高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册《4.4 数学归纳法》提升训练（含解析）

人教A版（2019）选择性必修第二册《4.4数学归纳法》提升训练一、单选题（本大题共13小题，共65分）1.（5分）用数学归纳法证明1+2+3+…+4n=8n2+2nA.4k+1

B.4(k+1)

C.2.（5分）用数学归纳法证明“(3n+1)⋅7n-1(n∈N*)能被9A.3×7k+6 B.3×73.（5分）用数学归纳法证明1+2+3+⋯+n2=n4+A.k2+1 B.k+124.（5分）用数学归纳法证明-1+3-5+⋯+(-1)n(2A.(-1)k+1k B.(-15.（5分）设f(n)=1n+1+A.12n+1 B.12n+26.（5分）用数学归纳法证明某命题的过程中，若当n=k(k为大于0的整数)，设f(kA.f(k)+12k7.（5分）用数学归纳法证明(n∈N*)不等式的左边从A.1(k+1)(k+3) B.8.（5分）用数学归纳法证明“1+12+13+...+1 

A.2k-1 B.2k9.（5分）用数学归纳法证明“凸n(n⩾3,n∈N*) 

A.π2 B.π C.3π310.（5分）用数学归纳法证明不等式1+12+A.7 B.8 C.9 D.1011.（5分）用数学归纳法证明不等式1n+1+1n+2+1A.13k+4 B.13k+212.（5分）用数学归纳法证明(n+1)(n+2)⋯(n+A.2k+2 B.(2k+1)(2k13.（5分）用数学归纳法证明1+a+a2A.1 B.1+a C.1+a二、填空题（本大题共5小题，共25分）14.（5分）用数学归纳法证明“12+22+32+…15.（5分）用数学归纳法证明不等式“1n+1+1n16.（5分）用数学归纳法证明“121×3+223×5+⋯+17.（5分）数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=18.（5分）用数学归纳法证明关于n的恒等式，当n=k时，表达式为1×4+2×7+…+k(三、解答题（本大题共5小题，共60分）19.（12分）设集合A={1,2}，An={t|t=an.3n+(1)求A1中所有元素的和，并写出集合A(2)求证：能将集合An(n⩾2,n∈N*)分成两个没有公共元素的子集Bs={b1,b2,b20.（12分）已知函数f(x)=ax-3(1)求a的值；(2)设0<a1<12，21.（12分）若xi>0(i=1,2,3,⋯,n)，观察下列不等式： 

(x1+x2)(1x1+1x2)22.（12分）已知数列{an}中，a1=-23，其前n项和Sn满足an=Sn23.（12分）(1)是否存在实数a，b，c，使得等式1.22+2.32+3.42+…+(2)求证：对任意的n∈N

答案和解析1.【答案】D;【解析】 

此题主要考查数学归纳法的问题，属于概念考查题，这类题型比较简单多在选择填空中出现，属于基础题目． 

分别使得n=k，和n=k+1代入等式，然后把n=k+1时等式的左端减去n=k时等式的左端，即可得到答案． 

解：当n=k时，等式左端=1+2+…+4k， 

当n=2.【答案】B;【解析】解：假设n=k时命题成立，即(3k+1)⋅7k-1能被9整除， 

那么，当n=k+1时，[3(k+1)+1]⋅7k+1-1-[(3k+1)⋅7k-1] 

=(3k+4)⋅7k+1-(3k+1)⋅7k=[(3k+1)+3]⋅7k+1-(3k+1)⋅7k3.【答案】D;【解析】此题主要考查了数学归纳法，属于基础题. 

分析出n=k和n解：当n=k时，等式左端当n=k+1增加的项为(k2+1)+故选D.4.【答案】D;【解析】解：f(n)=-1+3-5+⋯+(-1)n(2n-1)， 

∴f(k)=-1+3-5+⋯+(-1)k(2k-1)， 

∴5.【答案】D;【解析】 

此题主要考查数学归纳法，属于基础题，可直接写出f(n+1)，与f(n)对比即可知道增加的式子. 

解：由f(n)=1n+1+1n+2+1n6.【答案】C;【解析】解：因为f(k+1)=1k+2+1k+3+1k+4+⋯+12k+12k+1+12k7.【答案】A;【解析】这道题主要考查数学归纳法过程中由左边从n=k到解：由1n(n+2)，可得到n=n=k+1故选A．

8.【答案】C;【解析】此题主要考查数学归纳法证明问题的第二步中项数增加多少问题，属于基础题.注意表达式的形式特点，找出规律是关键．考查不等式左侧的特点，分母数字逐渐增加1，末项为12n-1，然后判断解：左边的特点：分母逐渐增加1，末项为12n-1； 

由n=k，末项为所以应增加的项数为2k. 

故选9.【答案】B;【解析】 

此题主要考查数学归纳法，解决问题的关键是根据增加一条边时的几个关系判断即可，多边形增加一条边，内角恰好增加一个三角形的内角和. 

解：由题n=k到n=k+1时，多边形增加一条边，内角恰好增加一个三角形的内角和10.【答案】B;【解析】先求得不等式左边的和为1-12n1-解：不等式左边的和为1-1当n=7时，2-2-6=12764， 

当n=8时，2-2-7>11.【答案】D;【解析】解：当n=k时，左边的代数式为式1k+1+1k+2+1k+3+…+13k+1， 

当n=k+1时，左边的代数式为式1k+2+1k+3+1k+4+…+112.【答案】D;【解析】 

此题主要考查数学归纳法，必须注意数学归纳法从k到k+1的变化的形式，属于基础题. 

欲求从k到k+1，左端需要增加的项，先看当n=k时，左端的式子，再看当n=k+1时，左端的式子，两者作比即得． 

解：当n=k时，左端=(k+1)(k+2)…(k+k-1)(k+k)， 13.【答案】B;【解析】 

此题主要考查数学归纳法证明等式的问题，属于基础题． 

把n=1代入等式左边即可得到答案． 

解：用数学归纳法证明1+a+a2+…+an=1-an+11-14.【答案】(k【解析】此题主要考查数学归纳法，着重考查理解与观察能力，考查推理证明的能力，属于中档题．解：当n=k时，左边=12+22+…+k2， 当 

n=k+1时，左边=12+22+15.【答案】12【解析】此题主要考查了数学归纳法，属于基础题.观察不等式“1n+1+1n+2+1n+3+…13n+1>2512”(n>2)左边的各项，他们都是以1n+1开始，以13n+1项结束，共2n16.【答案】k(【解析】此题主要考查数学归纳法的解题步骤，属于基础题. 

直接根据数学归纳法的解题步骤求解即可. 

解：当n=k+1时，121×3+223×5+⋯+17.【答案】2(2k【解析】 

此题主要考查了数学归纳法，分别求出n=k时左边的式子，n=k+1时左边的式子，用n=k+1时左边的式子，比较两个表达式，即得所求． 

解：当n=k时，左边=(k+1)(k+2)…(k+k)， 

当n=k+1时，左边=(k+2)(k+3)18.【答案】1×42×7⋯k【解析】 

此题主要考查数学归纳法，属容易题. 

根据递推公式1×42×7⋯k(3k1)=k(k1)219.【答案】解：(1) A1={t|t=a1.3+a0,其中ai∈A，i=0，1}={4,5,7,8}， 

所以A1中所有元素的和为24，集合An中元素的个数为2n+1. 

(2)取s=l=2n，下面用数学归纳法进行证明． 

①当n=2时，A2={13,14,16,17,22,23,25,26}， 

取b1=13，b2=17，b3=23，b4=25，c1=14，c2=16，c3=22，c4=26， 

有b1+b2+b3+b4=c1+c2+c3+c4=78， 

且b 12+b 22+b 32+b 42=c 12+c 22+c 32+c 42=1 612成立． 

②假设当n=k，k∈N*且k⩾2时，结论成立， 

有i=12kbi=【解析】此题主要考查数列的应用，数列的划分，本题难度较大，逻辑性要求很强，综合性高． 

(1)根据题意求出A1，代入即可； 

(2)利用数学归纳法证明，当n=2时，显然成立，假设n=k⩾2，k∈N*时，结论成立，即i=12kbi=i=12k20.【答案】解：(1)由于f(x)=所以f(a3)=a26⩽1所以f(即a2解得a⩾1.② 

由①②得a=1. 

证明：(2)由(1)知fx=x-32x2 

①当n=1时，0<a1<12，不等式0<an<1n+1成立； 

因f(x)>0,x∈(0,23)，所以0<a2=f(a1)⩽16<1【解析】本题是道难题，考查了二次函数的性质以及函数与数列的综合问题，在证明第二问的不等式式注意数学归纳法的应用． 

(1)由函数f(x)=ax-32x2的最大值不大于16，求得a2的范围，再由第二个条件即可得到21.【答案】解：(1)满足的不等式为(x1+x2+…+xn)(1x1+1x2+…+1xn)⩾n2(n⩾2)， 

(2)证明如下： 

①当n=2时，猜想成立； 

②假设当n=k时，猜想成立，即(x1+x2+…+xk)(1x1+1x2+…+1xk【解析】本题以已知不等式为载体，考查类比推理，考查数学归纳法，关键是第二步，同时应注意利用归纳假设． 

(1)根据不等式：(x1+x2)(1x1+1x2)⩾422.【答案】解当n≥2时，an=Sn-Sn-1=Sn+1Sn+2． 

∴Sn=-1Sn-1+2（n≥2）．则有：S1=a1=-23，S2=-1S1+2=-34，S3=-1S2+2=-45， 

S4=-1S3+2=-56，由此猜想：Sn=-n+1n+2（n∈N*）． 

用数学归纳法证明： 

（1）当n=1时，S1=-23=a1，猜想成立．（2）假设n=k（k∈N*）猜想成立，即Sk=-k+1k+2成立，【解析】 

a1=-23，其前n项和Sn满足an=Sn+1Sn+2，令n=2，由此求出S23.【答案】解：(1)令n=1，得4=16(a+b+c)①； 

令n=2，得22=12(4a+2b+c)②； 

令n=3，得70=9a+3b+c=③； 

由①②③解得a=3，b=11，c=10， 

对于n=1，2都有1⋅22+2⋅32+3⋅42+…+n(n+1)2=n(n+1)12(3n2+11n+10)

(*)成立， 

下面用数学归纳法证明：对一切正整数n，(*)式都成立， 

①当n=1时，由上所述知(*)式成立； 

②假设当n=kk⩾1,k∈N*时