高中数学高一 期中测试卷（人教A版）

高一数学第一学期期中测试卷考试范围：第1章-4.2指数函数；考试时间：120分钟；注意事项：答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合，，2，，则A．，2， B．，1，2， C．，2，3， D．，1，2，3，2．“”是“”的条件A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要3．若函数，则的值为A．5 B． C． D．24．函数的定义域是A．， B．，， C． D．5．若．，则与的大小关系为A． B． C． D．无法确定6．图中，，分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是A．，3， B．，3， C．，，3 D．，，37．若，，，则、、的大小关系是A． B． C． D．8．，对于，，，都有成立，求的取值范围A． B． C． D．二．多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9．若，，，则下列命题正确的是A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．命题“，”的否定是“，”10．已知二次函数，且不等式的解集为，则A． B．方程的两个根是1，3 C． D．若方程有两个相等的实数根，则11．对于函数，以下结论正确的是A．的定义域为 B．值域为 C．是偶函数 D．在，上是减函数12．已知函数，实数，满足（a）（b），则A． B．，，使得 C． D．第Ⅱ卷（非选择题）三．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上）13．．14．已知，则的最大值为．15．函数在，上的值域是．16．某公园设计了一座八边形的绿化花园，它的主体造型平面图（如图）是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字型区域，计划在正方形上建一座花坛，造价为99元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为8元；在四个矩形（图中阴影部分）上不做任何设计．设总造价为（单位：元），长为（单位：，则绿化花园总造价的最小值为元．四．解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．(本题10分）已知集合，不等式的解集为．（1）当时，求，；（2）若，求实数的取值范围．18．(本题12分）若正数，满足，．（1）当时，求的最小值；（2）当时，求的取值范围．19．(本题12分）已知函数是指数函数．（1）求，的值；（2）求解不等式．20．(本题12分）已知函数是定义域为的奇函数，当时，．（1）求函数的解析式；（2）判断函数在区间上的单调性，并根据函数单调性的定义进行证明．21．(本题12分）已知某污水处理厂的月处理成本（万元）与月处理量（万吨）之间的函数关系可近似地表示为．当月处理量为120万吨时，月处理成本为49万元．该厂处理1万吨污水所收费用为0.9万元．（1）该厂每月污水处理量为多少万吨时，才能使每万吨的处理成本最低？（2）请写出该厂每月获利（万元）与月处理量（万吨）之间的函数关系式，并求出每月获利的最大值．22．(本题12分）已知函数．（Ⅰ）当时，求的值域；（Ⅱ）若的定义域为，，求实数的值；（Ⅲ）若的定义域为，求实数的取值范围．

2023-2024学年高一第一学期期中考试数学试题参考答案：一．选择题（共8小题）1．已知集合，，2，，则A．，2， B．，1，2， C．，2，3， D．，1，2，3，【答案】【分析】根据已知条件，结合并集的定义，即可求解．【解答】解：集合，1，，，2，，则，1，2，．故选：．【点评】本题主要考查并集及其运算，属于基础题．2．“”是“”的条件A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要【答案】【分析】根据不等式的性质，结合充分必要条件的定义，对两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案．【解答】解：若，且，则不能推出，反之若，则必定是正数，可推出．因此，“”是“”的必要而不充分条件．故选：．【点评】本题主要考查不等式的性质、充分必要条件的判断等知识，属于基础题．3．若函数，则的值为A．5 B． C． D．2【答案】【分析】根据分段函数的意义，经过反复代入函数解析式即可最后求得函数值【解答】解：依题意，（1）故选：．【点评】本题主要考查了分段函数的意义及分段函数函数值的求法，代入求值时确定好代入的解析式是解决本题的关键4．函数的定义域是A．， B．，， C． D．【答案】【分析】根据已知条件，列出不等式组，即可求解．【解答】解：，则，解得且．故选：．【点评】本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．5．若．，则与的大小关系为A． B． C． D．无法确定【答案】【分析】根据不等式性质，利用作差法可解．【解答】解：因为．，则，又根据二次函数知识可知，恒成立，则．故选：．【点评】本题考查不等式性质，属于基础题．6．图中，，分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是A．，3， B．，3， C．，，3 D．，，3【答案】【分析】根据幂函数在第一象限内的图象性质，结合选项即可得出指数的可能取值．【解答】解：由幂函数在第一象限内的图象知，图中对应的，对应的，对应的；结合选项知，指数的值依次可以是，和3．故选：．【点评】本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，也考查了数形结合思想，是基础题．7．若，，，则、、的大小关系是A． B． C． D．【答案】【分析】根据已知条件，结合幂函数的单调性，即可求解．【解答】解：，，，在第一象限内是增函数，，故，即．故选：．【点评】本题主要考查幂函数的性质，属于基础题．8．，对于，，，都有成立，求的取值范围A． B． C． D．【答案】【分析】由题意可知函数是上的减函数，则函数的两段函数均为减函数，且有，由此可得到关于实数的不等式组，解之即可得解．【解答】解：因为定义在上的函数满足对，，，都有，所以函数是上的减函数，则函数和均为减函数，且有，即，解得，故实数的取值范围是．故选：．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查不等式问题，是基础题．二．多选题（共4小题）9．若，，，则下列命题正确的是A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．命题“，”的否定是“，”【答案】【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及命题否定的定义，即可求解．【解答】解：对于，，则，即，故正确；对于，若，当时，，故错误；对于，，，故，故正确；对于，“，”的否定是“，”，故正确．故选：．【点评】本题主要考查不等式的性质，属于基础题．10．已知二次函数，且不等式的解集为，则A． B．方程的两个根是1，3 C． D．若方程有两个相等的实数根，则【答案】【分析】根据不等式的解集为得到，且，再结合有两个相等的根，运用根的判别式列出关于的方程并解之，可得实数的值．【解答】解：不等式的解集为，不等式的解集为，且，故正确；错误；由韦达定理得，即，故正确；，则方程有两个相等的根可化为有两个相等的实数根，则△，解得或，又由，则，故正确．故选：．【点评】本题考查二次函数的性质以及二次不等式的解法，关键掌握一元二次不等式的解法和根的判别式等知识，属于中档题．11．对于函数，以下结论正确的是A．的定义域为 B．值域为 C．是偶函数 D．在，上是减函数【答案】【分析】根据奇偶性和解析式，画出图象，即可对各选项作出判断．【解答】解：，对于，都有意义，所以的定义域为，又，为偶函数，当时，，当时，图象与时的图象关于轴对称，作出图象，如图所示，对于的定义域为，故正确；对于：由函数图象可知，，，故错误；对于为偶函数，故正确；对于：由函数图像可知，当时，为减函数，故正确；故选：．【点评】本题主要考查了函数的定义域，值域，奇偶性及单调性的判断，属于基础题．12．已知函数，实数，满足（a）（b），则A． B．，，使得 C． D．【答案】【分析】根据函数解析式，作函数的图象，根据图象的特征，可得选项、的正误，根据基本不等式，可得选项、的正误．【解答】解：画出函数的图象，如图所示，由图知，则，故错，对，由基本不等式可得，所以，则，故错，对．故选：．【点评】本题主要考查了指数函数的图象变换，考查了基本不等式的应用，属于中档题．三．填空题（共4小题）13．．【答案】．【分析】根据已知条件，结合指数幂的运算法则，即可求解．【解答】解：原式．故答案为：．【点评】本题主要考查指数幂的运算法则，属于基础题．14．已知，则的最大值为．【答案】．【分析】利用基本不等式的变形公式求解可得答案．【解答】解：因为，所以，则，当且仅当，即时，等号成立，故的最大值为．故答案为：．【点评】本题考查基本不等式的应用，考查学生归纳推理与数学运算的能力，属于中档题．15．函数在，上的值域是，．【答案】，．【分析】先化简函数的解析式，再利用函数的单调性求函数的值域．【解答】解：当时，函数在，上是增函数，故当时，函数取得最小值为1，又，故函数的值域为，，故答案为：，．【点评】本题主要考查利用函数的单调性求函数的值域，属于中档题．16．某公园设计了一座八边形的绿化花园，它的主体造型平面图（如图）是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字型区域，计划在正方形上建一座花坛，造价为99元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为8元；在四个矩形（图中阴影部分）上不做任何设计．设总造价为（单位：元），长为（单位：，则绿化花园总造价的最小值为1440元．【答案】1440．【分析】设长为，则，求出，再结合各个区域的造价求得，利用基本不等式可得最值．【解答】解：设长为，则，即，，，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以当时，取最小值为1440，故答案为：1440【点评】本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．四．解答题（共6小题）17．已知集合，不等式的解集为．（1）当时，求，；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1），；（2）．【分析】（1）时，得出集合，并求出集合，然后进行并集和交集、补集的运算即可；（2）根据条件得出，然后讨论是否为空集，是空集时，得出的范围；不是空集时，得出关于的不等式组，解出的范围，最后即可得出的取值范围．【解答】解：（1）时，，且，，或，；（2），，①时，，解得，满足；②时，，解得，综上得，的取值范围为．【点评】本题考查了交集、并集和补集的运算，子集的定义，分类讨论的思想，是基础题．18．若正数，满足，．（1）当时，求的最小值；（2）当时，求的取值范围．【答案】（1）25；（2），．【分析】（1）由已知可得，然后利用乘1法，结合基本不等式可求；（2）由已知，结合基本不等式即可直接求解．【解答】解：（1）当时，，所以，所以，当且仅当且，即时取等号；（2）当时，，当且仅当，即，时取等号，解得，故的取值范围为，．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．19．已知函数是指数函数．（1）求，的值；（2）求解不等式．【答案】（1）且；（2）当时，不等式解集为；当时，不等式解集为．【分析】（1）根据指数函数的定义求出，的值即可；（2）问题转化为，通过讨论的范围，得到关于的不等式，解出即可．【解答】解：（1）是指数函数，且．且；（2）由（1）得，则即，①当时，单调递增，则不等式等价于，解得，②当时，单调递减，则不等式等价于，解得，综上，当时，不等式解集为；当时，不等式解集为．【点评】本题考查了指数函数的定义，考查指数函数的性质以及分类讨论思想，是一道中档题．20．已知函数是定义域为的奇函数，当时，．（1）求函数的解析式；（2）判断函数在区间上的单调性，并根据函数单调性的定义进行证明．【答案】（1）；（2）函数在区间上是减函数，证明见解析．【分析】（1）当时，代入奇函数的定义可求出．（2）代入时的解析式，再由函数单调性的定义求解．【解答】解：（1）设，则，，又因为为奇函数，，，即，函数解析式为（2）函数在区间上是减函数．证明：设，，且，有由，，得，，所以，，又，得，于是，即，函数在区间上单调递减．【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的判断以及应用，关键是掌握函数奇偶性与单调性的定义，属于中档题．21．已知某污水处理厂的月处理成本（万元）与月处理量（万吨）之间的函数关系可近似地表示为．当月处理量为120万吨时，月处理成本为49万元．该厂处理1万吨污水所收费用为0.9万元．（1）该厂每月污水处理量为多少万吨时，才能使每万吨的处理成本最低？（2）请写出该厂每月获利（万元）与月处理量（万吨）之间的函数关系式，并求出每月获利的最大值．【答案】（1）每月污水处理量为100万吨时，成本最低；（2），最大值为75万元．【分析】（1）先求得，利用基本不等式求得正确答案．（2）先求得的解析式，然后根据二次函数的性质求得正确答案．【解答】解：（1）依题意，，解得，所以，，当且仅当时等号成立，所以当每月污水处理量为100万吨时，每万吨的处理成本最低．（2）依题意，，当万吨时，取得最大值为万元．【点评】本题考查了基本不等式与二次函数的性质应用问题，是中