高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册 5.2导数的运算 含解析

人教A版（2019）选择性必修第二册5.2导数的运算一、单选题1．设，，，…，，，则（

）A． B．C． D．2．已知函数的导函数为，且满足，则（

）A． B． C． D．3．下列求导运算不正确的是（

）A． B．C． D．4．已知函数的图像在处的切线斜率为，则“”是“”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件5．若函数，满足且，则（

）A．1 B．2 C．3 D．46．已知函数，则（

）A．0 B．2 C．2021 D．20227．若，则（

）A． B． C． D．8．已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为A． B． C． D．9．函数在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．10．已知函数，则的值为（

）A． B． C． D．11．已知函数的导函数为，记，．若，则（

）A． B． C． D．12．下列求导计算正确的是（

）A． B．C． D．二、填空题13．已知函数，则________．14．已知函数，，则______．15．定义在上的函数满足，的导函数，则___________.16．函数在处的切线与直线垂直，则实数的值为______．17．已知，则______.三、解答题18．已知函数．（1）求；（2）求曲线过点的切线的方程．19．求下列函数的导数.(1)；(2)；(3)；(4).20．已知函数.（1）若，求a的值；（2）若，求证：当时，，其中e为自然对数的底数.21．已知函数的图象为曲线C．(1)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线（均不与x轴垂直），求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围；(2)证明：不存在与曲线C同时切于两个不同点的直线．参考答案：1．A根据正余弦函数的导函数，结合导数的运算法则易知，进而写出的解析式.【详解】，，，，，由此可以看出满足对任意，.∴，故选：A.2．B求导得，从而，即可求出，进而求出即可.【详解】∵，∴，令，则，解得，∴，∴.故选：B.3．C根据基本初等函数的导数以及求导运算法则判断即可.【详解】由基本初等函数导数可知：，，故AB正确；由复合函数求导法则可知：，故C错误；又幂函数的导数可知：，故D正确；故选：C.4．A本题首先可根据得出，然后求解，得出，即可得出结果.【详解】因为，所以，，若，则，解得，故“”是“”的充要条件，故选：A.5．C先取，得与之间的关系，然后根据导数的运算直接求导，代值可得.【详解】取，则有，即，又因为所以，所以，所以.故选：C6．B求可得为偶函数，可得，计算可得定值，即可求解.【详解】因为，，即，所以是偶函数，所以，又因为，所以，故选：B.7．A利用复合函数的求导公式可求得结果.【详解】，所以，.故选：A．8．C先判断时，在上恒成立；若在上恒成立，转化为在上恒成立．【详解】∵，即，（1）当时，，当时，，故当时，在上恒成立；若在上恒成立，即在上恒成立，令，则，当函数单增，当函数单减，故，所以．当时，在上恒成立；综上可知，的取值范围是，故选C．【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析．9．A由已知结合导数的几何意义及计算即可求解【详解】，求导得，则当时，，所以切线的斜率为2．又当时，，所以切点为．所以切线方程为．故选：A【点睛】方法点睛：本题考查了利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程，求切线常见考法：(1)已知切点求斜率k，即求该点处的导数值：．(2)已知斜率k，求切点，即解方程.(3)若求过点的切线方程，可设切点为，由，求解即可．10．B根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法求出函数的导数，再代入计算即可；【详解】因为所以所以故选：B【点睛】本题考查基本初等函数的导数计算，属于基础题.11．D通过计算、、、、，可得、、、，最后计算可得结果.【详解】解：，则，，，，，所以猜想：，，，，由，，所以，，，故选：D．【点睛】本题考查导数的计算以及不完全归纳法的应用，属于中档题.12．B利用导数的四则运算和复合函数的导数，即得解【详解】，A错误；，B正确；，C错误；，D错误．故选：B．13．0；求得函数的导数，令，即可求解.【详解】由题意，函数，可得，令，可得，解得.故答案为：014．由题意可得，，，，进而可得周期为4，即可得出结果.【详解】，，故，，，，所以周期为4，故，.故答案为：15．对两边同时求导得,进而得答案.【详解】因为，两边同时求导可得：，故.故答案为：【点睛】本题考查复合函数导数问题，解题的关键在于根据已知对函数求导，考查运算求解能力，是中档题.16．利用导数的几何意义求斜率，再根据两条直线垂直求参数.【详解】因为，，所以在处的切线的斜率为3，因为切线与直线互相垂直，，所以，解得．故答案为：17．求出导函数，分别将代入原函数、导函数，得到关于的方程组，求得即可得答案.【详解】，解得，故答案为：.【点睛】本题主要考查导数的运算法则以及基本初等函数的求导公式，属于基础题,18．（1）；（2）或．（1）利用函数的求导法则可求得；（2）设所求切点的坐标为，利用导数求出所求切线的方程，将点的坐标代入切线方程，求出的值，可得出切点的坐标，进而可求得所求切线的方程.【详解】（1），则；（2）设切点为，，所以，切线的斜率为，所求切线方程为．将，代入切线方程，得．整理得，解得或.当时，，切线方程为，化简得；当时，，切线方程为，化简得．综上所述，曲线过点的切线的方程为或．【点睛】本题考查导数的计算，同时也考查了曲线过点的切线方程的求解，考查导数几何意义的应用，考查计算能力，属于中等题.19．(1)(2)(3)(4)（1）方法一：将原函数解析式展开，利用导数的运算法则可求得结果；方法二：利用导数的运算法则直接化简计算可求得结果；（2）利用导数的运算法则可求得结果；（3）利用导数的运算法则可求得结果；（4）利用导数的运算法则可求得结果.(1)解：方法一：，所以，.方法二：由导数的乘法法则得.(2)解：根据题意把函数的解析式整理变形可得，所以，.(3)解：根据求导法则可得.(4)解：根据题意，利用求导的除法法则可得.20．（1）1；（2）证明见解析.（1）求出,根据题意可得，解方程即可求出结果；（2）求出，根据不等式的性质即可证出结论.【详解】（1）因为，，所以，解得.（2）函数的定义域是，，所以，当，时，，，可得.21．(1)；(2)证明见解析.（1）利用互相垂直的切线（均不与x轴垂直）的斜率互为负倒数，切点处的导数值为曲线切线的斜率，及一元二次方程有解求切点横坐标的范围；（2）利用切点处的导数值为曲线切线的斜率，求出两切点处的两条直线的方程，利用斜率相等和纵截距相等求得的结果与已知矛盾，得证．(1)，由题，设其中一条切线的斜率为，则另一条切线的斜率为，由题意得①与②均有解，若①有解，即有解，则，解得，若②有解，即有解，则，解得或．所以或，即或，解