高中数学 中点弦轨迹大题4类问题

中点弦轨迹大题4类问题一已知点求弦中点轨迹1．已知椭圆的弦所在直线过点，求弦中点的轨迹方程.2．已知椭圆．(1)过椭圆的左焦点引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；(2)求斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程；(3)求过点且被平分的弦所在直线的方程．3．给出双曲线.（1）求以为中点的弦所在的直线方程；（2）若过点的直线l与所给双曲线交于，两点，求线段的中点P的轨迹方程.4．已知椭圆＋y2＝1，（1）过A(2，1)的直线l与椭圆相交，求l被截得的弦的中点轨迹方程；（2）求过点P且被P点平分的弦所在直线的方程.二，已知斜率求中点弦轨迹5．已知椭圆，求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程.6．已知动直线和圆相交于点.（1）当时，求的值；（2）求弦的中点的轨迹方程.7．（1）若双曲线的一条渐近线方程为，且两顶点间的距离为6，求该双曲线方程．（2）一组平行直线与椭圆相交，求弦的中点的轨迹方程．三，圆、双曲线、抛物线中中点弦问题8．过原点O作圆x2+y2-8x=0的弦OA．(1)求弦OA中点M的轨迹方程；(2)延长OA到N，使|OA|=|AN|，求N点的轨迹方程.9．已知点M（2，0），圆C：x2+y2+4x=0.（1）求直线3x+4y+1=0与圆C：x2+y2+4x=0相交所得的弦长|MN|；（2）过点M的直线与圆C交于A，B两个不同的点，求弦AB的中点P的轨迹方程.10．已知双曲线（1）求以为中点的弦所在的直线的方程（2）求过的弦的中点的轨迹方程11．已知顶点在原点，对称轴为轴的抛物线，焦点在直线上.（1）求抛物线的方程；（2）过焦点的直线交抛物线于、两点，求弦的中点的轨迹方程.12．已知椭圆的C的方程：．(1)设P为椭圆C异于椭圆左右顶点上任一点，直线的斜率为，直线的斜率为，试证明为定值．(2)求椭圆中所有斜率为1的平行弦的中点轨迹方程．(3)设椭圆上一点，且点M，N在C上，且，D为垂足．证明：存在定点Q，使得为定值．四、综合应用13．已知椭圆E中心在坐标原点，方程为，直线与椭圆交于A、B两点.（1）当k=1时，若椭圆E上存在点C使得点O、A、C、B构成平行四边形OACB，求直线方程；（2）若直线过左焦点F(不与x轴重合)，弦AB中点为点P，过F作的垂线，且直线与直线OP交于点G，求点G所在的轨迹方程.14．已知为圆上一动点，点，线段的垂直平分线交线段于点.(1)求点的轨迹方程；(2)设点的轨迹为曲线，过点作曲线的两条互相垂直的弦，两条弦的中点，过点作直线的垂线，垂足为点，是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.15．已知动点与两个定点，的距离的比为，动点的轨迹为曲线．(1)求的轨迹方程，并说明其形状；(2)过直线上的动点分别作的两条切线（为切点），为弦的中点，直线分别与轴、轴交于点，求的面积的取值范围．16．设两点的坐标分别为，直线相交于点，且它们斜率之积为.(1)求点的轨迹方程；(2)若斜率为(其中)的直线过点，且与曲线交于点，弦的中点为，为坐标原点，直线与曲线交于点，求四边形的面积的取值范围.17．设A、B两点的坐标分别为，，直线AD，BD相交于点D，且它们斜率之积为．(1)求点D的轨迹方程C；(2)若斜率为k(其中k≠0)的直线l过点G(1,0)，且与曲线C交于点E、F，弦EF的中点为H，O为坐标原点，直线OH与曲线C交于点M、N，求四边形MENF的面积S的取值范围．

参考答案：1．【分析】设，弦的中点，将代入椭圆方程，点差法可得，时利用，可得答案；时，则直线方程为，代入椭圆方程解得坐标，满足上述方程，可得答案.【详解】设，弦的中点，则，将代入椭圆方程得，两式相减得，所以，当时，，因为，所以，则，整理得；当时，则直线方程为，代入椭圆方程解得所以满足上述方程，故点的轨迹方程.2．(1)（在椭圆内部分）(2)（在椭圆内部分）(3)【分析】（1）设弦与椭圆两交点坐标分别为、，设，进而分和，结合点差法求解即可；（2）结合（1）中(*)式，代入，，整理即可；（3）结合（1）中(*)式，代入，，即可得，进而得答案.（1）解：设弦与椭圆两交点坐标分别为、，设，当时，．当时，，两式相减得，即(*)，因为，，，所以，代入上式并化简得，显然满足方程.所以点P的轨迹方程为（在椭圆内部分）．（2）解：设，在（1）中式子里，将，，代入上式并化简得点Q的轨迹方程为（在椭圆内部分）．所以，点的轨迹方程（在椭圆内部分）.（3）解：在（1）中式子里，将，，代入上式可求得．所以直线方程为．3．（1）；（2）.【分析】（1）设是弦的中点，且，，利用点差法能求出以为中点的双曲线的弦所在的直线方程．（2）设，，，则，，两式相减，利用是中点及斜率相等可求得轨迹方程，从而得到其轨迹．【详解】（1）设弦的两端点为，，则，两式相减得到，又，，所以直线斜率.以为中点的双曲线的弦所在的直线方程为：，整理得．故求得直线方程为.（2）设，，，按照（1）的解法可得，①由于，，P，A四点共线，得，②由①②可得，整理得，检验当时，，也满足方程，故的中点P的轨迹方程是.【点睛】本题考查点差法求中点弦的计算，动点的轨迹问题，属于中档题.4．（1）x2－2x＋2y2－2y＝0(包含在椭圆＋y2＝1内部的部分)；（2）2x＋4y－3＝0.【分析】（1）根据点差法即可求出弦中点的轨迹方程；（2）根据点差法及中点的坐标即可求出弦所在的直线方程.【详解】（1）设弦的端点为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，其中点是M(x，y)，则x2＋x1＝2x，y2＋y1＝2y，由于点P，Q在椭圆上，则有：两式相减得：，所以，化简得x2－2x＋2y2－2y＝0(包含在椭圆＋y2＝1内部的部分).（2）由（1）可得弦所在直线的斜率为，因此所求直线方程是y－＝，化简得2x＋4y－3＝0.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，属于中档题．解题时要认真审题，注意点差法的合理运用.5．【分析】设出弦端点的坐标，及弦中点的坐标，根据点差法得到，再根据斜率为3求出弦中点的轨迹方程.【详解】设弦端点的坐标为，，弦的中点，则，，又，，两式相减得，即，即，

，即，由，得，点在椭圆内，它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为.故答案为：.6．（1），（2）【分析】（1）求出圆心到直线的距离，结合圆的半径为，利用勾股定理求解即可；（2）由直线系方程判断出直线过圆上的定点，设出弦中点的坐标，由中点坐标公式得到弦与圆的另一交点坐标，代入圆的方程即可得到答案．【详解】（1）时，直线方程为，圆心到直线距离，又因为圆的半径为，所以，（2）动直线经过定点，而点在圆上，设为．设弦的中点坐标为，则点的坐标为，把点代入圆方程：化简，得．因为直线与圆相交，所以不重合，则，所以弦的中点的轨迹方程为．【点睛】方法点睛：求轨迹方程常见方法：定义法、待定系数法、直接求轨迹法、反求法、参数方程法等等.7．（1）；（2）.【分析】（1）由渐近线方程得的值，又由顶点距离得，从而求得，得双曲线方程，注意分类讨论；（2）设与椭圆的两交点为，，，，弦中点为，交点坐标代入椭圆方程相减，利用直线斜率可得中点弦所在直线方程，求出直线与椭圆相交时，的范围，得弦的中点的轨迹方程．【详解】解：（1）若焦点在轴上，渐近线方程为，所以，又，所以所以双曲线的标准方程为若焦点在轴上，渐近线方程为，所以，又，所以所以双曲线的标准方程为（2）设与椭圆的两交点，，，的中点为，则，两式相减得：，即即，又，消去得，解得，所以弦的中点的轨迹方程为．8．(1)x2+y2-4x="0;"(2)x2+y2-16x=0【详解】试题分析：（1）设M点坐标为（x，y），那么A点坐标是（2x，2y），A点坐标满足圆x2+y2-8x=0的方程，所以，（2x）2+（2y）2-16x=0，化简得M点轨迹方程为x2+y2-4x=0．（2）设N点坐标为（x，y），那么A点坐标是（），A点坐标满足圆x2+y2-8x=0的方程，得到：（）2+（）2-4x=0，N点轨迹方程为：x2+y2-16x=0．考点：轨迹方程点评：中档题，本题利用“相关点法”（“代入法”），较方便的使问题得解．9．（1）2；（2）x2+y2=4，（x<﹣1）.【分析】（1）将圆的方程转化为标准形式，求出圆心与半径，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，从而可求出弦长|MN|=22.（2）当M与P不重合时，连结CP，则CP⊥MP，从而可得|CP|2+|MP|2=|CM|2，设P（x，y），利用两点间的距离公式列方程即可求解.【详解】（1）圆C：x2+y2+4x=0可得圆C：（x+2）2+y2=4，圆心坐标（﹣2，0）半径为2，圆的圆心到直线的距离为：d1，∴直线3x+4y+1=0与圆C：x2+y2+4x=0相交所得的弦长|MN|=22；（2）解：当M与P不重合时，连结CP，则CP⊥MP，∴|CP|2+|MP|2=|CM|2，设P（x，y），则（x+2）2+y2+（x﹣2）2+y2=16，化简得：x2+y2=4（x<﹣1），故弦AB中点P的轨迹方程是x2+y2=4，（x<﹣1）.【点睛】本题考查了直线与圆相交求弦长、求动点的轨迹方程，属于基础题.10．（1）（2）【分析】（1）设直线点斜式方程与双曲线方程联立，利用韦达定理以及中点坐标公式求斜率，即得结果，（2）设直线点斜式方程与双曲线方程联立，利用韦达定理以及中点坐标公式建立等量关系，即得轨迹方程.【详解】（1）由题意得所求直线斜率存在，设直线方程为与联立得所以，满足，所以（2）设中点为，当弦所在直线斜率存在时，则由（1）得当时，弦中点为，满足综上所求轨迹方程为【点睛】本题考查弦中点问题，考查基本分析求解能力，属中档题.11．（1）；（2）.【分析】（1）根据焦点在直线上，且抛物线的顶点在原点，对称轴是轴，令，求得焦点坐标即可.（2）设，，，根据、在抛物线上，有，，两式相减得到，再分直斜率存在和不存在求解.【详解】（1）焦点在直线上，且抛物线的顶点在原点，对称轴是轴，焦点的坐标为，设方程为，则，求得，则此抛物线方程为.（2）设，，因为、在抛物线上，所以，①，②，，①-②得，当直斜率存在时，.设直线方程：，代入，，得，。当直线斜率不存在，与重合，满足.。综上，弦的中点的轨迹方程：.【点睛】本题主要考查抛物线方程的求法以及弦中点轨迹问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.12．(1)(2)(3)存在点，使得为定值.【分析】（1）设，则，再根据斜率公式代入即可计算的值；（2）设弦的两个端点分别为，利用点差法可得，联立直线和椭圆，即可得的范围（3）设出点，的坐标，在斜率存在时设方程为,联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到的关系，进而得直线恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点的位置.（1）设，因为P为椭圆C上一点，所以，所以，所以，所以.故为定值.（2）设弦的两个端点分别为，的中点为.则，①，②①减②得：，.又，.由于弦中点轨迹在已知椭圆内，联立故斜率为的平行弦中点的轨迹方程：（3）设点，若直线斜率存在时，设直线的方程为：，代入椭圆方程消去并整理得：，可得，，因为，所以，即，根据,代入整理可得：，

所以，整理化简得，因为不在直线上，所以，故，于是的方程为，所以直线过定点直线过定点.当直线的斜率不存在时，可得，由得：，得，结合可得：，解得：或（舍）.此时直线过点.令为的中点，即，若与不重合，则由题设知是的斜边，故，若与重合，则，故存在点，使得为定值.13．（1）；（2）.【分析】(1)根据给定条件，联立直线l与椭圆E的方程，用m表示出点C的坐标即可作答；(2)写出直线l方程，联立直线l与椭圆E的方程求出P点坐标，再联立直线OP与直线的方程即可得解.【详解】（1）设，当k=1时，直线，由与联立消去y得：，于是得，，又OACB是平行四边形，则，，即点，而点C在椭圆E上，从而有，整理得，解得，所以直线方程为；（2）显然点，直线不垂直于y轴，设的方程为，由与联立并消去x得：，，由得，弦AB的中点，于是得直线OP方程，又且过点F，则方程为，显然，否则直线OP与直线重合，与它们相交矛盾，由得，即点G的横坐标恒为-4，所以点G所在的轨迹方程为.14．(1)(2)存在点，使得为定值【分析】（1）根据垂直平分线性质可知，可得，满足椭圆定义，由此可求得点轨迹方程；（2）若两条互相垂直的弦所在直线的斜率均存在，假设直线方程，与椭圆联立后可得两点坐标，设与轴交于，利用可求得恒过定点；当直线斜率不存在或两条垂直的弦其中一条斜率不存在时，可验证知依然恒过定点，由此可知恒过定点，可知在以中点为圆心，为直径的圆上，由此可确定满足题意的点.(1)由题意得：圆，则圆心，半径；设中点为，则为线段的垂直平分线，，，点轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，即，，，点轨迹方程为：；(2)①若两条互相垂直的弦所在直线的斜率均存在，则可设直线，由得：，设直线与曲线交于，，则，，；，直线，同理可得：，，设直线与轴交于点，则当直线斜率存在时，由得：，，即直线恒过点；当直线斜率不存在时，由得：，则，则直线恒过点；②若两条互相垂直的弦所在直线中有一条斜率不存在，则直线为轴，恒过；综上所述：直线恒过点；，在以中点为圆心，为直径的圆上，若，则为定值；存在点，使得为定值.【点睛】关键点点睛：本题考查利用椭圆定义求解轨迹方程、直线与椭圆问题中的定点定值问题的求解；本题求解定点的关键是能够确定直线过定点，得到动点所满足的轨迹为圆，进而可知其到圆心的距离为定值.15．(1)，曲线是以为圆心，半径为的圆；(2)【分析】（1）由可整理得到所求轨迹方程，由方程可知其轨迹为圆；（2）解法一：利用在以为直径的圆上，且在曲线上，可构造方程组整理得到，将直线方程与联立，结合韦达定理可得；由圆的性质可得，知在以为直径的圆上，利用圆上点到直线距离最大值和最小值的求法可确定的高的取值范围，进而得到面积的取值范围；解法二：利用过圆上一点的圆的切线方程的形式可整理得到坐标满足，即直线，之后作法与解法一相同.（1）设，由得：，化简得：，即，曲线是以为圆心，半径为的圆．（2）解法一：设，又，则的中点为，．以线段为直径的圆的方程为：，整理得：…①，由题意知：在以为直径的圆上．又在…②上，由②①得：．切点弦所在直线的方程为：，恒过坐标原点．由消去并整理得：，设，，则，点纵坐标，，，点与点，均不重合．为弦的中点，且为的圆心，由圆的性质可得：，即．点在以为直径的圆上，圆心为，半径．直线分别与轴、轴交于点，，，则；圆心到直线的距离，设的边上的高为，则：点到直线的距离的最小值为；点到直线的距离的最大值为．的最小值，最大值．的面积的取值范围是．解法二：设，，．由，可得处的切线方程为：．整理得：．又，整理得：．同理可得：处的切线方程为．又在两条切线上，，整理得：，的坐标满足直线的方程．即切点弦所在直线的方程为，则恒过坐标原点．由消去并整理得：，设，，则，点纵坐标，，，点与点，均不重合．为弦的中