高中数学直线和圆6类小题 分类练习 基础版

直线和圆6类小题基础版一.弦长基本量及最值1．直线被圆截得的弦长为（

）A． B． C．2 D．32．直线y＝kx－1与圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝36相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（

）A．6 B．2C．12 D．163．已知圆内一点，则过点的最短弦所在的直线方程是（

）A． B． C． D．4．已知直线l：和圆C：相交于M，N两点，下列说法错误的是（

）A．的取值范围是 B．圆心C到直线l距离的取值范围是C．∠MCN的最小值是 D．面积的最大值是25．过点的直线与圆交于、两点，为圆心，当最小时，直线的方程为（

）A． B． C． D．二.点到圆距离最值6．已知圆：（），直线：．若对任意实数，圆上到直线的距离为1的点有4个，则的取值范围是（

）A． B． C． D．7．若圆：上至少有三个不同点到直线：的距离为.则的取值范围是（

）A． B． C． D．8．已知圆，直线：，若圆上恰有2个点到直线的距离都等于1，则的取值范围为（

）．A． B． C． D．9．若圆M：上至少有3个点到直线l：的距离为，则k的取值范围是（

）A． B．C． D．三.斜率型转换为切线10．点P在圆上，则的最小值是（

）A． B． C． D．11．已知实数，满足：，则的取值范围为（

）A．， B．， C．， D．，12．过点引圆的切线，则切线的方程为（

）A．或 B．C．或 D．13．已知为圆O：上一点，则的取值范围为（）A． B．C． D．14．已知直线与直线的交点为，则以为圆心，且与直线相切的圆的方程为（

）A． B．C． D．15．平面直角坐标系中，已知点，圆O：，则下列结论正确的是（

）A．过点P与圆O相切的直线方程为B．过点P的直线与圆O相切于，则直线的方程为C．过点P的直线与圆O相切于，则D．过点P的直线m与圆O相交于两点，若，则直线m的方程为四.切线距离积最值16．若P为直线上一个动点，从点P引圆的两条切线PM，PN（切点为M，N），则线段MN的长度的取值范围是（

）A． B． C． D．17．已知是圆上的动点，是圆的切线，，则点的轨迹方程是（

）A． B．C． D．18．设P为直线上的动点，PA，PB为圆的两条切线，A，B为切点，则的最小值为（

）A． B． C． D．19．已知圆：，直线：，为上的动点，过点作圆的两条切线、，切点分别A、，当最小时，直线的方程为（

）A． B． C． D．五.反射类20．已知圆，一条光线从点处射到直线上，经直线反射后，反射光线与圆有公共点，则反射光线斜率的取值范围是（

）A． B．C． D．21．一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（

）A．或 B．或 C．或 D．或22．一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（

）A．或 B．或 C．或 D．或六.切线最值应用23．已知圆，直线，若上存在点，过作圆的两条切线，切点分别为，使得，则的取值范围为（

）A． B． C． D．24．已知圆C：，直线l：，过直线l上一点A作圆C的两条切线，切点分别为P，Q．当四边形OPAQ（O为坐标原点）的面积最小时，＝（

）A． B． C． D．25．点M为直线上一点，过点M作圆O：的切线MP，MQ，切点分别为P，Q，当四边形MPOQ的面积最小时，直线PQ的方程为（

）A．x＋y－2＝0 B．C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0

参考答案：1．C【分析】由垂径定理求解即可【详解】因为圆的圆心为，半径为2，且圆心到直线的距离为，所以直线被圆截得的弦长为，故选：C2．B【分析】求出直线过的定点，得到圆心到直线的距离的最大值，从而得到弦长|AB|的最小值.【详解】因为直线y＝kx－1过定点(0，－1)，故圆C的圆心C(－3，3)到直线y＝kx－1的距离的最大值为＝5.又圆C的半径为6，故弦长|AB|的最小值为.故选：B3．B【分析】由几何性质可知：过点的最短弦所在的直线与直线垂直，求出直线的斜率，从而得到过点的最短弦所在的直线的斜率，求出直线方程.【详解】的圆心为，半径为2，由几何性质可知：过点的最短弦所在的直线与直线垂直，直线的斜率为，故过点的最短弦所在的直线的斜率为1，故过点的最短弦所在的直线方程为，整理为：.故选：B4．D【分析】根据直线恒过的定点，以及过圆内一点截圆所得弦长最值的求解，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对直线，，其恒过与的交点；对圆，其圆心为，半径；对A：当直线过圆心时，此时取得最大值为；当时，取得最小值为，故A正确；对B：当直线过圆心时，圆心C到直线l距离取得最小值为；当时，圆心C到直线l距离取得最大值为，故正确；对：当，在△中，由余弦定理可得：，故，当时，，故，故正确；对：当时，三点可以构成三角形，则其面积；综上的面积没有最大值为，故错误.故选：.5．C【分析】可证明当时最小，故可求直线的方程.【详解】.取的中点为，连接，则且，而，当且仅当时等号成立，故最小时，，此时，故直线的斜率为，故直线的方程为：，即，故选：C.6．D【分析】设直线过定点，根据圆到直线的距离最大为求解即可．【详解】解：设直线过定点，不论取何值，到直线最远的距离始终为，，解得．故选：D．7．B【分析】根据题意把圆上至少有三个不同点到直线的距离为，转化为圆心到直线的距离应不大于，结合点到直线的距离公式，即可得到结果.【详解】因为圆：，圆心为，半径为，因为圆上至少有三个不同点到直线的距离为，则圆心到直线的距离应不大于，即，解得故选:B.8．C【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，由题意可得圆心到直线的距离满足，利用点到直线的距离公式计算，解不等式即可.【详解】由圆的方程：，可得圆心为坐标原点，半径为2．若圆上恰有2个点到直线的距离等于1，则圆心到直线的距离满足，则，解得．故选：C．9．C【分析】根据圆上至少有3个点到直线距离为，转化为圆心到直线的距离至多为，由点到直线的距离公式列出不等式求解即可.【详解】圆，由题意M到直线l的距离，所以，所以，解得或，故选：C10．C【分析】设，则，根据圆与直线有公共点即圆心到直线的距离不超过半径列不等式，从而可得答案．【详解】方程，表示以点为圆心，以1为半径的圆．设，即，因为既在圆上又在直线上，所以直线与圆有公共点，圆心到的距离小于或等于半径，由，解得．所以的最小值为．故选：C．11．A【分析】确定圆心和半径，将题目转化为点和点直线的斜率，画出图像，计算角度，计算斜率得到答案.【详解】表示圆心为，半径的圆，表示点和点直线的斜率，如图所示：直角中，，故，，故，同理可得，对应的斜率为和.故，故选：A12．C【分析】对切线的斜率是否存在进行分类讨论，在切线与轴垂直时，直接验证即可；在切线斜率存在时，设切线的方程为，利用圆心到切线的距离等于半径可得出关于的等式，即可解得的值，综合可得出所求切线的方程.【详解】若切线与轴垂直，则切线方程为，此时圆心到直线的距离为，合乎题意；当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即，由题意可得，解得，此时，所求切线的方程为.综上所述，所求切线方程为或.故选：C.13．B【分析】设，由圆心到直线的距离小于或等于半径求解即可【详解】设，由题意知直线与圆O有公共点，所以，所以．故选：B．14．B【分析】联立直线与直线的方程求得交点坐标，即到是圆心坐标，再由点到直线的距离可得圆的半径，从则得圆的方程.【详解】解：由，可得，，即，又到直线的距离为，故所求圆的半径为，故所求圆的方程为．故选：B15．C【分析】对于A，考虑切线斜率是否存在，结合圆心到直线的距离等于半径求得切线方程，即可判断；对于B,利用直线为圆与圆的公共弦，将两圆方程相减即可判断；对于C,求得切线长即可判断；对于D，根据可得圆心到直线的距离，设出直线方程，利用点到直线的距离公式计算，可求出直线方程，即可判断.【详解】对于A：当直线的斜率不存在时，则直线的方程为，圆心到直线的距离，所以是过点的圆的切线，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，圆心到直线的距离，解得，此时直线的方程为，过点的圆的切线方程为或，故A错误，对于B；在以为圆心，以为直径的圆上，不妨设位置如图示，直线为圆与圆的公共弦，两圆方程相减得：，即直线的方程为，故B错误，对于C；，，故C正确，对于D：过点的直线与圆相交于两点，若，则，圆心到直线的距离，由题意可知直线的斜率存在，设直线方程为，即，，解得或7，直线方程为或，故D错误，故选：C16．B【分析】首先设圆,圆心,根据贾意得到当最小时,最小,即可得到,再根据点在直线无限远取值时,趋近于，趋近于直径2,即可得到答案.【详解】设圆,圆心,要使的长度最小,则最小,即最小.因为,所以当最小时,最小.又因为,所以当最小时,最小.因为,所以，由图易知其为锐角，所以,，此时，，则.当点在直线无限远取值时,趋近于，趋近于直径2,所以.故选：B.17．A【分析】由切线长定理可知，点到圆的圆心距离为定值，计算即可.【详解】因为圆，所以圆心，半径，由勾股定理得，所以，所以的轨迹为以为圆心为半径的圆，所以的轨迹方程是.故选：A18．D【分析】根据直线与圆的相切，先将转化为三角形面积问题，再利用切线和过切点的半径垂直，进一步转化为，最后即可求解.【详解】连接CA，CB，有，，由PC垂直平分AB，知其中d为圆心C到直线l的距离，因为，故选：D.19．B【分析】由切线性质得，A，，四点共圆，且，则，又，故当直线时，最小，最小，即可由点斜式求得方程【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，由切线性质得，，A，，四点共圆，且.所以，而，则当直线时，最小，即最小，即最小，所以此时直线，即故选：B20．B【分析】首先根据题意得到点关于直线的对称点为，从而设出反射光线直线，再跟直线与圆的位置关系求解即可.【详解】设点关于直线的对称点为，则，即.因为则反射光线所在直线经过点，设直线，即.由题意可得圆的圆心坐标为，半径，则圆心到直线的距离，解得.故选：B21．D【解析】根据光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点关于轴的对称点，设反射光线所在直线方程为，利用直线与圆相切的性质即可求得斜率.【详解】根据光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点关于轴的对称点，设反射光线所在直线的斜率为，则反射光线所在直线方程为，即，又由反射光线与圆相切，可得，整理得，解得或.故选：D.【点睛】过一定点，求圆的切线时，首先判断点与圆的位置关系．若点在圆外，有两个结果，若只求出一个，应该考虑切线斜率不存在的情况.22．D【分析】求出圆心坐标与半径，点关于轴的对称点的坐标，设过对称点与圆相切的反射光线所在直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求得答案．【详解】解：圆的圆心坐标为，半径为1，点关于轴的对称点的坐标为，由题意，点在反射光线所在直线上，设反射光线所在直线方程为，即，因为反射光线所在直线与圆相切，所以，解得或，故选：D.23．D【分析】由圆的性质可确定，且当为圆心到直线的距离时，取得最大值，由此可构造不等式解得的范围.【详解】由圆的方程知：圆心，半径，，，，，，，当取得最小值，即为圆心到直线的距离时，取得最大值，存在点使得，则此时，则，即，解得：，即实数的取值范围为.故选：D.24．D【分析】由题意，，故，由于，故当四边形OPAQ（O为坐标原点）的面积最小时，即最小，分析即得解.【详解】由题意，且故，即，故当四边形OPAQ（O为坐标原点）的面积最小时，即最小，