高中数学人教A版（2019） 选择性必修 第二册 5.2导数的运算 课时练习 含答案

高中数学高二人教A版（2019）选择性必修第二册5.2导数的运算课时练习一、单选题1．函数y＝x2cos2x的导数为（

）A．y′＝2xcos2x－x2sin2xB．y′＝2xcos2x－2x2sin2xC．y′＝x2cos2x－2xsin2xD．y′＝2xcos2x＋2x2sin2x2．下列求导运算不正确的是（

）A． B．C． D．3．下列求导运算正确的是（

）A． B．C． D．4．曲线在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．5．若函数，则的解集为（

）A． B．C． D．6．点P在函数的图像上，若满足到直线的距离为的点P有且仅有3个，则实数a的值为（

）A．5或 B．1或3 C．1 D．57．曲线在处的切线的倾斜角为（

）A． B． C． D．8．函数的导函数在区间上的图象大致为（

）A． B．C． D．9．下列求导计算正确的是（

）A． B．C． D．10．已知，则（

）A．2018 B． C．2019 D．11．已知函数，则的值为（

）A． B． C． D．12．设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“严格凸函数”．在下列函数中，在上为“严格凸函数”的是（

）A． B． C． D．二、填空题13．设函数，，则实数a＝______．14．设函数．若，则a=_________．15．曲线在点处的切线方程为___________．16．丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.定义：函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上的“严格凸函数”，称区间为函数的“严格凸区间”.则下列正确命题的序号为______.①函数在上为“严格凸函数”；②函数的“严格凸区间”为；③函数在为“严格凸函数”，则的取值范围为.17．若曲线在点处的切线的斜率为2，则______．三、解答题18．求下列函数的导数，其中：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9)；(10)．19．在①是三次函数，且，，，，②是二次函数，且这两个条件中任选一个作为已知条件，并回答下列问题.（1）求函数的解析式；（2）求的图象在处的切线l与两坐标轴围成的三角形的面积.20．已知函数.（1）求这个函数的导数；（2）求这个函数的图象在点处的切线方程.21．已知函数.（1）若，求a的值；（2）若，求证：当时，，其中e为自然对数的底数.22．已知函数．（1）求；（2）求曲线过点的切线的方程．23．已知函数.（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=lnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线的切线.答案：1．B【分析】利用复合函数的导数运算法则计算即可．【详解】y′＝(x2)′cos2x＋x2(cos2x)′＝2xcos2x＋x2(－sin2x)·(2x)′＝2xcos2x－2x2sin2x故选：B2．C【分析】根据基本初等函数的导数以及求导运算法则判断即可.【详解】由基本初等函数导数可知：，，故AB正确；由复合函数求导法则可知：，故C错误；又幂函数的导数可知：，故D正确；故选：C.3．B【分析】根据导数公式依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A选项，，故A选项错误；对于B选项，，故B选项正确；对于C选项，，故C选项错误；对于D选项，，故D选项错误.故选：B4．C【分析】求出切点坐标以及切线的斜率，利用点斜式可得出所求切线的方程.【详解】对函数求导得，则所求切线斜率为，且，因此，曲线在点处的切线方程为，即.故选：C.5．B【分析】求导函数，解不等式，结合定义域即可．【详解】函数的定义域为，由，得．故选：B．6．D【分析】在曲线的点作切线，使得此切线与直线平行，得，进而根据题意得点到直线的距离为时满足条件，根据点到直线的距离公式得或，再结合图形分析即可得答案.【详解】过函数的图象上点作切线，使得此切线与直线平行，因为，于是，所以，∴，于是当点到直线的距离为时，则满足到直线的距离为的点P有且仅有3个，∴，解得或，又当时，函数的图象与直线不相交（如图），从而只有一个点到直线距离为，所以不满足；当时，函数的图象与直线相交，满足条件.故选：D．7．C【分析】求出函数的导数，再由导数的几何意义即可得切线斜率，进而得解.【详解】因，则，当时，，由导数的几何意义知，曲线在处的切线斜率为1，其倾斜角为，所以切线的倾斜角为.故选：C8．C【分析】求导，由导函数的奇偶性可判断【详解】∵，∴，∴，∴为奇函数，故选：C.9．B【分析】利用导数的四则运算和复合函数的导数，即得解【详解】，A错误；，B正确；，C错误；，D错误．故选：B．10．B【分析】求出，令，即得.【详解】，，令，.故选：.11．B【解析】根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法求出函数的导数，再代入计算即可；【详解】因为所以所以故选：B12．D【分析】根据基本初等函数的导数公式求出函数的导函数，一一判断即可；【详解】解：对于A：，则，恒成立，故A错误；对于B：，则，，所以当时恒成立，故B错误；对于C：，则，则，所以当时，当时，故C错误；对于D：则，，所以当时恒成立，故D正确；故选：D13．2；【分析】先对求导，再利用即可求解.【详解】，所以，解得，故答案为：.14．1【分析】由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a的方程，解方程即可确定实数a的值【详解】由函数的解析式可得：，则：，据此可得：，整理可得：，解得：.故答案为：.15．.【分析】本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程【详解】详解：所以，所以，曲线在点处的切线方程为，即．16．①②【分析】根据题干中给出的定义逐项检验后可得正确的选项.【详解】的导函数，，故在上恒成立，所以函数在上为“严格凸函数”，所以①正确；的导函数，，由可得，解得，所以函数的“严格凸区间”为，所以②正确；的导函数，，因为为上的“严格凸函数”，故在上恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立，故，所以③不正确.所以正确命题为：①②.故答案为：①②.17．【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求得答案.【详解】由题意可得，故，故答案为：18．(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)【分析】（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）、（7）、（8）、（9）、（10）结合导数运算和复合函数导数求得函数的导数.（1）因为，所以；（2）因为，所以；（3）因为，所以；（4）因为，所以；（5）因为，所以；（6）因为，所以；（7）因为，所以；（8）因为，所以；（9）因为，所以；（10）因为，所以．19．（1）答案见解析；（2）答案见解析.【分析】(1)根据所选条件，设出函数解析式，借助待定系数法求解即得；(2)利用(1)中函数，借助导数的几何意义求出切线l的方程即可计算作答.【详解】选①，（1）依题意，设，则，由已知得，解得，，，，所以函数的解析式是；（2）由(1)知，，，则有切线l的方程为，当时，，当时，，所以切线l与两坐标轴围成的三角形的面积.选②，（1）依题意，设，则，于是得：，化简得，因为上式对任意x都成立，所以，解得，，，所以函数的解析式为；（2）由(1)知，，则，又，则有切线l的方程为，当时，，当时，，所以切线l与两坐标轴围成的三角形的面积.20．（1）；（2）.【分析】（1）利用导数的运算法则可求得原函数的导数；（2）求出切点坐标与切线斜率，利用点斜式可得出所求切线的方程.【详解】（1）因为，则；（2）所求切线斜率为，当时，，切点坐标为，因此，函数的图象在点处的切线方程为.21．（1）1；（2）证明见解析.【分析】（1）求出,根据题意可得，解方程即可求出结果；（2）求出，根据不等式的性质即可证出结论.【详解】（1）因为，，所以，解得.（2）函数的定义域是，，所以，当，时，，，可得.22．（1）；（2）或．【分析】（1）利用函数的求导法则可求得；（2）设所求切点的坐标为，利用导数求出所求切线的方程，将点的坐标代入切线方程，求出的值，可得出切点的坐标，进而可求得所求切线的方程.【详解】（1），则；（2）设切点为，，所以，切线的斜率为，所求切线方程为．将，代入切线方程，得．整理得，解得或.当时，，切线方程为，化简得；当时，，切线方程为，化简得．综上所述，曲线过点的切线的方程为或．23．（1）函数在和上是单调增函数，证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）对函数求导，结合定义域，判断函数的单调性；（2）先求出曲线在处的切线，然后求出当曲线切线的斜率与斜率相等时，证明曲线切线在纵轴上的截距与在纵轴的截距相等即可.【详解】（1）函数的定义域为，，因为函数的定义域为，所以，因此函数在和上是单调增函数；当，时，，而，显然当，函数有零点，而函数在上单调递增，故当时，函数有唯一的零点；当时，，因为，所以函数在必有一零点，而函数在上是单调递增，故当时，函数有唯一的零点综上所述，函数的定义域内有2个零点；（2）[方法一]【最优解：分别求得两条方程，比较常数项说明切线重合】设在点处的斜率为．切线的方程为，即．由，得．所以曲线上斜率为的切线的切点为．切线的方程为，即．由于，故曲线y=lnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线的切线.[方法二]【利用切线的斜率相等进行证明】由题设知，即，曲线在点处的切线l的方程为．设在曲线上取一点，若其在点B处的斜率与直线l的斜率相等，则有，即，故．将点B的坐标代入直线l的方程中，，整理得，上式显然成立．则直线l过点B，即曲线在点处的切线也是曲线的切线．[方法三]【利用不同的方法计算斜率证明切线重合】因为，所以由，设切点坐标为，解得．因此，曲线在点处切线的斜率也是．因为，所以，因此，曲线在点处的切线也是曲线的切线．[方法四]【构造函数讨论单调性证明切线重合】