高中数学必修一2.2基本不等式常见题型（含答案）

2.2基本不等式常见题型1.重要不等式，有，当且仅当时，等号成立.2.基本不等式如果，，则，当且仅当时，等号成立.叫做正数，的算术平均数，叫做正数，的几何平均数.基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.变形：使用原则：变形：一正：一般要求同为正；二定：或为定值；三相等：当且仅当时，不等式取得等号.3.与基本不等式相关的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同号)．(3)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．(4)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．4.利用基本不等式求最值已知，，那么（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值；（积定和最小）（2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值.（和定积最大）【例题】1.若x>1，则x＋eq\f(4,x－1)的最小值为________．解析：x＋eq\f(4,x－1)＝x－1＋eq\f(4,x－1)＋1≥4＋1＝5.当且仅当x－1＝eq\f(4,x－1)，即x＝3时等号成立．答案：52.(1)已知x＜0，则f(x)＝2＋eq\f(4,x)＋x的最大值为________．(1)∵x＜0，∴－x＞0，∴f(x)＝2＋eq\f(4,x)＋x＝2－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,－x)＋－x)).∵－eq\f(4,x)＋(－x)≥2eq\r(4)＝4，当且仅当－x＝eq\f(4,－x)，即x＝－2时等号成立．∴f(x)＝2－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,－x)＋－x))≤2－4＝－2，∴f(x)的最大值为－2.3.已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为________．解析：由x(3－3x)＝eq\f(1,3)×3x(3－3x)≤eq\f(1,3)×eq\f(9,4)＝eq\f(3,4)，当且仅当3x＝3－3x，即x＝eq\f(1,2)时等号成立．答案：eq\f(1,2)4.当x＞0时，则f(x)＝eq\f(2x,x2＋1)的最大值为________．解析：(1)∵x＞0，∴f(x)＝eq\f(2x,x2＋1)＝eq\f(2,x＋\f(1,x))≤eq\f(2,2)＝1，当且仅当x＝eq\f(1,x)，即x＝1时取等号．5.函数y＝eq\f(x2＋2,x－1)(x>1)的最小值是________．解析：∵x>1，∴x－1>0.∴y＝eq\f(x2＋2,x－1)＝eq\f(x2－2x＋2x＋2,x－1)＝eq\f(x2－2x＋1＋2x－1＋3,x－1)＝eq\f(x－12＋2x－1＋3,x－1)＝x－1＋eq\f(3,x－1)＋2≥2eq\r(x－1\f(3,x－1))＋2＝2eq\r(3)＋2.当且仅当x－1＝eq\f(3,x－1)，即x＝1＋eq\r(3)时，取等号．答案：2eq\r(3)＋26．已知t>0，则函数y＝eq\f(t2－4t＋1,t)的最小值为________．解析∵t>0，∴y＝eq\f(t2－4t＋1,t)＝t＋eq\f(1,t)－4≥2－4＝－2，且在t＝1时取等号．答案－27.若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，求ab及a＋b的取值范围．方法一：由ab＝a＋b＋3≥2eq\r(ab)＋3，即ab－2eq\r(ab)－3≥0.即(eq\r(ab)－3)(eq\r(ab)＋1)≥0.∵eq\r(ab)≥0，∴eq\r(ab)＋1≥1.故eq\r(ab)－3≥0，∴ab≥9.当且仅当a＝b＝3时取等号．又∵eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，∴ab＝a＋b＋3≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2.当且仅当a＝b＝3时取等号．即(a＋b)2－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b))－12≥0，(a＋b－6)(a＋b＋2)≥0.∵a＋b＋2＞0，有a＋b－6≥0，即a＋b≥6.∴a＋b的取值范围是[6，＋∞)．方法二：由ab＝a＋b＋3，则b＝eq\f(a＋3,a－1).ab＝a＋eq\f(4a,a－1)＝a＋4＋eq\f(4,a－1)＝a－1＋eq\f(4,a－1)＋5≥2eq\r(a－1·\f(4,a－1))＋5＝9，当且仅当a＝b＝3时取等号．∴ab的取值范围是[9，＋∞)．由ab＝a＋b＋3，得b＝eq\f(a＋3,a－1)，a＋b＝a＋eq\f(a＋3,a－1)＝a＋1＋eq\f(4,a－1)＝(a－1)＋eq\f(4,a－1)＋2≥2eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－1))·\f(4,a－1))＋2＝6，当且仅当a＝b＝3时取等号．∴a＋b的取值范围是[6，＋∞)．7.已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________．解析：由x＞0，y＞0，xy＝x＋2y≥2eq\r(2xy)，得xy≥8，于是由m－2≤xy恒成立，得m－2≤8，即m≤10.故m的最大值为10.一、利用基本不等式求最值1．当时，的最小值为（

）A．3 B． C． D．2．已知，则下列说法正确的是（

）A．有最大值0 B．有最小值为0C．有最大值为－4 D．有最小值为－43．已知，用基本不等式求的最小值时，有，则取得最小值时的值为（

）A． B． C． D．34．已知正数a，b满足，则的最大值为（

）．A． B．1 C．2 D．45．若正实数，满足，则的最小值为（

）A．3 B．4 C． D．6．已知，，且，则的最小值为（

）A．8 B． C．9 D．7．已知实数x，满足，则的最小值为（

）A．6 B． C． D．88．已知，则当_________时，取最大值为_________.9．已知正数、，满足，则的最小值__________．10．已知，且，则的最小值为________．11．（1）若，求的最小值；（2）已知，，且满足求的最小值．12．（1）已知x，y为正数，且，求的最小值；（2）已知，求的最大值．13．已知正数，满足(1)求的最小值；(2)求的最小值．14．（1）若，求的最小值，并求此时x的值；（2）设，求的最大值，并求此时x的值．15．已知正实数满足等式．(1)求的最小值；(2)求的最大值．16．（1）已知，求的最小值；（2）已知x，y是正实数，且，求xy的最大值.17．已知正数满足求：(1)的最小值；(2)的最小值.二、二次与二次（一次）商式最值18．当时，函数的最小值为（

）A．B．C． D．419．已知，且，则的最小值是（

）A．6 B．8 C．14 D．1620．已知，的最小值为____________.21．函数的最小值为______．22．求解下列各题：（1）求的最大值；（2）求的最小值.三、基本不等式恒成立问题23．若两个正实数、满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B．或C． D．或24．已知，，若恒成立，则实数t的可能取值为（

）A． B． C．1 D．225．当，，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（

）A． B．C． D．26．若对于任意，恒成立，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．27．已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（

）A． B． C． D．28．若对任意，恒成立，则实数的取值范围是___________.四、课后练习29．若，则的最大值为（

）A．9 B．16 C．49 D．6430．已知，且满足，则有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值1 D．最小值131．已知，则的最大值为___________.32．函数的最小值为___．33．（1）已知，求的最小值；（2）已知，求的最大值．34．（1）已知，，且，求xy的最大值；（2）若，求的最小值．35．（1）已知，求的最大值；（2）已知，，若的最小值为10，求实数k的值．36．已知，.(1)若，求的最大值；(2)若，若恒成立，求实数m的取值范围.2.2基本不等式参考答案：1．D【分析】依据均值定理去求的最小值即可.【详解】由（当且仅当时等号成立．）可得当时，的最小值为故选：D2．B【分析】由均值不等式可得，分析即得解【详解】由题意，，由均值不等式，当且仅当，即时等号成立故，有最小值0故选：B3．C【分析】利用基本不等式取等号的条件进行求解.【详解】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，即取得最小值．故选：C4．D【分析】利用基本不等式化为即可．【详解】解：当，为正实数时，由，得，当且仅当时取等号，的最大值为4．故选：D．5．B【分析】利用基本不等式求出的最小值，进而可得的最小值.【详解】，可得，，所以，所以的最小值为，故选：B6．C【分析】由题得，再利用基本不等式“1”的代换求最值.【详解】因为，，，所以，∴，当且仅当取得等号，则的最小值为9.故选：C7．C【分析】根据“1”的变形技巧化简，再运用均值不等式求解即可.【详解】由条件可得．当且仅当，即时等号成立，故选：C．8．

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##【分析】利用基本不等式即可得出最值．【详解】，，当且仅当时取等号．取最大值时的值为．故答案为：，．9．【分析】首先由等式得，将其代入中，再使用基本不等式即可求出的最小值.【详解】，，则，当且仅当时等号成立.故答案为：.10．【分析】先将变形得到，化简目标表达式并利用基本不等式求其最小值.【详解】因为实数，满足，所以，所以因为，所以，，所以，当且仅当即时取等号，所以的最小值为：.故答案为：.11．（1）；（2）【分析】（1）由题得，再利用基本不等式计算求得最值即可；（2）由题得，展开计算，再利用基本不等式计算求得最值即可．【详解】解：（1）因为，所以，，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为；（2）因为，，，所以，当且仅当即，时等号成立，所以的最小值为12．（1）7；（2）【分析】（1）先根据，利用基本不等式求的最小值，即可得的最小值.（2）由根据基本不等式即可得最大值.【详解】（1）当且仅当，即时取等号.所以的最小值为9，所以的最小值为7.（2）因为，所以，，当且仅当，即时取等号.所以的最大值为.13．(1)1.(2).【分析】（1）利用基本不等式求解即可；（2）由已知得，展开后结合基本不等式求解即可.（1）因为，所以，解得，当且仅当时等号成立，所以，的最小值为1.（2）因为，由已知得，当且仅当，且时等号成立，即.所以的最小值为.14．（1）的最小值为1，此时；（2）的最大值为，此时.【分析】（1）利用换元结合基本不等式运算求解；（2）根据不等式运算求解.【详解】（1）令，则当且仅当，即时等号成立∴的最小值为1，此时（2）∵，当且仅当，即时等号成立∴的最大值为，此时15．(1)(2)【分析】（1）根据，利用基本不等式可求得结果；（2）根据，利用基本不等式可求得结果.（1），，，（当且仅当，即，时取等号），的最小值为.（2），，，（当且仅当，即，时取等号），的最大值为.16．（1）9；（2）.【分析】利用基本不等式可求（1）（2）的最值.【详解】（1）,因为，故，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，故的最小值为9.（2）因为x，y是正实数，由基本不等式可得，即，当且仅当时等号成立，故xy的最大值为.17．(1)；(2).【分析】(1)根据题意利用基本不等式将等式化为，解不等式即可；(2)根据题意得，利用基本不等式求的最值.（1）由题意知，为正数，，当且仅当，即时等号成立，则，解得或(舍去)，所以，即的最小值为；（2）由题意知，为正数，，因为，所以则，，，，即，当且仅当，即时等号成立；所以，的最小值为.18．B【分析】使用变量分离，将化为，使用基本不等式解决.【详解】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立．故选：B．19．A【分析】利用基本不等式可求解.【详解】因为，所以.因为，所以，所以，即，当且仅当时，等号成立，故的最小值是6.故选：A20．【分析】将所求代数式变形为，结合基本不等式，即可求解.【详解】由，则，当且仅当时，即时取等号，此时取得最小值．故答案为：21．7【分析】换元转化成基本不等式的形式，利用积为定值即可求和的最小值.【详解】令，；则(当且仅当，即时，等号成立)，故函数，的最小值为故答案为：722．（1）；（2）8.【分析】（1）因为，所以利用均值不等式即可求解；（2）因为，所以利用均值不等式即可求解.【详解】解：（1）因为，又，所以，所以，当且仅当，即时取等号，故y的最大值为；（2）由题意，，因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，故y的最小值为8.23．C【分析】将代数式与相乘，利用基本不等式可求得的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可.【详解】因为两个正实数、满足，则，当且仅当时，等号成立，故，即，解得.故选：C.24．CD【分析】利用基本不等式求得的最大值，由此求得的取值范围，进而求得正确答案.【详解】依题意，，，所以，当且仅当时等号成立，由于恒成立，所以，所以CD选项符合，AB选项不符合.故选：CD25．A【分析】根据题意，把问题转化为求的最小值，由，对进行恒等变形，利用基本不等式求出其最小值为，解即得答案.【详解】由恒成立，需求的最小值，因为，，且满足，所以当且仅当即时取到最小值，所以,化简得解得.故选：A.26．B【分析】原问题等价于，利用均值不等式求出的最大值即可得答案.【详解】解：因为对于任意，恒成立，所以，因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，所以，即a的取值范围为，故选：B.27．B【分析】分离参数，求不含参数这一边的最小值即可求解．【详解】，，若不等式恒成立，恒成立，当且仅当时取等号．，即的最大值为．故选：B．28．【分析】先分离参数，再运用基本不等式可求解.【详解】因为对任意，恒成立，只需满足，因为，所以，当且仅当，即时取等号.故实数的取值范围是.故答案为：29．B【分析】利用基本不等式计算可得.【详解】解：因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号；故选：B30．A【分析】由基本不等式即可求解.【详解】，当且仅当，即时等号成立.故选：A.31．##0.2【分析】利用均值不等式即可【详解】，，当且仅当，即时，等号成立.故答案为：32．【分析】令，则，化简得到，集合基本不等式，即可求