高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册《5.2 导数的运算》 同步练习卷（含解析）

人教A版（2019）选择性必修第二册《5.2导数的运算》一、单选题（本大题共8小题，共40分）1.（5分）已知f1(x)=sinx+cosx，记f2(x)=fA.−1 B.2 C.3 D.−42.（5分）曲线y=x2−lnA.22 B.2 C.2 D.3.（5分）若函数fx，gx满足fx+A.1                          B.2                          C.3                         4.（5分）设f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，当x>0时，xlnx⋅f' 

A.(−2,0)⋃(4,+∞) B.(−∞,−4)⋃(0,2)

C.5.（5分）下列求导运算正确的是(A.(x+2x)'=1+2x2 B.(6.（5分）已知f(x)=1x⋅sinA.π2 B.π C.−2π7.（5分）已知函数f(x)=logn(x−b)(a>0且a≠1，a，b为常数)的图象如图，则下列结论正确的是()A.a>0，b<−1 B.a>0，−1<b<0

C.0<a<1，b<−1 D.0<a<1，−1<b<08.（5分）已知数列{an}中，a1=76，anA.6−1a2020 B.6−1a2021二、多选题（本大题共2小题，共8分）9.（4分）若以函数y=f(x)的图象上任意一点P(x1,f(x1))为切点作切线l1，y=f(x)图象上总存在异于P点的点Q(x2,f(A.y=x3−3x B.y=3x+10.（4分）对于函数f(x)=x2+mx+n，若f(a)>0，f(b)>A.一定有零点

B.一定没有零点

C.可能有一个零点

D.可能有两个零点三、填空题（本大题共6小题，共30分）11.（5分）函数f(x)的导函数为f'(x)，若f(x)=x2+f'(12.（5分）过平面内一点P作曲线y=|lnx|两条互相垂直的切线l1、l2，设直线l1、l2分别与y轴交于点13.（5分）已知函数f(x)=sin(x+π6)+x+114.（5分）设直线l是曲线y=2x2+15.（5分）若过点(a,0)，(0,b)分别只可以作曲线y=exx16.（5分）已知函数f(x)=cos(3x+φ四、解答题（本大题共1小题，共12分）17.（12分）求下列函数的导数． 

(1)y=cosπ6； 

(2)y=1x5； 

(3)y=x2x

答案和解析1.【答案】A;【解析】解：f1(x)=sinx+cosx， 

所以，f2(x)=f'1(x)=cosx−sinx， 

f3(x)=f'2(x)=−sinx−cosx， 

f4(x)=f'3(x)=−cosx+sinx， 

f5(x)=f'4(x)=sinx+cosx=f1(x)， 

… 

2.【答案】C;【解析】解：设点P(x0,x02−lnx0)是曲线y=x2−lnx上任意一点， 

当过点P的切线和直线y=x−2平行时， 

点P到直线y=x−2的距离最小． 

直线y=x−2的斜率等于1， 

y=x2−lnx的导数y'=2x−1x， 

由2x0−1x0=1，解得x0=1，或x0=−12(舍去)， 

故曲线y=x2−3.【答案】C;【解析】 

此题主要考查导数的运算，属于基础题. 

先求出g(1)，再对已知式子两边求导，即可求出结果. 

解：因为函数f(x)，g(x)满足f(x)+xg(x)=x2−1，且f(1)=1， 

所以f1+g1=1−1=0， 

所以g1=−f1=−1， 

对已知式子两边求导，得f'4.【答案】C;【解析】 

此题主要考查函数的导数与函数的单调性的关系，以及不等式的解法，关键是分析f(x)>0与f(x)<0的解集． 

解：根据题意，设g(x)=lnx⋅f(x)，(x>0)， 

其导数g'(x)=(lnx)'f(x)+lnxf'(x)=1xf(x)+lnxf'(x)， 

又由当x>0时，xlnx⋅f'(x)<−f(x)， 

即lnx⋅f'(x)<−1xfx， 

则有g'(x)=1xf(x)+lnxf'(x)<0， 

即函数g(x)在(0,+∞)上为减函数， 

又由g(1)=ln1⋅f(x)=0， 

则在区间(0,1)上，g(x)=lnx⋅f(x)>0， 

又由lnx<0，则f(x)<0，在区间(1,+∞)上，g(x)=lnx⋅f(x)<0， 

又由lnx>0，则f(x)<0， 5.【答案】B;【解析】 

此题主要考查函数的导数运算，属于基础题． 

根据导数的公式以及导数的运算法则进行求解即可． 

解：(x+2x)'=1−2x2，故A错误; 

(log3x)'=1xln3，故B正确; 

(56.【答案】D;【解析】解：根据题意，f(x)=1x⋅sinx，则f'(x)=1xcosx−1x2sinx， 

则f(π2)=2π，7.【答案】D;【解析】 

此题主要考查对数函数图象及平移变换. 

解：因为函数f(x)=loga(x−b)为减函数，所以0<a<1， 

又因为函数图象与x轴的交点横坐标x0在正半轴，所以x0=1+b>0，即b>−1， 

又因为函数图象与8.【答案】D;【解析】解：数列{an}中，a1=76，an2−an+1=an+1(n∈N∗)， 

所以an+1−an=(an−1)2>0，所以a9.【答案】BC;【解析】解：由题意得，函数是“和谐函数”的条件是方程y'=a(a是导数值)至少有两个根． 

对于A，由y'=3x2−3，当y'=−3时，x的取值唯一，只有0，不符合题意； 

对于B，由y'=3−1x2=a(x≠0且a<3)，即1x2=3−a，此方程有两不同的实根，符合题意； 

对于C，由y'=cosx和三角函数的周期性知，cosx=a(−1⩽a⩽1)的解有无穷多个，符合题意； 

对于D，由y'=2x−4+1x(x>0)，令2x−4+1x=a，则有2x2−(4+a)x+1=0，当Δ=0时解唯一，不符合题意． 

故四个函数中是“美函数”的是10.【答案】CD;【解析】【试题解析】 

此题主要考查了零点存在性定理，正确理解和把握定理是解答该题的关键，属于基础题. 

若函数f(x)在区间(a,b)上满足fa.fb<0⇒函数f(x)在区间(a,b)内有零点; 

但是函数f(x)在区间(a,b)内有零点⇏函数f(x)不一定满足fa.fb<0; 

解：由题意知：函数f(x)在区间(a,b)11.【答案】4π3【解析】解：由f(x)=x2+f'(π3)sinx得：f'(x)=2x+f'(π3)cosx， 

∴f'(π3)=2×12.【答案】2;【解析】解：如图，设直线l1切曲线左边于点P，且交y轴于点A， 

直线l2切曲线右边于点Q，且交y轴于点B， 

∵y={−lnx,(0<x<1)lnx,(x⩾1)，∴x∈(0,1)时，y'=−1x；x∈(1,+∞)时，y'=1x， 

∴设P(x1,−lnx1)，Q(x2,lnx2)，其中x1∈(0,1)，x2∈(1,+∞)， 

又l1⊥l2，∴f'(x1)⋅f'(x2)=−1， 

∴−1x1·1x2=−1，∴x1x2=1， 

又直线l1方程为：y+lnx1=−1x1(x−x113.【答案】1;【解析】解：已知函数f(x)=sin(x+π6)+x+12+cosx=32sinx+x+12cosx+12+cosx=32sinx+x2+cosx+12， 

则g(x)=f(x)−12=3214.【答案】4;【解析】解：由y=2x2+lnx，得y'=4x+1x(x>0)， 

又y'=4x+1x⩾24x.1x=4，当且仅当15.【答案】[0，+∞）;【解析】解：函数y=exx的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，y'=xex−exx2=ex(x−1)x2， 

设过点(a,0)的切线且与曲线y=exx相切于点(x1,ex1x1)， 

则切线方程为y−ex1x1=ex1(x1−1)x12(x−x1)， 

代入点(a,0)可得−ex1x1=ex1(x1−1)x12(a−x1)， 

整理得，x12−(a+2)x1+a=0，则Δ=(a+2)2−4a=a2+4>0，则方程必有两根， 

要使切线只有一条，必有一根为0，则a=0，x1=2； 

设过点(0,b)的切线且与曲线y=16.【答案】-π3【解析】解：∵f(x)=cos(3x+φ) 

∴f'(x)=−3sin(3x+φ)，