2021福建数学试卷+答案+解析

7福建省2021年初中学业水平考试(满分:150分考试时间:120分钟)一、选择题:本题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.1.在实数2,12,0,-1中,最小的数是A.-1 B.0 C.12 D.2.如图所示的六角螺栓,其俯视图是()ABCD3.如图,某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离,在学校附近选一点C,利用测量仪器测得∠A=60°,∠C=90°,AC=2km.据此,可求得学校与工厂之间的距离AB等于()A.2km B.3km C.23km D.4km4.下列运算正确的是()A.2a-a=2 B.(a-1)2=a2-1C.a6÷a3=a2 D.(2a3)2=4a65.某校为推荐一项作品参加“科技创新”比赛,对甲、乙、丙、丁四项候选作品进行量化评分,具体成绩(百分制)如下表:作品项目甲乙丙丁创新性90959090实用性90909585如果按照创新性占60%,实用性占40%计算总成绩,并根据总成绩择优推荐,那么应推荐的作品是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁6.某市2018年年底森林覆盖率为63%.为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念,该市大力开展植树造林活动,2020年年底森林覆盖率达到68%.如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x,那么,符合题意的方程是()A.0.63(1+x)=0.68 B.0.63(1+x)2=0.68C.0.63(1+2x)=0.68 D.0.63(1+2x)2=0.687.如图,点F在正五边形ABCDE的内部,△ABF为等边三角形,则∠AFC等于()A.108° B.120° C.126° D.132°8.如图,一次函数y=kx+b(k>0)的图象过点(-1,0),则不等式k(x-1)+b>0的解集是()A.x>-2 B.x>-1 C.x>0 D.x>19.如图,AB为☉O的直径,点P在AB的延长线上,PC,PD与☉O相切,切点分别为C,D.若AB=6,PC=4,则sin∠CAD等于()A.35 B.23 C.3410.二次函数y=ax2-2ax+c(a>0)的图象过A(-3,y1),B(-1,y2),C(2,y3),D(4,y4)四个点,下列说法一定正确的是()A.若y1y2>0,则y3y4>0 B.若y1y4>0,则y2y3>0C.若y2y4<0,则y1y3<0 D.若y3y4<0,则y1y2<0二、填空题:本题共6小题,每小题4分,共24分.11.若反比例函数y=kx的图象过点(1,1),则k的值等于12.写出一个无理数x,使得1<x<4,则x可以是.(只要写出一个满足条件的x即可)

13.某校共有1000名学生.为了解学生的中长跑成绩分布情况,随机抽取100名学生的中长跑成绩,画出条形统计图,如图.根据所学的统计知识可估计该校中长跑成绩优秀的学生人数是.

14.如图,AD是△ABC的角平分线.若∠B=90°,BD=3,则点D到AC的距离是.

15.已知非零实数x,y满足y=xx+1,则x-16.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,点E,F分别是边AB,BC上的动点,点E不与A,B重合,且EF=AB,G是五边形AEFCD内满足GE=GF且∠EGF=90°的点.现给出以下结论:①∠GEB与∠GFB一定互补;②点G到边AB,BC的距离一定相等;③点G到边AD,DC的距离可能相等;④点G到边AB的距离的最大值为22.其中正确的是.(写出所有正确结论的序号)

三、解答题:本题共9小题,共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(8分)计算:12+|3-3|-1318.(8分)如图,在△ABC中,D是边BC上的点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为E,F,且DE=DF,CE=BF.求证:∠B=∠C.19.(8分)解不等式组:x20.(8分)某公司经营某种农产品,零售一箱该农产品的利润是70元,批发一箱该农产品的利润是40元.(1)已知该公司某月卖出100箱这种农产品共获利润4600元,问:该公司当月零售、批发这种农产品的箱数分别是多少?(2)经营性质规定,该公司零售的数量不能多于总数量的30%.现该公司要经营1000箱这种农产品,问:应如何规划零售和批发的数量,才能使总利润最大?最大总利润是多少?21.(8分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°.线段EF是由线段AB平移得到的,点F在边BC上,△EFD是以EF为斜边的等腰直角三角形,且点D恰好在AC的延长线上.(1)求证:∠ADE=∠DFC;(2)求证:CD=BF.22.(10分)如图,已知线段MN=a,AR⊥AK,垂足为A.(1)求作四边形ABCD,使得点B,D分别在射线AK,AR上,且AB=BC=a,∠ABC=60°,CD∥AB;(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)(2)设P,Q分别为(1)中四边形ABCD的边AB,CD的中点,求证:直线AD,BC,PQ相交于同一点.23.(10分)“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒.该故事的大意是:齐王有上、中、下三匹马A1,B1,C1,田忌也有上、中、下三匹马A2,B2,C2,且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下:A1>A2>B1>B2>C1>C2(注:A>B表示A马与B马比赛,A马获胜).一天,齐王找田忌赛马,约定:每匹马都出场比赛一局,共赛三局,胜两局者获得整场比赛的胜利.面对劣势,田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马,并采用孙膑的策略:分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛,即借助对阵(C2A1,A2B1,B2C1)获得了整场比赛的胜利,创造了以弱胜强的经典案例.假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况,试回答以下问题:(1)如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”,他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利?并求其获胜的概率;(2)如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况,他是否必败无疑?若是,请说明理由;若不是,请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况,并求其获胜的概率.24.(12分)如图,在正方形ABCD中,E,F为边AB上的两个三等分点,点A关于DE的对称点为A',AA'的延长线交BC于点G.(1)求证:DE∥A'F;(2)求∠GA'B的大小;(3)求证:A'C=2A'B.25.(14分)已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点.(1)若抛物线过点P(0,1),求a+b的最小值;(2)已知点P1(-2,1),P2(2,-1),P3(2,1)中恰有两点在抛物线上.①求抛物线的解析式;②设直线l:y=kx+1与抛物线交于M,N两点,点A在直线y=-1上,且∠MAN=90°,过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和l于点B,C.求证:△MAB与△MBC的面积相等.

7福建省2021年初中学业水平考试一、选择题12345678910AADDBBCCDC1.A∵-1<0<12<2,∴-1最小.故选2.A从上往下看到的平面图形是该几何体的俯视图,根据几何体的特征及位置可知俯视图为选项A中的图形.故选A.3.D∵∠A=60°,∠C=90°,∴∠B=30°.又∵AC=2km,∴AB=2AC=2×2=4km.故选D.4.DA.2a-a=a;B.(a-1)2=a2-2a+1;C.a6÷a3=a6-3=a3;D.(2a3)2=22·(a3)2=4a6.故选D.5.B依题意,可得甲的成绩为90×60%+90×40%=90(分);乙的成绩为95×60%+90×40%=93(分);丙的成绩为90×60%+95×40%=92(分);丁的成绩为90×60%+85×40%=88(分).故推荐的作品是乙.故选B.6.B∵2018年年底森林覆盖率为63%,年平均增长率为x,∴2019年年底森林覆盖率为0.63(1+x),∴2020年年底森林覆盖率为0.63(1+x)2,∴0.63(1+x)2=0.68.故选B.7.C∵△ABF为等边三角形,∴AB=AF=BF,∠AFB=∠ABF=60°.又∵五边形ABCDE是正五边形,∴BC=AB=BF,∠ABC=(5∴∠FBC=∠ABC-∠ABF=108°-60°=48°,∴∠BFC=180°-∠FBC∴∠AFC=∠AFB+∠BFC=60°+66°=126°.故选C.8.C将y=kx+b的图象向右平移1个单位,得y=k(x-1)+b的图象,∵y=kx+b的图象过点(-1,0),∴y=k(x-1)+b的图象过点(0,0),∴不等式k(x-1)+b>0的解集是x>0.故选C.9.D连接OC,OD.∵PC,PD与☉O相切,∴OC⊥PC,OD⊥PD.∵OP=OP,OC=OD,∴Rt△PCO≌Rt△PDO(HL),∴∠POC=∠POD.∵∠PAC=12∠POC,∠PAD=12∴∠PAC=∠PAD,∴∠CAD=2∠PAC=∠POC.∵AB=6,∴OC=12AB=1在Rt△POC中,由勾股定理得OP=OC2+∴sin∠CAD=sin∠POC=PCOP=45.10.C∵y=ax2-2ax+c,∴图象的对称轴为直线x=--2∵a>0,∴抛物线开口向上.∵点A(-3,y1)到直线x=1的距离为4,点B(-1,y2)到直线x=1的距离为2,点C(2,y3)到直线x=1的距离为1,点D(4,y4)到直线x=1的距离为3,∴y3<y2<y4<y1.A.若y1y2>0,则y1>0,y2>0或y1<0,y2<0.当y1>0,y2>0时,y4>0,但y3符号不确定,故A错误.B.若y1y4>0,则y1>0,y4>0或y1<0,y4<0.当y1>0,y4>0时,y2,y3符号不确定,故B错误.C.若y2y4<0,则y2<0,y4>0,∴y3<0,y1>0,∴y1y3<0,故C正确.D.若y3y4<0,则y3<0,y4>0,∴y1>0,但y2符号不确定,故D错误.故选C.二、填空题11.答案1解析∵反比例函数y=kx的图象经过点∴k=xy=1×1=1.12.答案答案不唯一(如2,π,1.010010001…等)解析∵1<x<4,x为无理数,∴x的值有无数个.故答案不唯一,如2,π,1.010010001…等.13.答案270解析1000×27100=270(人).故答案为14.答案3解析过D点作DE⊥AC于E点.∵AD是△ABC的角平分线,DB⊥AB,∴DE=BD=3,即点D到AC的距离是3.15.答案4解析∵y=xx+1,∴xy+y=x,∴x-y+3xyxy16.答案①②④解析①∵四边形BEGF的内角和为360°,∴∠GEB+∠GFB+∠B+∠EGF=360°.又∵∠B=90°,∠EGF=90°,∴∠GEB+∠GFB=180°,即∠GEB与∠GFB一定互补,故①正确.②过G点作GM⊥AB于M点,作GN⊥BC于N点,则可得∠MGN=90°.∵∠EGF=90°,∴∠MGE=∠NGF.又∵∠GME=∠GNF=90°,GE=GF,∴△GEM≌△GFN(AAS),∴GM=GN,即点G到边AB,BC的距离一定相等,故②正确.③由②知GM=GN,故点G在∠ABC的平分线上.∵四边形ABCD是邻边不等的矩形,∴直线BG不过点D,即DG不平分∠ADC,∴点G到AD,CD的距离不相等,故③错误.④∵GM≤EG,∴当GE⊥AB时,GM取得最大值,即GM=EG.∵GE=GF且∠EGF=90°,EF=AB=4,∴EG=22EF=22×4=22,故④故正确的是①②④.三、解答题17.解析本小题考查二次根式的化简、绝对值的意义、有理数负指数幂等基础知识,考查运算能力.原式=23+(3-3)-3=23+3-3-3=3.18.证明本小题考查垂线的性质、全等三角形的判定与性质等基础知识,考查推理能力、空间观念与几何直观.∵DE⊥AC,DF⊥AB,∴∠DEC=∠DFB=90°.在△DEC和△DFB中,DE∴△DEC≌△DFB,∴∠B=∠C.19.解析本小题考查一元一次不等式组的解法等基础知识,考查运算能力.解不等式①,得x≥1.解不等式②,得x<3.所以原不等式组的解集是1≤x<3.20.解析本小题考查列方程(组)解应用题、二元一次方程组的解法、一次函数的性质等基础知识,考查运算能力、应用意识,考查函数与方程思想.(1)设该公司当月零售农产品x箱,批发农产品y箱.依题意,得70x+40所以该公司当月零售农产品20箱,批发农产品80箱.(2)设该公司零售农产品m箱,获得总利润w元,则批发农产品的数量为(1000-m)箱,依题意,得w=70m+40(1000-m)=30m+40000,m≤300.因为30>0,所以w随着m的增大而增大,所以当m=300时,w取得最大值49000,此时1000-m=700.所以该公司应零售农产品300箱,批发农产品700箱才能使总利润最大,最大总利润是49000元.21.证明本小题考查平移的性质、直角三角形和等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质,考查推理能力、空间观念与几何直观,考查化归与转化思想.(1)在等腰直角三角形EDF中,∠EDF=90°,∴∠ADE+∠ADF=90°.∵∠ACB=90°,∴∠DFC+∠ADF=∠ACB=90°,∴∠ADE=∠DFC.(2)连接AE.由平移的性质得AE∥BF,AE=BF.∴∠EAD=∠ACB=90°.又∠DCF=180°-∠ACB=90°,∴∠EAD=∠DCF.∵△EDF是等腰直角三角形,∴DE=DF.由(1)得∠ADE=∠DFC,∴△AED≌△CDF,∴AE=CD,∴CD=BF.22.解析本小题考查尺规作图、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质等基础知识,考查推理能力、空间观念与几何直观,考查化归与转化思想.(1)四边形ABCD是所求作的四边形.(2)证明:设直线BC与AD相交于点S.∵DC∥AB,∴△SBA∽△SCD,∴SASD=AB设直线PQ与AD相交于点S',同理S'AS∵P,Q分别为AB,CD的中点,∴PA=12AB,QD=1∴PAQD=ABDC,∴S'即S'D+ADS'D∴S'D=SD,故点S与S'重合,即三条直线AD,BC,PQ相交于同一点.23.解析本小题考查简单随机事件的概率等基础知识,考查推理能力、应用意识,考查统计与概率思想.(1)田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜.此时,比赛的所有可能对阵为(C2A1,A2B1,B2C1),(C2A1,B2C1,A2B1),(C2A1,B2B1,A2C1),(C2A1,A2C1,B2B1),共四种,其中田忌获胜的对阵有(C2A1,A2B1,B2C1),(C2A1,B2C1,A2B1),共两种,故此时田忌获胜的概率P1=12(2)不是.齐王的“出马”顺序为A1,B1,C1时,田忌获胜的对阵是(C2A1,A2B1,B2C1);齐王的“出马”顺序为A1,C1,B1时,田忌获胜的对阵是(C2A1,B2C1,A2B1);齐王的“出马”顺序为B1,A1,C1时,田忌获胜的对阵是(A2B1,C2A1,B2C1);齐王的“出马”顺序为B1,C1,A1时,田忌获胜的对阵是(A2B1,B2C1,C2A1);齐王的“出马”顺序为C1,A1,B1时,田忌获胜的对阵是(B2C1,C2A1,A2B1);齐王的“出马”顺序为C1,B1,A1时,田忌获胜的对阵是(B2C1,A2B1,C2A1).综上所述,田忌获胜的所有对阵是(C2A1,A2B1,B2C1),(C2A1,B2C1,A2B1),(A2B1,C2A1,B2C1),(A2B1,B2C1,C2A1),(B2C1,C2A1,A2B1),(B2C1,A2B1,C2A1).齐王的“出马”顺序为A1,B1,C1时,比赛的所有可能对阵是(A2A1,B2B1,C2C1),(A2A1,C2B1,B2C1),(B2A1,A2B1,C2C1),(B2A1,C2B1,A2C1),(C2A1,A2B1,B2C1),(C2A1,B2B1,A2C1),共6种,同理,齐王的其他各种“出马”顺序,也都分别有相应的6种可能对阵,所以,此时田忌获胜的概率P2=636=124.解析本小题考查正方形的性质、轴对称的性质、多边形内角与外角的关系、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、三角形中位线定理、圆的基本概念与性质、解直角三角形等基础知识,考查推理能力、运算能力,考查空间观念与几何直观,考查化归与转化思想.(1)证明:设直线DE与AA'相交于点T.∵点A与A'关于直线DE对称,∴DE垂直平分AA',即DE⊥AA',AT=TA'.∵E,F为AB边上的两个三等分点,∴AE=EF,∴ET是△AA'F的中位线,∴ET∥A'F,即DE∥A'F.(2)连接FG,∵四边形ABCD是正方形,∴AD=AB,∠DAB=∠ABG=90°,∠DAT+∠BAG=90°.∵DE⊥AA',∴∠DTA=90°,∴∠ADT+∠DAT=90°,∴∠ADT=∠BAG.∴△DAE≌△ABG,∴AE=BG,又AE=EF=FB,∴FB=BG,∴△FBG是等腰直角三角形,∴∠GFB=45°.∵DE∥A'F,∴A'F⊥AA',∴∠FA'G=90°.取FG的中点O,连接OA',OB.在Rt△A'FG和Rt△BFG中,OA'=OF=OG=12FG,OB=OF=OG=1∴OA'=OF=OG=OB,∴点A',F,B,G都在以FG为直径的☉O上,∴∠GA'B=∠GFB=45°.(3)证明:设AB=3a(a>0),则AD=BC=3a,AF=2a,AE=BF=a.由(2)得BG=AE=a,∴tan∠BAG=BGAB=a3a=13,即tan∴A'FAA设A'F=k(k>0),则AA'=3k,在Rt△A'AF中,由勾股定理,得AF=AA'2+∴10k=2a,则k=10a5,故A'F=在Rt△ABG中,由勾股定理,得AG=AB2+又AA'=3k=310∴A'G=AG-AA'=10a-310a5∴A'FA'G∵CG=BC-GB=2a,∴BFCG=a2a=12,∴A'由(2)知,∠A'FB+∠A'GB=180°,又∵∠A'GC+∠A'GB=180°,∴∠A'FB=∠A'GC,∴△A'FB∽△A'GC,∴A'BA'C25.解析本小题考查一次函数和二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积等基础知识,考查运算能力、推理能力、空间观念与几何直观、创新意识,考查函数与方程思想,数形结合思想及化归与转化思想.因为抛物