一定是四棱台ABC解析

对于A,有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥,符合四棱锥的定义,故A正确;对于B,棱锥的侧面一定都是三角形,故B正确;对于C,棱台是由棱锥截成的,故各个侧棱一定相交于一点,故C正确;对于D,如图,该几何体的上、下底面是两个全等的矩形,两矩形平行,上面矩形的边与下面矩形的边对应平行,且四个侧面均为等腰梯形,但四条侧棱并不交于同一点,故不是四棱台,故D错误.故选ABC.(2)如图所示,在三棱台ABC-A1B1C1中,沿平面A1C1B截去三棱锥B1-A1C1B,则剩余的部分是(

)A.三棱锥 B.四棱锥C.三棱柱 D.四棱柱B解析

截去三棱锥B1-A1C1B,则剩余的部分B-ACC1A1是四棱锥.故选B.【题型三】棱柱、棱锥和棱台的展开及应用例

3

(1)如图所示,在所有棱长均为1的直三棱柱上,有一只蚂蚁从点A出发,围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1,则爬行的最短路线长为

.

(2)请画出如图所示的几何体的表面展开图.①

②

解

展开图如图所示:①

②(3)根据如图所给的平面图形,画出立体图形.①

②

③

解

将各平面图形折起后形成的空间图形如图所示:②

①③题后反思

1.绘制展开图:绘制多面体的平面展开图要结合多面体的几何特征,发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型.在解题过程中,常常给多面体的顶点标上字母,先把多面体的底面画出来,然后依次画出各侧面,便可得到其平面展开图.2.由展开图复原几何体:若是给出多面体的平面展开图,来判断是由哪一个多面体展开的,则可把上述过程逆推.同一个几何体的平面展开图可能是不一样的,也就是说,一个多面体可有多个平面展开图.3.求从几何体的表面上一点,沿几何体表面运动到另一点所走过的最短距离,常将几何体沿某些棱剪开,使两点展在同一个平面上,转化为求平面上两点间的最短距离问题.跟踪训练3(1)(多选题)下列图形中,是三棱柱的展开图的是(

)ABCDABD解析

根据三棱柱的展开图的特点可知C不符合题意,A,B,D都符合