平面与平面垂直（第1课时）课件2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.6空间直线、平面的垂直第八章

立体几何初步8.6.3平面与平面垂直第1课时二面角及其平面角复习引入1.异面直线所成角的定义是什么？2.斜线与平面所成角的定义是什么？3.空间两个平面的位置关系只有平行与相交，前面已从定义、判定、性质等方面对两平面平行作了全面的研究，但对空间两平面相交还只停留在概念层面上，有待作进一步研究.1.异面直线所成角的定义是什么？

对于两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a'∥a，b'∥b，则直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).2.斜线与平面所成角的定义是什么？平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条斜线和这个平面所成的角.如图，∠PAB.注：定义上述两个角是为了刻画异面直线，直线与平面的相对倾斜程度，并通过平面角计算其大小.α

定义3.空间两个平面的位置关系只有平行与相交，前面已从定义、判定、性质等方面对两平面平行作了全面的研究，但对空间两平面相交还只停留在概念层面上，有待作进一步研究.（1）直线上的一点将直线分割成两部分，每一部分都叫做射线.将一条直线沿直线上一点折起，得到的平面图形就是一个平面角.由此类比，平面上的一条直线将平面分割成两部分，每一部分都叫做半平面，将一个平面沿平面上的一条直线折起，得到的空间图形称为二面角.

（2）把书的封面打开就形成一个二面角，随着打开的程度不同，可得到不同的二面角，设想用一个平面角来刻画二面角的两个半平面的相对倾斜程度，那么这个平面角应如何选取？角的顶点在棱上，角的两边分别在两个半平面内，且都与棱垂直.教材导学

1.二面角的含义是什么？有哪些相关概念？如何表示？

2.二面角的平面角，直二面角的含义分别是什么？3.二面角的平面角的取值范围是什么？1.二面角的含义是什么？有哪些相关概念？如何表示？从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，两个半平面叫做二面角的面.如图的二面角可记作二面角α-l-β，或α-AB-β，或P-AB-Q等.注：（1）二面角可以看成是将一个平面沿平面上的一条直线折起所得到的空间图形.（2）一个二面角是由一条直线和两个半平面组成，二面角的棱就是两个半平面的交线.（3）两个相交平面共组成4个二面角.

β

在二面角的棱上任取一点O，以点O为垂足，在两个面内分别作垂直于棱的射线OA，OB，这两条射线构成的∠AOB叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角.2.二面角的平面角，直二面角的含义分别是什么？注：（1）二面角的平面角大小由二面角所确定，与顶点O在棱上的位置无关.（2）二面角的大小可用平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说二面角是多少度.

β

3.二面角的平面角的取值范围是什么？[0°，180°].拓展探究1.二面角的平面角有哪几种作图方法？2.若直线a，b分别与二面角α-l-β的两个面垂直，即a⊥α，b⊥β，则直线a和b的夹角与二面角的大小有什么关系？1.二面角的平面角有哪几种作图方法？（1）定义法：在二面角的棱上取一点O，过点O分别在两个面内作垂直于棱的射线OA，OB，则∠AOB为二面角的平面角.O

（2）三垂线法：在二面角的一个面内取一点A，过点A作另一个面的垂线，垂足为B，过点B作棱的垂线，垂足为O，连结AO，则∠AOB为二面角的平面角.（3）垂棱面法：作平面垂直于二面角的棱，分别与两个面相交于OA、OB，则∠AOB是二面角的平面角.2.若直线a，b分别与二面角α-l-β的两个面垂直，即a⊥α，b⊥β，则直线a和b的夹角与二面角的大小有什么关系？

β

当二面角≤90°时相等当二面角＞90°时互补O

β

巩固应用例1如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，△ABC是边长为2的正三角形，PA=3，求二面角P-BC-A的大小.

【解】取BC的中点D，连AD，PD.例2如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求二面角C-BD₁-D的大小.【解】连AC，交BD于E，则AC⊥平面BDD₁.作EF⊥BD₁，垂足为F，连CF，

∴二面角C-BD₁-D的大小为60°.小结1.二面角与二面角的平面角是两个不同概念，二面角的平面角是反映二面角的两个半平面相对倾斜度的一个几何量，对给定的一个二面角，其平面角大小是唯一的.2.二面角的平面角有三个特征，即角的顶点在棱上，角的两边分别在两个面内，角的两边都与棱垂直.据等角定理，平面角的大小与顶点位置无关.3.求二面角的大小分两步进行，先作出二面角的平