高中数学 第14讲：二倍角公式 讲义

【专题14】二倍角公式知识网络 【知识点讲解】两角和差公式二倍角公式半角公式；；；；；；二倍角万能公式：=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③【即时训练】求下列各三角函数的值：①，求；②，，求；③；④；⑤；⑥；⑦，求；⑧，并且，求．【答案】①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．重要知识点讲解知识点1：二倍角的正弦公式【例题精讲】例题1已知，为第二象限角，那么__________；【答案】；变式1已知，则_________；【答案】；变式2设，，则____________；【答案】；例题2已知，则____________；【答案】；变式3已知，，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用以及解出，的值，再利用二倍角公式化简即可求解.【详解】因为，所以，代入得，因为，所以，所以，所以，，故选：D【点睛】关键点点睛：本题的关键点是熟记同角三角函数基本关系，以及三角函数值在每个象限内的符号，熟记正余弦的二倍角公式，计算仔细.知识点2：二倍角的余弦公式【例题精讲】例题1已知为锐角，且满足，则等于______；【答案】；变式1____________；【答案】；变式2的最大值为____________；【答案】；例题2已知函数；（1）求的值；（2）若，，求的值；【答案】（1）；（2）；变式3已知，则（）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】先利用二倍角的余弦公式转化为，再利用商数关系求解.【详解】已知，所以，，故选：C．【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系式和二倍角公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.例题3已知，则的最小正周期和一个单调减区间分别为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用正余弦的二倍角公式和辅助角公式将f（x）进行化简，结合正弦函数图像的性质求解即可.【详解】，的最小正周期，由，解得，得单调减区间为，当时，得的一个单调减区间，故选：B．【点睛】思路点睛：该题考查正余弦二倍角公式和辅助角公式的应用，解题思路如下：（1）首先利用正、余弦倍角公式和辅助角公式化简函数解析式；（2）利用正弦函数的性质，求得其最小正周期和单调区间.变式3已知函数满足：，，且在上单调.（1）求的解析式；（2）若，，求.【答案】（1）；（2）.【分析】(1)根据题意知对称轴以及相邻的平衡位置得出周期即可得，再由对称轴得出，可得解析式.(2)由题意知，利用二倍角得出，根据角的范围得出，再利用，即可求得.【详解】（1）由知是对称轴，又，且在上单调，，即，，由是对称轴得，，又，故，；（2），，，，.【点睛】本题主要考查三角函数解析式的应用，余弦的二倍角公式的应用，同角三角函数基本关系是的应用，两角差的正弦公式的应用，根据三角函数的对称性和单调性是解决本题的关键，是中档题.知识点3：二倍角的正切公式【例题精讲】例题1化简的结果为__________；【答案】；例题2若，，且为第二象限角，则_________；【答案】；例题3已知，，且、为锐角，求的值；【答案】；知识点4：二倍角公式的变换灵活应用【二倍角公式的变换方式】=1\*GB3①配方变换：=2\*GB3②因式分解变换：=3\*GB3③降幂扩角变换：（符号看象限）=4\*GB3④升幂缩角变换：=5\*GB3⑤变式变换：题型一：直接应用二倍角公式例题1设，则【解析】又，，所以，，.变式1若，则【解析】由，得则.变式1化简()A． B． C． D．【答案】A【分析】由原式利用二倍角公式，和同角三角函数基本关系进行化简，即可得到结果.【详解】，所以.故选：A【点睛】本题主要考查三角函数的化简求值，涉及到同角三角函数基本关系和三角恒等变换，属于中档题.题型二：配方变换与因式分解变换例题2已知【解析】两边平方得：将用代替得：两边同除得：，解方程得;,代入二倍角公式得：.变式2已知【解析】两边平方得：化简得：，.题型三：降幂和升幂变换例题3化简【解析】原式=，化简得：由和差公式得：变式3：化简【解析】利用降幂公式化简得：，.半角公式：公式=1\*GB3①=2\*GB3②（符号看象限）=3\*GB3③例题1【答案】A变式1若且，则【答案】A例题2则【答案】2变式2已知则【答案】【题型优化测训】【题型1】：变形公式。『秒杀策略』:（升降幂公式）；。1.(高考题)=。【解析】：。2.(2013年新课标全国卷=2\*ROMANII)已知，则()A.B.C.D.【解析】：，选A。3.(2019年新课标全国卷=2\*ROMANII10)已知，，则=()A.B.C.D.【解析】：，，由知一求二得，选B。4.(高考题)已知函数，则是()A.最小正周期为的奇函数B.最小正周期为的奇函数C.最小正周期为的偶函数D.最小正周期为的偶函数【解析】：，选D。5.(高考题)已知函数。（1）求的最小正周期；（2）求在区间上的最大值和最小值。【解析】：（1），；(2)。6.(高考题)函数的最小正周期是，单调递减区间是。【解析】：，,。7.(2020年新高考江苏卷)已知=，则的值是。【解析】：原式=，得。8(高考题)已知函数。（1）求的最小正周期；（2）若在区间上的最大值为，求的最小值。【解析】：（1），所以的最小正周期为。（2）由（1）知，因为，所以。要使得在上的最大值为，即在上的最大值为1，所以，即，所以的最小值为。【题型2】：万能公式。『秒杀策略』:均可用表示：；；。1.(2010年新课标全国卷9)若，是第三象限的角，则()A. B. C.2 D.-2【解析】：法一：万能公式：是第三象限的角，是第二或第四象限角，==，，代入选A。法二：切化弦：。同乘以分子或分母可得：，，代入。2.(2011年新课标全国卷5)已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则=()A.B.C.D.【解析】：由题意可知，再由万能公式得=，选B。3.(2016年新课标全国卷=3\*ROMANIII)若，则=()A.B.C.D.【解析】：由万能公式得=，选D。4.(2018年新课标全国卷=3\*ROMANIII)函数的最小正周期为()A. B. C. D.【解析】：由万能公式得，最小正周期为。5.(2018年新课标全国卷=1\*ROMANI)已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则()A. B. C. D.【解析】：，得=，得。6.(2020年新高