高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册 5.1导数的概念及其意义（ 含解析）

人教A版（2019）选择性必修第二册5.1导数的概念及其意义一、单选题1．已知函数，在区间内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数a的最小值为（

）A．-4 B．-2 C．-1 D．42．已知函数，则该函数在处的切线斜率为（

）A．0 B．1 C．2 D．33．函数在区间上的平均变化率为（

）A．1 B．3 C．4 D．24．函数在[0，π]上的平均变化率为A．1 B．2 C．π D．5．某地响应全民冰雪运动的号召，建立了一个滑雪场．该滑雪场中某滑道的示意图如下所示，点、点分别为滑道的起点和终点，它们在竖直方向的高度差为．两点之间为滑雪弯道，相应的曲线可近似看作某三次函数图像的一部分．综合考安全性与趣味性，在滑道的最陡处，滑雪者的身体与地面约成的夹角．若还要兼顾滑道的美观性与滑雪者的滑雪体验，则、两点在水平方向的距离约为（

）A． B． C． D．6．曲线在点处的切线斜率为8，则实数的值为（

）A． B．6 C．12 D．7．若经过点P(2,8)作曲线的切线，则切线方程为（

）A． B．C．或 D．或8．函数在处的切线方程为（

）A． B． C． D．9．函数的图像在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．10．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（

）A． B． C． D．11．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段，，上的平均速度分别为，，，则三者的大小关系为（

）A． B．C． D．12．已知M为抛物线上一点，C在点M处的切线交C的准线于点P，过点P向C再作另一条切线，则的方程为（

）A． B． C． D．二、填空题13．曲线在点处的切线方程为___________．14．已知函数，则______．15．若直线与曲线相切，则_________．16．曲线在处的切线的倾斜角为，则________．三、解答题17．已知函数满足，.（1）若在上恒成立，求a，c，d的值；（2）已知曲线在处的切线与曲线相切，求a的值.18．设曲线上任意一点处的切线为，若总存在曲线上某点处的切线，使得，求实数的取值范围．19．已知函数，．（1）求函数的单调区间；（2）设函数，存在实数，使得不等式成立，求的取值范围．20．求函数的图象上过原点的切线方程．21．已知函数．（1）若，求的单调区间；（2）若在上有两个极值点、．①求实数的取值范围；②求证：．参考答案：1．A将不等式转化为恒成立，表示函数的图象在内任意两点间连线的斜率大于-1，即的图象在内任意两点间连线的斜率大于-1.求导函数，进行参变分离得在内恒成立.由基本不等式可求得a的最小值.【详解】解：在区间内任取两个实数，，且，不等式恒成立，即不等式恒成立，它表示函数的图象在内任意两点间连线的斜率大于-1，即的图象在内任意两点间连线的斜率大于-1.所以在内恒成立，即在内恒成立.当时，，则，当且仅当时等号成立，所以，a的最小值为-4.故选：A.2．C利用导数的定义求解.【详解】因为，，所以斜率，．故选：C3．A直接求解平均变化率即可.【详解】．故选：A．4．C根据平均变化率的公式，计算出平均变化率.【详解】平均变化率为.故选：C本小题主要考查平均变化率的计算，属于基础题.5．D以滑道的最陡处为原点建立平面直角坐标系，由题意可知，为的中点，设三次函数的解析式为，其中，设点，则，在滑道最陡处，设滑雪者的身体与地面所成角为，由题意得出，，求出，即可得解.【详解】以滑道的最陡处为原点建立平面直角坐标系，由题意可知，为的中点，设三次函数的解析式为，其中，设点，则，，在滑道最陡处，，则的对称轴为直线，则，可得，则，，在滑道最陡处，设滑雪者的身体与地面所成角为，则，所以，，，由图可知，可得，，则.故选：D.6．A先求导函数,再利用导数的几何意义,建立方程,即可求得的值.【详解】由，得，则曲线在点处的切线斜率为，得.故选：A.本题考查导数的几何意义，函数导数的计算，考查学生的计算能力，属于基础题.7．D因为P点在曲线上，所以需要分两种情况讨论，P点为切点和P点不为切点，分别根据导数的几何意义求解切线方程即可.【详解】①易知P点在曲线上，当P点为切点时，.②当P点不是切点时，设切点为，由定义可求得切线的斜率为.∵A在曲线上，∴，∴，∴，∴，解得或(舍去)，∴，k=3，此时切线方程为y+1=3(x+1)，即.故经过点P的曲线的切线有两条，方程为或.故选：D导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．8．C先求出导函数，代入可得切线斜率，再求出切点，进而可得切线方程.【详解】解：由已知，则，又时，，则切线方程为.故选：C.本题考查利用导数求切线方程，是基础题.9．B求得函数的导数，计算出和的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.【详解】，，，，因此，所求切线的方程为，即.故选：B.本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题10．D求出函数的导数和在处的切线斜率，再由与直线垂直斜率乘积为可得答案.【详解】，，切线的斜率为，因为切线与直线垂直，所以，解得.故选：D.11．A结合图象，利用平均变化率的定义求解.【详解】因为，，，由图象知，所以．故选：A12．D先根据C在点M处的切线，求出的值，再求得点，然后再求过点抛物线的切线方程.【详解】设，由题意知，，则，C在点M处的切线，所以所以，则，将代入的方程可得，即抛物线的准线方程为：则.设与曲线C的切点为，则，解得或（舍去），则，所以的方程为.故选：D本题考查利用导数求曲线在某点和过某点的切线方程，属于中档题.13．.本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程【详解】详解：所以，所以，曲线在点处的切线方程为，即．准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．14．12由导数的定义计算即可.【详解】故答案为：1215．设切点为，根据导数的几何意义可推导得到，根据切点坐标同时满足直线与曲线方程可构造方程求得，代入可得结果.【详解】设直线与曲线相切于点，由得：，，，又，，解得：，.故答案为：.16．##求出函数在处的导数可得，即可求出.【详解】，当时，，即切线斜率为3，则，则，所以.故答案为：.17．（1），；（2）.（1）求导，代入，，联立可得，从而在R上恒成立，利用二次函数的性质列出不等式，控制范围即得解；（2）结合（1）可求出在处的切线为，设其与的切点为，可得在处的切线方程为，则，求解即可【详解】（1）由题意可知，，，即.从而，在R上恒成立，若，不恒成立；，解得，.综上，可，.（2）由（1）知，，，曲线在处的切线方程为.①设直线与曲线相切于点，，曲线在点处的切线方程为，即.②由①②得，解得，.18．．根据题意得出导函数的负倒数的值域是导函数的值域的子集，分别求出值域列不等式组求解即可.【详解】由得．∵，∴．由，得．又，∴．要使，则，∴．19．（1）答案不唯一，具体见解析；（2）．（1）求导，对a分类讨论求解单调区间；（2）不等式成立，转化为，然后求解函数的最大与最小值列出不等式求解【详解】解：（1）∵，∴（1）当时，∵，∴，，∴单减，∴减区间是．时，，∴单增，∴增区间是．（2）当时，∵，∴，∴的减区间是．（3）当时，∵，∴的减区间是．（4）当时，，∴，∴的增区间是，，，∴的减区间是．（2），因为存在实数，使得不等式成立，∴，∵，，，单减，，，∴单增．∴，．∴，∴，∵，∴．结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，（1）若，，总有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若若，，有，则的值域是值域的子集．20．或首先设出切点，利用切点在曲线上，得出坐标的关系，再根据导数的几何意义及点斜式求出切线方程，结合点在切线上即可求解.【详解】设切点坐标为，则，∵,所以切线方程为．因为切线过原点，所以，即，解得或，所以切线方程为或.21．（1）递减区间为，递增区间为；（2）①，②证明见解析．（1）求得，分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和单调递减去加；（2）①分析可知在上有两个不同的零点，对实数的取值进行分类讨论，结合已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围；②先证明出，其中，由已知条件可得出，再利用不等式可证得结论成立.【详解】（1），令，，因为，所以当时，，单调递减，所以当时，，单调递增，所以，所以当时，，当时，，因此，的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）（i），要使在上有两个极值点、，则在上有两个不同的零点，①时，由（1）知，，令，故，所以在上为增函数，所以，故，故在上无零点，舍；②当时，，，，则在上单调递减，故最多只有一个零点，不合题意，舍去；③当时，，当时，；当时，.所以，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，即要使，解得.综上所述，的取值范围为；（ii）由（i）