高中数学 第7讲：函数的奇偶性题型探究

【专题7】函数的奇偶性题型探究重要知识点讲解知识点1：函数的奇偶性【知识点讲解】（一）奇函数、偶函数定义1.奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数。奇函数的图像关于原点对称2.偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数偶函数的图像关于y轴对称（二）注意事项1.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件2.如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．3.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．四．判断函数奇偶性的3种常用方法1.定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解析式后验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立．2.图象法：3.性质法：设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．知识点2：函数奇偶性的性质【知识点讲解】根据函数奇偶性解题时可以根据以下方法：1．定义域关于原点对称；2．若奇函数在原点有定义，则；3．根据奇函数有，偶函数求解；4．根据“如果一个函数是奇函数，那么它是由若干个简单的奇函数加减构成；如果一个函数是偶函数，那么它由若干个简单的偶函数加减构成”；例如：【例1】（1）（2020·陕西渭滨.高二期末（文））已知是上的奇函数，且当时，，则当时，。（2）（2020·全国课时练习）函数y＝f(x)在区间[2a－3，a]上具有奇偶性，则a＝________.（3）（2020·全国课时练习）若函数f（x）＝ax2+（2a2﹣a﹣1）x+1为偶函数，则实数a的值为。【答案】（1）（2）a＝1或a=-12（3【解析】（1）由题意，设，则，则，因为函数为上的奇函数，则，得，即当时，.（2）：∵函数f（x）＝ax2+（2a2﹣a﹣1）x+1为偶函数，∴f（﹣x）＝f（x），即f（﹣x）＝ax2﹣（2a2﹣a﹣1）x+1＝ax2+（2a2﹣a﹣1）x+1，即﹣（2a2﹣a﹣1）＝2a2﹣a﹣1，∴2a2﹣a﹣1＝0，解得a＝1或a=-（3）由题意，函数是定义域R上的奇函数，根据奇函数的性质，可得，代入可得，解得.【例2】（2022·北京海淀·二模）若是奇函数，则（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】由为奇函数可得，代入相应解析式解方程即可.【详解】易知定义域为，由为奇函数可得，即，解得.故选：C.利用奇偶性求解参数问题奇偶函数有许多优美而独特的性质，如：奇、偶函数的定义域关于原点对称；一般地，为多项式时，若为奇函数，则的偶次项系数为0，若为偶函数，则的奇次项系数为0；若奇函数在处有定义，则，同学们在解决此类问题时，若能抓住这些性质，往往能够巧妙解题.【举一反三】1．（2020·全国课时练习）已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3.则f(x)在R上的表达式为________．【答案】【解析】因为是奇函数，且定义域为，故当时，；则当时，.故答案为：.2．（2021·江苏沭阳.高三期中）已知函数为偶函数，则的值为__________.【答案】【解析】因为函数为偶函数,故,故恒成立.故.故,则.故答案为：3．已知fx=a-1x3+b【答案】0【解析】根据题意，已知f（x）=（a-1）x3+bx2是定义在[b，2+b]上的偶函数，有b+2+b=0，解可得b=-1，则f（x）=（a-1）x3-x2，若f（x）为[-1，1]上的偶函数，则有f（-x）=f（x），即（a-1）（-x）3-（-x）2=（a-1）x3-x2，分析可得：a=1，则a+b=0；故答案为：0．4.（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知是定义在R上的奇函数，且时，，则在上的最大值为(

)A．1 B．8 C． D．【答案】C【解析】【分析】根据题意可知f(0)＝0可求m的值，根据x≤0时的解析式，结合f(x)是奇函数可求x＞0时f(x)的解析式，判断f(x)在[1，2]上单调性即可求其最大值.【详解】∵是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，又∵，，∴，∴时，，设，则，则，则，即当x＞0时，，∴f(x)在上单调递减，∴f(x)在上的最大值为.故选：C.题型：已知奇函数+M例1．（2021·河北石家庄市·石家庄一中）已知，则___________.【答案】由，得，则，则；故答案为：.【方法技巧与总结】已知奇函数+M，，则（1）（2）【举一反三】1.（2017全国2卷）已知函数时奇函数，且函数的最大值和最小值分别为，则.【知识点】函数奇偶性的性质【参考答案】考向七函数的单调性与奇偶性的应用【知识点讲解】已知定义在上的函数，且在上单调递增；若，【例1】（1）（2021·河南高三月考）设奇函数在定义域上单调递减，则不等式的解集为（）A．B．C．D．（2）．（2021·云南师大附中高三月考）已知、是定义在上的偶函数和奇函数，若，则（）A． B． C． D．【答案】（1）C（2）D（3）-18【解析】因为是奇函数，因此原不等式变形为，又在上单调递减，所以，解得，所以原不等式的解集为.故选：C.（2），所以，，①，，②，因为、是定义在上的偶函数和奇函数，由②可得，则有，解得.故选：D.【举一反三】1、已知函数是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，且，则的解析式为（）A.B．C．D．【答案】C2、定义在上的偶函数，当时，单调递减，若成立，求的取值范围；【解析】【答案】3、已知定义在上的奇函数是增函数，求使成立的实数的取值范围．【答案】；利用奇偶性求解解集问题（函数奇偶性与单调性结合问题）例题1（东华18-19学年期中测试）已知函数为偶函数，当时，，则的解集为（）A.B.C.D.【知识点】函数奇偶性的性质【难度】中【参考答案】A【方法总结】奇、偶函数图象对称性的两大应用应用一：巧作函数图象．(1)奇函数图象关于原点对称；偶函数图象关于y轴对称．(2)根据以上奇、偶函数图象对称性的特点可以解决已知奇、偶函数在某区间的部分图象，画出其关于原点或y轴对称的另一部分的图象问题．应用二：求函数最值、单调性问题．函数的奇偶性反映到图象上是图象的对称性，可以利用图象解决关于原点对称的区间上的函数值的有关问题，也可以解决关于原点对称的区间上的函数的单调性问题，同时可以简化解题过程．变式1(山东省实验中学18-19学年期末测试)已知函数为偶函数，且在区间上单调递增，若，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【知识点】函数奇偶性的性质【难度】中【参考答案】B变式3(2019·开封高一检测)设为偶函数，且在区间内是增函数，，则的解集为()A．B．C．D．解析：选C根据题意，偶函数在上为增函数，且，则函数在上为减函数，且，作出函数的草图如图所示，又由，可得或由图可得或，即不等式的解集为(－2，0)∪(2，＋∞)．故选C.知识点3：抽象函数奇偶性判断【例题精讲】例题1(1)函数，若对任意实数都有；求证：为奇函数；(2)函数，若对任意实数都有，且；求证：为偶函数；【答案】（1）因为，令，则，即令，则，即所以，所以为奇函数；（2）因为，令，则解得（舍去）或令，则，即因为，所以，即所以为偶函数；变式1(东莞市18-19学年高一期末测试)若定义在上的函数满足：对任意，有（为非零常数），则下列说法一定正确的是（）A.为偶函数B.为奇函数C.为偶函数D.为奇函数【知识点】函数奇偶性的判断【难度】难【参考答案】D例题2已知函数的定义域为，且对任意，都有，且当时，恒成立；（1）证明函数是上的减函数；（2）讨论函数的奇偶性；（3）若，求的取值范围；【答案】（1）任取，且因为，所以所以因为，所以因为当时，恒成立，所以所以即所以函数是上的减函数；（2）令，则，解得令，则因为，所以，所以所以是奇函数；(3)；变式2（2019年山东曲阜一中高一月考）已知函数的定义域为，若对于任意的，都有，且时，；（1）判断函数的奇偶性并证明；（2）用定义判断函数的单调性；（3）设.若对所有，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）为奇函数，证明略；（2）在上为单调递增函数；（3）的取值范围为；知识点4：函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：【解题指导】若，则说明关于对称；拓展结论1：在定义域内恒满足条件的图像的对称轴3、中心对称的等价描述：【解题指导】若，则说明关于对称；拓展结论2：在定义域内恒满足条件的图像的对称中心【例题精讲】【例1】（2021·广东揭阳市·高三一模）已知函数定义域为，满足，且对任意均有成立，则满足的的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为函数满足，所以函数关于直线对称，因为对任意均有成立，所以函数在上单调递减.由对称性可知在上单调递增.因为，即，所以，即，解得.故选：D.【举一反三】1．（2021·长宁区·上海市延安中学）奇函数的图像关于直线对称，，则_________.【答案】【解析】因为函数是奇函数，所以，因为函数关于直线对称，，则，，所以.故答案为：2.（2021·浙江）已知函数，且，则下列不等式中成立的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由得图象的对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增，且，所以，故选：C.知识点4：函数的周期性【知识点讲解】1、定义：设的定义域为，若对，存在一个非零常数，有，则称函数是一个周期函数，称为的一个周期2、周期性的理解：可理解为间隔为的自变量函数值相等3、若是一个周期函数，则，那么，即也是的一个周期，进而可得：也是的一个周期4、最小正周期：正由第3条所说，也是的一个周期，所以在某些周期函数中，往往寻找周期中最小的正数，即称为最小正周期.然而并非所有的周期函数都有最小正周期，比如常值函数5、函数周期性的判定：（1）：可得为周期函数，其周期（2）的周期分析：直接从等式入手无法得周期性，考虑等间距再构造一个等式：所以有：，即周期注：遇到此类问题，如果一个等式难以推断周期，那么可考虑等间距再列一个等式，进而通过两个等式看能否得出周期（3）的周期分析：（4）（为常数）的周期分析：，两式相减可得：（5）（为常数）的周期【例题精讲】【例1】（2021·曲靖市第二中学）已知函数是定义在上的奇函数，，且，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵是奇函数，∴，又，∴是周期函数，周期为4．∴．故选：A．【例2】若函数对于任意实数满足条件，若，则__________；【答案】；【解析】（1）因为；（2）；；变式1设是上的奇函数，，当时，，则=____；【解析】（1）（先求出周期）（2）【答案】；变式2已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－eq\f(1,fx)，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)＝______.【解析】2.5由已知，可得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－eq\f(1,fx＋2)＝－eq\f(1,－\f(1,fx))＝f(x)．故函数的周期为4.∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5)．∵2≤2.5≤3，由题意，得f(2.5)＝2.5.∴f(105.5)＝2.5.函数性质的综合运用【知识点讲解】双对称出周期：若一个函数存在两个对称关系，则是一个周期函数，具体情况如下：（假设）①若的图像关于轴对称，则是周期函数，周期分析：关于轴对称关于轴对称的周期为②若的图像关于中心对称，则是周期函数，周期③若的图像关于轴对称，且关于中心对称，则是周期函数，周期7、函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹”，只要了解一个周期的性质，则得到整个函数的性质.（1）函数值：可利用周期性将自变量大小进行调整，进而利用已知条件求值（2）图像：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行“复制+粘贴”（3）单调区间：由于间隔的函数图象相同，所以若在上单调增（减），则在上单调增（减）（4）对称性：如果一个周期为的函数存在一条对称轴（或对称中心），则存在无数条对称轴，其通式为证明：关于轴对称函数的周期为关于轴对称注：其中（3）（4）在三角函数中应用广泛，可作为检验答案的方法.【例题精讲】【例3】（2021·上海松江区）已知函数是定义域为R的奇函数，满足，若，则__________．【答案】1【解析】因为，所以，所以，即函数是周期为4的周期函数.所以,,,所以原式等于故答案为：【举一反三】1．（2021·广东高考模拟）已知f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(1+x)=fA．0 B．-a C．a D．【答案】B【解析】因为函数f(x)所以f(x)关于直线x=1又f(x)是定义在R又由f(1+x)=所以f(x+2)=因此，函数f(x)所以f(4)=f因此f(2)+f(3)+2．（2021·安徽亳州二中）定义在上的函数满足，且，则=__________。【答案】-1【解析】由题意知定义在上的函数满足，得是奇函数，所以，即，赋值得，故，得周期是8，所以3.（2021·四川高考模拟）已知定义域的奇函数的图像关于直线对称,且当时,,则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵f（x）是奇函数，且图象关于x＝1对称；∴f（2﹣x）＝f（x）；又0≤x≤1时，f（x）＝x3；∴．故选：B．4.（2019·永安市第一中学高考模拟）已知fx是定义在R上的奇函数，满足f(1+x)=f(1-xA．1B．0C．1D．2019【答案】B【解析】根据题意，函数f（x）满足f（1﹣x）＝f（x+1），则函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，则有f（﹣x）＝f（x+2），又由函数f（x）为奇函数，则f（﹣x）＝-f（x），则有f（x）＝-f（x+2），则f（x+2）=-f（x+4），可得f（x）=f（x+4）则函数f（x）为周期为4的周期函数，又由f（1）＝1，则f（1）=f（5）=……＝f（2017）＝1，f（-1）=-f（1）=-1，则f（3）=f（7）=……=f（2019）=-1，又f（-2）=f（2）＝-f（2），则f（2）=0，且f（0）=0，所以f（2）=f（4）＝f（6）＝f（8）＝……＝f（2018）＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）＝505-505+0=0；故选：B．【题型优化测训】1.（多选）（2021·邵阳市