高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.1数列的概念 同步练习

人教A版（2019）选择性必修第二册4.1数列的概念同步练习一、单选题1．已知数列{an}，a1=1，an+1=an+，则该数列的第3项等于（

）A．1 B． C． D．2．若数列满足，则（

）A． B． C． D．3．已知数列的通项公式为，则33是这个数列的（

）A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项4．若数列满足，，则该数列的前2021项的乘积是（

）A． B． C．2 D．15．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有一个高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第8项为（

）A．99 B．131 C．139 D．1416．已知数列，，则下列说法正确的是（

）A．此数列没有最大项 B．此数列的最大项是C．此数列没有最小项 D．此数列的最小项是7．已知数列满足，，则（

）A． B． C． D．8．已知数列满足，(，)，则数列的通项（

）A． B．C． D．9．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间段，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数的最小值为(参考数据：，)（

）A． B． C． D．10．数学上有很多著名的猜想，角谷猜想就是其中之一，一般指冰雹猜想，它是指一个正整数，如果是奇数就乘3再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次数，最终回到1．对任意正整数，记按照上述规则实施第次运算的结果为，则使的所有可能取值的个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．611．已知数列中，，，若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值是（

）A．2 B．3 C．4 D．512．已知数列满足，，则下列选项正确的是（

）A． B．C． D．二、填空题13．已知函数，数列满足，则___________.14．已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围是___________．15．已知数列的首项，前n项和为，且满足，则___________.16．已知数列的前项和为，则数列的通项公式为___________.17．已知，且对任意都有或中有且仅有一个成立，，，则的最小值为___________.三、解答题18．在数列中，.（1）-107是不是该数列中的某一项？若是，其为第几项？（2）求数列中的最大项.19．写出下列各数列的一个通项公式：（1）4，6，8，10，…；（2）…；（3）…；（4）5，55，555，5555，…．20．已知正项数列，其前项和为．（1）求数列的通项公式：（2）设，求数列的前项和．21．已知数列{an}满足，a1+．（1）求a1，a2的值（2）求数列{an}的通项公式；（3）设bn＝，数列{bn}的前n项和为Sn，求证：∀n∈N*，＜1．参考答案：1．C根据递推关系先求出，即可求出.【详解】，.故选：C.2．C利用前项积与通项的关系可求得结果.【详解】由已知可得.故选：C.3．C由已知通项公式，令并求解，即可确定答案.【详解】令，解得．故选：C．4．C先由数列满足，，计算出前5项，可得，且，再利用周期性即可得到答案.【详解】因为数列满足，，所以，同理可得，…所以数列每四项重复出现，即，且，而，所以该数列的前2021项的乘积是.故选：C.5．D根据题中所给高阶等差数列定义，找出其一般规律即可求解.【详解】设该高阶等差数列的第8项为，根据所给定义，用数列的后一项减去前一项得到一个数列，得到的数列也用后一项减去前一项得到一个数列，即得到了一个等差数列，如图：由图可得，则.故选：D6．B令，则，，然后利用函数的知识可得答案.【详解】令，则，当时，当时，，由双勾函数的知识可得在上单调递增，在上单调递减所以当即时，取得最大值，所以此数列的最大项是，最小项为故选：B．7．B由，利用累加法得出.【详解】由题意可得，所以，，…，，上式累加可得，又，所以.故选：B.8．A直接利用累乘法的应用求出数列的通项公式．【详解】解：数列满足，，整理得，，，，所有的项相乘得：，整理得：，故选：．9．C根据规律可总结出第次操作去掉区间的长度和为，利用等比数列求和公式可求得去掉区间的长度总和，由此构造不等式求得结果.【详解】第一次操作去掉的区间长度为；第二次操作去掉两个长度为的区间，长度和为；第三次操作去掉四个长度为的区间，长度和为；以此类推，第次操作去掉个长度为的区间，长度和为，进行了第次操作后，去掉区间长度和，由，即，，又，的最小值为.故选：C.关键点点睛：本题解题关键是能够根据已知所给的规律总结出每次操作去掉的区间长度和成等比数列，并能得到等比数列通项公式.10．D推导出，，由，得，从而，进而或．由此利用分类讨论思想和递推思想能求出满足条件的的值的个数．【详解】解：由题意知，，由，得，，或．①当时，，，或，或．②若，则，或，当时，，此时，或，当时，，此时，或，综上，满足条件的的值共有6个．故选：D11．B由题意可得，运用累加法和“裂项相消法”求和可得，再将不等式恒成立问题转化为成立，由此可得实数的取值范围．【详解】∵，∴，∴，∴∴∴．∵，∴，∴，故选：B．12．B利用数列的单调性可判断A选项的正误；利用放缩法得出，，利用放缩法可判断BCD选项的正误.【详解】由，可得出，，，以此类推可知，对任意的，，所以，，即，所以，数列为单调递增数列，故，A错；在等式的两边同时除以可得，其中且，所以，，，，，累加得，所以，，则，故.故D错误；对于，所以，，，，，累加得，可得，则，所以，，故，.故选：B.结论点睛：几种常见的数列放缩公式：（1）；（2）；（3）.13．2根据递推公式求出数列前几项，可以求出数列的周期，利用周期性进行求解即可.【详解】因为，所以，因为，所以，因此，，所以该数列的周期为3，，故答案为：214．对于任意的都有，可知：数列单调递减，可得，再分类讨论即可得出.【详解】∵对任意的，都有，∴数列单调递减，可知.当时，若，单调递减，而时，单调递减，∴只需，解得，∴；当时，若，单调递增，应舍去.综上所述：实数的取值范围是.故答案为：.由分段函数（数列）单调性求参数的取值范围的方法：(1)分段函数的每一段都单调；(2)根据单调性比较端点函数值的大小.15．直接利用递推公式求出.【详解】∵，∴当n=1时，，∴，当n=2时，，∴，当n=3时，，∴.故答案为：16．由题意可得,当时，，又，两式相减可得，再利用累乘法，即可求出时数列的通项公式，注意当时,代入进行检验即可.【详解】由，可得当时，，则，即，故，所以.当满足.故数列的通项公式为.故答案为：易错点睛：本题考查已知数列的前项和求数列的通项公式，当时，，要注意当时,代入通项进行检验是否符合，考查学生的运算能力，属于一般题.17．31根据题意分两种情况讨论求出的值，即可求得的最小值.【详解】解：由题设，知：；或中恰有一个成立；或中恰有一个成立；…或中恰有一个成立；则①，，，，则，当时，的和为最小值为：31；②，，，，则，当时，的和为最小值为：32；因此，的最小值为：31.故答案为：31.18．（1）是，；（2）（1）设，解方程，看是否为正整数即可．（2）将看成二次函数，利用二次函数的最值来求．【详解】（1）令，解得或（舍去）.所以（2），由于，所以最大项为本题考查已知项求项数，注意项数要为整数，另外将数列的最值转化为函数的最值，解题会更加简单．19．（1）；（2）；（3）；（4）.通过观察法求数列的通项公式.【详解】（1）易知该数列是首项从4开始的偶数，所以该数列的一个通项公式为．（2）易知该数列中每一项分子比分母少1，且分母可写成，…，故所求数列的通项公式可写为．（3）通过观察可知，该数列中的奇数项为负，偶数项为正，故选择．又第1项可改写成分数，所以每一项的分母依次为3，5，7，9…，可写成的形式，分子为3=1×3，8=2×4，15=3×5，24=4×6……．可写成的形式．所以该数列的一个通项公式为．（4）这个数列的前4项可以变为即即所以它的一个通项公式为．20．（1）；（2）．（1）Sn前后两项作差消去，求得an的前后两项关系，从而求得an的通项公式；（2）由（1）求得bn，对n分奇数，偶数两种情况讨论，分组求和求得数列前n项和.【详解】解：（1）由已知，①所以有，②②-①，得，即，∴，所以数列是公比为的等比数列．又，∴．所以（2）由（1）得，当n为奇数时，当n为偶数时，综上所述，方法点睛：（1）通过an+1=Sn+1-Sn得到an前后两项的关系，从而求得通项公式；（2）对于含有(-1)n的问题可以讨论n的奇偶性，即可去掉该项，然后按照分组求和的方法求得数列前n项和.21．（1）a1＝1．a2＝4；（2）；（3）证明见解析.（1）直接利用递推关系式求出结果；（2）a1+①，当n≥2时，②，两式相减即可求出数列的通项公式；（3）根据题意＝，利用裂项相消法在数列