高中数学 第6讲（微专题）：函数的单调性与最值（无解析）

【专题6】函数的单调性题型探究重要知识点讲解知识点1：函数的单调性单调性增函数、减函数的定义1.增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数．数学符号：：∀x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，则(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数2.减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．数学符号：(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．判断单调性的方法1.定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论.2.图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性.3.导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间.4.性质法：(三）复合函数的单调性y＝f[g(x)]的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异减”单调性的应用（一）最值1.定义：设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M．(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值或最小值．（二）解不等式（三）比较大小【例题精讲】考向一无参数函数的单调性【例1】（1）函数的单调递减区间为（2）（2020·荆州市沙市第四中学）函数的单调减区间为______.（3）（2020·甘肃省民乐县第一中学）已知函数，则单调递增区间是（4）（2020·江苏）函数的单调增区间为___________.【方法总结】【方法总结】1.增(减)函数定义中的x1，x2的三个特征一是任意性；二是有大小，即x1<x2(x1>x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可2.单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示3.有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接【举一反三】1．下列函数在区间(－∞，0)上为增函数的是()A.y＝1B.y＝－＋2C.y＝－x2－2x－1D.y＝1＋x22．（2020·北京师范大学珠海分校附属外国语学校）函数的单调区间为__________.（2021·邗江区赤岸中学）函数的单调减区间为______.判断函数的单调性．考向二含参函数的单调性【例2】（1）（2020·云南省镇雄县第四中学）若函数在上单减，则k的取值范围为__________.（2）（2020·陕西西安市·西安一中）如果函数在区间上单调递减，那么实数的取值范围是（3）（2020·江苏课时练习）若f（x）＝是R上的单调减函数，则实数a的取值范围为____.例题3已知函数在区间上是减函数，则的取值范围是_________；【举一反三】1．（2021·陕西省黄陵县中学）设函数是R上的增函数，则有（）A． B． C． D．2．（2021·广西钦州市）函数在单调递增，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．3.（17-18东莞市高一学年期末测试卷）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是_____________；4.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是_____________；如果函数在上单调递增，求的取值范围．考向三单调性的证明【知识点讲解】1．单调性在直观上：单调递增——图象上升、单调递减——图象下降；2．逐渐进行抽象：单调递增——增加，也增加；单调递减——增加，减小．3．数学表达（单调性的证明是高中第一个严格的证明）：在区间内任取，比较的大小．（注意是任取）4．函数单调性定义中的，有三个特征：一是任意性，即“任意取，”，证明单调性时不可随意以两个特殊值替换；二是它们有大小；三是它们同属于一个单调区间，三者缺一不可．5．用定义法判断或证明函数的单调性的关键在于比较的大小，这可以通过作差变形来实现．【解题步骤】1．取值：即设，是该区间内的任意两个值，且；2．作差变形：通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形；3．定号：确定差（或）的符号，若符号不确定，可以进行分类讨论；4．下结论：即根据定义得出结论，注意下结论时不要忘记说明区间；【例题精讲】例题1证明函数在上是增函数；变式1讨论函数（）的单调性．考向四函数单调性的应用【知识点讲解】1．如果在某定义域内单调递增，且在该定义域内有，则；如果在某定义域内单调递减，且在该定义域内有，则；例题1（19-20青岛市新高考高一学年期末测试卷）已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围是（）A． B． C． D．变式1已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为________．变式2(探究：变条件)若本例的函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，求x的范围．函数单调性的应用(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围．(2)若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的．提醒：研究函数要注意定义域优先的原则，解题时要注意条件中的前提范围。变式3（18-19东华高一学年期中测试卷）已知函数的图像关于直线对称，当时，，设，则的大小关系___________.考向五函数的最值【知识点讲解】函数最大值与最小值的定义最大值最小值条件设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有f(x)≤Mf(x)≥M存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M是函数y＝f(x)的最大值M是函数y＝f(x)的最小值几何意义f(x)图象上最高点的纵坐标f(x)图象上最低点的纵坐标思考：若函数f(x)≤M，则M一定是函数的最大值吗？[提示]不一定，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大值，否则不是．推论：1．若函数在上单调递增，则，2．若函数在上单调递减，则，3．若函数在上单调递增，在上单调递减，则，4．若函数在上单调递减，在上单调递增，则，【解题指导】求函数最值的方法1．观察法：对于简单的函数，可以依据定义域观察求出最值；2．配方法：对于“二次函数类”的函数，一般通过配方法求最值；3．图像法：对于图像较为容易画出来的函数，可借助图像直观求出最值；4．单调性法：对于较复杂的函数，分析单调性（需给出证明）后，依据单调性确定函数最值；（1）如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值；（2）如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值；（3）若果连续函数在上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是；（4）若果连续函数在上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是；含参函数在定区间的最值问题例题1已知二次函数在区间上的最大值为，则实数的值为________；变式1函数f(x)＝eq\f(1,x－1)在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是eq\f(1,3)，则a＋b＝________．函数在不定区间的最值问题例题2设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值．变式1若函数g(x)＝x2＋2mx－m2在[1，2)上存在最小值2，求实数m的值．重难点讲解重难点1：带参数的单调性问题【例题精讲】根据函数单调性求参数的取值范围例题1已知函数在区间上是减函数，则的取值范围是_________；变式1已知；（1）若，则的定义域为；（2）若在区间上是减函数，则实数的取值范围是；例题2若函数在上是增函数，求实数的取值范围；变式2若函数在上是单调递增函数，则的取值范围是_________；重难点2：抽象函数的单调性问题【例题精讲】例题1已知函数的定义域为，满足，且当时，.求；（2）证明：在定义域上为增函数；（3）如果，求满足不等式的的取值范围；变式1已知函数对任意，总有，且当时，，；（1）求证：在上是减函数；（2）在上的最值；重难点3：最值问题例题1已知函数；当时，求函数的最大值和最小值；（2）求使在区间上是单调函数的实数的范围；变式1已知函数；（1）当时，求函数的最小值；（2）若对任意，恒成立，试求实数的取值范围；重难点4：存在问题与恒成立问题【知识点讲解】【例题精讲】例题1不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（）A．B.C． D．变式1已知关于x的不等式对任意恒成立，则有（）A． B． C． D．例题2不等式x2-2x+5≤A.-1,4B.(-∞,-2∪5,+∞)变式2若不等式a－2x2+2A.－∞,+∞ B.2,+∞C.－2,2 D【题型优化测训】1．（2020秋•威远县校级期中）已知函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是A． B． C． D．2．（2021春•赤峰期末）定义在上的函数满足：对于定义域上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．给出下列四个函数：①；②；③；④能被称为“理想函数”的有个．A．0 B．1 C．2 D．33.（2020秋•郑州期中）若函数是上的单调函数，则实数的取值范围为．4.（2020春•浦东新区校级月考）函数的递减区间是，．5．（2021·江西景德镇市·景德镇一中）函数的单调递增区间是____