高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册《4.2.1 等差数列的概念》提升训练（含解析）

人教A版（2019）选择性必修第二册《4.2.1等差数列的概念》提升训练一、单选题（本大题共13小题，共65分）1.（5分）已知f(x)=xlogA.81 B.9 C.3 D.32.（5分）已知函数f(x)是定义在[1−2m,m]上的偶函数，∀x1，x2∈[0,m]，当xA.[−1,13] B.[−12,3.（5分）已知集合A={x|2x⩾1}，A.{0,1,2} B.{1,2}

C.{−1,0,3} D.{−1,3}4.（5分）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．为了纪念数学家高斯，人们把函数y=[x]，x∈R称为高斯函数，其中[x]表示不超过x的最大整数，例如：[−2.1]=−3，[3.1]=3.那么函数f(x)=[2sinxA.2 B.3 C.4 D.55.（5分）[2021石家庄二中高一期中]函数f(x)=−xA.(-3,0] B.(-3,1]

C.(-∞,-3)∪(-3,0] D.(-∞,-3)∪(-3,1]6.（5分）若函数f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的图象过点(2π3A.ω=2 B.φ=π6

C.f(x+π6)7.（5分）等差数列{an}中，a1+a4+a7A.96 B.99 C.144 D.1988.（5分）设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则下列4组条件中：①a⊂α，b//β，α⊥β；②a⊥α，b⊥β，α⊥β；③a⊂α，b⊥β，α//β；④a⊥A.1 B.2 C.3 D.49.（5分）已知f(x)=2sin2(ωx+π3)−1(ω>0)，给出下列结论： 

①若f(x1)=1，f(x2)=−1，且|x1−x2|min=π，则ω=1； 

②存在ω∈(0,2)，使得f(x)的图象向左平移π6个单位长度后得到的图象关于y轴对称； 

③若f(x)在A.①② B.①③ C.②③ D.②④10.（5分）下面大小关系恒成立的一组是(A.a0.1>a0(0<a<1)11.（5分）分层抽样适合的总体是()A.总体容量较多 B.样本容量较多 C.总体中个体有差异 D.任何总体12.（5分）我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”(chumeng)是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体．如图，五面体ABCDEF是一个刍甍．四边形ABCD为矩形，ΔADE与ΔBCF都是等边三角形，AB=4，A.8+83 B.8+73 C.8+5313.（5分）若A，B是互斥事件，则(A.P(A)+P(B)<1     B.P(A)+P(B)>1

C.P(A)+P(B)=1     二、填空题（本大题共5小题，共25分）14.（5分）执行如图所示的流程图，则输出的S的值为______． 

15.（5分）如果x，y∈R，且2x=1816.（5分）函数f(x)=log17.（5分）平行四边形ABCD中，A(2,−1)，B(3,1)，C(0,3)，则CD→18.（5分）若两平行直线2x+y−4=0与y=−2x−k−2的距离不大于5三、解答题（本大题共5小题，共60分）19.（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA=acos(B−π6). 

(1)求B； 20.（12分）在等差数列{an}中，a1+a3=8，且a421.（12分）已知f(x)=2(1)求f(x)的值域；(2)若函数g(x)=f(x)−k在[0,π4]22.（12分）某工厂生产了一批零件，从中随机抽取100个作为样本，测出它们的长度(单位：厘米)，按数据分成[10,15]，(15,20]，(20,25]，(25,30]，(30,35]5组，得到如图所示的频率分布直方图．以这100个零件的长度在各组的频率代替整批零件长度在该组的概率． 

(1)估计该工厂生产的这批零件长度的平均值(同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替)； 

(2)若用分层抽样的方式从第1组和第5组中抽取5个零件，再从这5个零件中随机抽取2个，求抽取的零件中恰有1个是第1组的概率．

23.（12分）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O为AC中点． 

(1)求证AC⊥平面

答案和解析1.【答案】B;【解析】解：∵x>5时，f(x)=f(x−2)， 

∴f(2012)=f(2×1003+6)=f(2×1003+6−2)=f(4)， 

∵4<5，∴f(4)=4log22.【答案】B;【解析】解：根据题意，f(x)为定义在[1−2m,m]上的偶函数，则(1−2m)+m=0，解可得m=1，即函数的定义域为[−1,1]； 

又由f(x)满足∀x1，x2∈[0,m]，当x1≠x2时，[f(x1)−f(x2)](x1−x2)<0， 

则f(x)在[0,1]上为减函数， 

则f(x−1)⩽f(2x)⇒f(|x−1|)⩽f(|2x|)⇒3.【答案】C;【解析】解：集合A={x|2x⩾1}={x|0<x⩽2}， 

则A−={x|x>2或x⩽0}， 

B={−1,0,1,2,3}， 

则A−∩B={−1,0,3}. 4.【答案】C;【解析】解：令sinx+cosx=t(−2⩽t⩽2)， 

则g(t)=f(x)=[2sinx⋅cosx]+[sinx+cosx] 

=[t2−1]+[t]， 

①当t=−2时，t2−1=1， 

故g(−2)=1−2=−1； 

②当−2<t<−1时，0<t2−1<1， 

g(t)=0−2=−2； 

③当t=−1时，t2−1=0， 

g(−1)=0−1=−1； 

④当−1<t<0时，−1<t2−1<0， 

g(t)=−1−1=−2； 

⑤当t=0时，g(0)=−1+0=−1； 

⑥当0<t<1时，−1<t2−1<0， 

g(t)=0−1=−1； 

⑦当t=1时，g(1)=0+1=1； 

⑧当1<t<5.【答案】C;【解析】因为−x⩾0x+3≠0，所以x⩽0且x≠−3，所以函数f(x)=−x+16.【答案】D;【解析】解：∵函数f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的图象过点(2π3,−3)，相邻两条对称轴间的距离是π2， 

∴12×2πω=π2，3sin(ω×2π3+φ)=−3， 

∴ω=2，sin(4π3+φ)=−1，∴φ=π6， 

故f(x)=3sin(2x+π6)，故AB正确； 7.【答案】B;【解析】解：∵在等差数列{an}中，a1+a4+a7=39， 

∴a4=13， 

∵a6=9， 

∴a4+a6=22，又a4+a6=a8.【答案】C;【解析】解：①∵b//β，∴过b与β相交的直线c//b，若c⊥α，则结论成立，否则不成立； 

②在α内作直线c垂直于α，β的交线，∵α⊥β，∴c⊥β，∵a⊥α，∴a⊥c，∵b⊥β，∴b//c，∴a⊥b，故结论成立； 

③∵b⊥β，α//β，∴b⊥α，∵a⊂α，∴a⊥b，故结论成立； 

④∵a⊥α，α//β，∴a⊥β，∵b//β，∴过b与β相交的直线c//b，a⊥c，∴a⊥b，故结论成立 

故选：C． 

①利用线面平行的性质，可得过b与β相交的直线c//b，若c⊥α，则结论成立，否则不成立； 

②在α内作直线c垂直于α，β的交线，则可得c⊥β，由a⊥α，可得a⊥c，由b⊥β，可得b//c，从而a⊥b； 

③由b⊥β，α//β，可得b⊥α，利用线面垂直的性质可得9.【答案】B;【解析】解：∵f(x)=2sin2(ωx+π3)−1=−cos(2ωx+2π3)=sin(2ωx+π6)，∴f(x)的最小正周期为2π2ω=πω. 

对于①：因为f(x1)=1，f(x2)=−1，且|x1−x2|min=π， 

所以f(x)的最小正周期为T=2π， 

∴πω=2π，∴ω=12.故①错误； 

对于②：图像变换后所得函数为y=sin(2ωx+ωπ3+π6)， 

若其图像关于y轴对称， 

则ωπ3+π6=π2+kπ，k∈Z， 

解得ω=1+3k，k∈Z， 

当k=0时，ω=1∈(0,2).故②正确； 

对于③：设t=2ωx+π6， 

当x∈[0,2π]时，t=2ωx+π6∈[π6,4ωπ+π6]. 

f(x)在∈[0,2π]上有7个零点， 

10.【答案】C;【解析】解：对于A：a0.1<a0(0<a<1)，故A不正确， 

对于B：ln2>≶1=0，故B不正确， 

对于C：sinα<α，(0<α<π2)恒成立，故C正确， 

对于D：当0<α<π4时，sinα<cosα，当π4<α<π2时，11.【答案】C;【解析】解：分层抽样适合的总体是总体中个体存在差异的情况， 

故选：C. 

根据分层抽样的适用范围，可得答案． 

此题主要考查的知识点是抽样方法的适用范围，熟练掌握三种抽样方法的适用范围，是解答的关键．

12.【答案】A;【解析】解：过F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，取BC的中点P，连结PF， 

过F作FQ⊥AB，垂足为Q，连结OQ，如图所示； 

∵ΔADE和ΔBCF都是边长为2的等边三角形， 

∴OP=12(AB−EF)=1，PF=3，OQ=12BC=1， 

∴OF=PF2−OP2=13.【答案】D;【解析】此题主要考查互斥事件的概率的性质，属于基础题. 

当A，B对立时，P(A)+P(B)=1; 

当A，B互斥不对立时，P(A)+P(B)<1.由此即可得到答案. 

解：当A，B对立时，P(A)+P(B)=1; 

当A，B互斥不对立时，14.【答案】20162017【解析】解：模拟执行程序框图，可得其功能是计算并输出S=11×2+12×3+13×4+…+12016×2017的值． 15.【答案】0或2;【解析】解：因为2x=6xy，所以xlog22=xylog26，则y=1log26， 

同理因为18y=6xy，所以ylog218=xylog26，则x=log16.【答案】;【解析】解：要使函数有意义，则x−3>0， 

即x>3， 

故函数的定义域为(3,+∞)， 

故答案为：(3,+∞). 

根据函数成立的条件，即可求函数的定义域． 

此题主要考查函数定义域的求法，根据函数成立的条件是解决此类问题的关键．

17.【答案】（-1，-2）;【解析】解：根据题意，平行四边形ABCD中，必有CD→=BA→， 

又由A(2,−1)，B(3,1)，则BA→=(−1,−2)， 

则有CD→=(−1,−2)， 

故答案为：(−1,−2). 

根据题意，由平行四边形的性质可得CD18.【答案】-11≤k≤-1且k≠-6;【解析】解：∵两平行直线2x+y−4=0与y=−2x−k−2的距离不大于5，即两平行直线2x+y−4=0与2x+y+k+2=0的距离不大于5， 

∴k+2≠−4，且|k+2+4|4+1⩽5， 

求得−11⩽k⩽−1且k≠−6， 

故答案为：−11⩽k⩽−1且k≠−619.【答案】解：（1）在△ABC中，由正弦定理asinA=bsinB，可得bsinA=asinB， 

又由bsinA=acos(B−π6)， 

得asinB=acos(B−π6)，即sinB=cos(B−π6)， 

进而有sinB=32cosB+12sinB，即sinB=3cosB 

可得tanB=3， 

又因为B∈（0，π），可得B=π3； 

（2）sin2A+sin2【解析】 

(1)由正弦定理与三角恒等变换以及同角三角函数基本关系求解即可； 

(2)用二倍角公式降幂，然后利用辅助角公式合并，转化为三角函数值域求解即可． 

此题主要考查的知识要点：正弦定理和三角函数关系式的应用，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．

20.【答案】解：设该数列的公差为d，前n项和为Sn．由已知可得 

2a1+2d=8，（a1+3d）2=（a1+d）（a1+8d）， 

所以a1+d=4，d（d-3a1）=0， 

解得a1=4，d=0或a1=1，d=3，即数列{an【解析】 

设该数列的公差为d，前n项和为Sn.由已知求出首项与公差，然后求解通项公式． 

21.【答案】null;【解析】此题主要考查了正弦函数的图像性质的综合应用，属于中档题． 

(1)先结合两角和差三角函数以及二倍角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质即可求解；(2)由已知可转化为y=k与y=f(x)的交点问题，然后结合正弦函数的图像性质即可求解．

22.【答案】解：（1）由频率分布直方图可得各组频率依次为0.08，0.18，0.4，0.22，0.12， 

则这批零件长度的平均值为− x=12.5×0.08+17.5×0.18+22.5×0.4+27.5×0.22+32.5×0.12=23.1． 

（2）由题意可知第1组和第5组的零件数分别是8和12， 

则应从第1组中抽取2个零件，记为A，B； 

应从第5组中抽取3个零件，记为c，d，e． 

从这5个零件中随机抽取2个的情况有AB，Ac，Ad，Ae，Bc，Bd，Be，cd，ce，de，共10种， 

其中符合条件的情况有Ac，Ad，Ae，Bc，Bd，Be，共6种． 

故抽取的零件中恰有1个是第1组的概率【解析】