初中数学八年级下册《图形的平移》第一课时教案 -2

初中数学八年级下册《图形的平移》第一课时教案

一、教材与学情分析

本节课内容选自北师大版初中数学八年级下册第三章《图形的平移与旋转》的第一节。平移，作为图形变换中最基础、最直观的一种，是学生从静态几何研究转向动态几何研究的起点。它不仅在数学知识体系中扮演着承前启后的关键角色——承接了小学阶段对平移的初步感知和轴对称的初步认识，开启了初中阶段对图形变换系统性、逻辑性研究的序幕，更为后续学习旋转、轴对称、位似乃至高中的向量、解析几何、矩阵变换奠定坚实的认知基础和思维基础。从现实价值看，平移变换广泛渗透于建筑、艺术、工程、计算机图形学等多个领域，是连接数学与现实世界的重要桥梁。

八年级的学生正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期。他们的认知特点表现为：一方面，通过小学的学习和生活经验，对平移现象已有丰富的感性认识，能够识别生活中的平移，并基于直观进行简单的平移操作；另一方面，他们对平移的数学本质——图形上每一点都沿同一方向移动相同距离——缺乏深刻、理性的理解，难以用严谨的数学语言进行描述和推理。此外，学生已经掌握了全等三角形的性质和判定，具备了初步的几何证明能力，这为从全等的角度探究平移的性质提供了知识储备。然而，将“运动变化”的观点融入几何研究，对学生而言仍是一种思维方式的挑战，需要精心设计的教学活动加以引导。

基于以上分析，本节课的教学核心在于：引导学生在丰富的现实情境与操作活动中，超越对平移现象的浅层感知，抽象出平移的数学定义；通过观察、测量、猜想、推理等多种探究方式，发现并证明平移的基本性质，从而构建起关于平移的完整、精确的数学认知结构，初步建立用运动变化的观点研究几何图形的方法。

二、教学目标

依据课程标准的要求，结合教材内容和学生实际，制定如下三维教学目标：

（一）知识与技能

1.通过具体实例的观察与操作，理解平移的概念，能识别现实生活和简单图形中的平移现象。

2.掌握平移的基本性质：“平移不改变图形的形状和大小”（即平移前后的图形全等），以及“对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等；对应线段平行（或在同一条直线上）且相等；对应角相等”。

3.能够根据平移的性质，在方格纸或无网格平面上，按要求（给定方向和距离）作出简单图形经过平移后的图形。

4.能运用平移的性质解决简单的计算和推理问题，并尝试用数学语言规范表述平移的过程与结论。

（二）过程与方法

1.经历从现实情境中抽象出数学概念的过程，发展抽象概括能力。

2.经历动手操作（如剪纸、拼图）、几何画板动态演示、小组合作探究等过程，积累图形变换的数学活动经验。

3.在探究平移性质的过程中，学习从特殊到一般、从实验猜测到逻辑证明的数学研究方法，体会“观察—猜想—验证—证明”的完整探究路径，提升几何推理能力。

（三）情感态度与价值观

1.感受平移变换在现实世界和数学学习中的普遍性与美，激发学习图形变换的兴趣。

2.在探究活动中，体验数学发现的乐趣，增强合作交流的意识，养成严谨求实的科学态度。

3.初步体会用运动变化的观点分析和解决问题的优越性，感悟数学的辩证思想。

三、教学重难点

（一）教学重点

平移的概念及其基本性质的理解与掌握。

（二）教学难点

1.平移性质的探索与证明，特别是从“整体移动”到“点与点对应关系”的思维转化。

2.在无网格背景中，根据平移的方向和距离准确作出平移后的图形。

3.平移性质的灵活运用，尤其是在较为复杂的图形背景下识别平移关系并进行推理。

四、教学准备

（一）教师准备

1.多媒体课件：包含丰富的平移现象图片或视频（如电梯运行、传送带运输、推拉门窗、滑雪运动员的轨迹、国旗升起等）；几何画板制作的动态平移演示（用于探究性质）；课堂例题与练习题。

2.教具：磁性黑板贴（可移动的三角形、四边形等几何图形）；直尺、三角板。

3.学案：包含探究活动记录表、分层练习题。

（二）学生准备

1.预习教材相关章节，观察生活中的平移现象。

2.学习用具：直尺、三角板、量角器、圆规、剪刀、半透明纸（或描图纸）、方格纸、普通白纸。

五、教学过程

（一）创设情境，激趣导入（预计时间：8分钟）

师：（播放一段约1分钟的短视频，内容为：工厂流水线上物品的直线移动、自动扶梯上乘客的移动、天空中飞机沿直线飞行留下的尾迹、计算机游戏中一个角色图案的平滑移动）同学们，请仔细观察视频中的运动，它们有什么共同的特征？

生1：物体都在移动。

生2：它们移动的时候，自身的形状和样子好像没有变。

生3：移动的路线看起来是直的。

师：大家观察得非常仔细！这些运动，物体在移动过程中，它的形状、大小没有发生变化，只是位置发生了改变，并且我们可以把它看成是沿着某一条直线路径在移动。在数学中，我们把这样的运动叫做“平移”。平移是我们生活中最常见的运动形式之一。那么，数学上如何精确地定义“平移”？平移前后，图形的点、线、角之间有怎样确定的关系？平移又有哪些重要的性质？这就是我们今天要深入探究的课题。

（设计意图：利用动态视频创设真实、丰富的情境，迅速唤醒学生的生活经验，引导他们发现平移现象的共性——形状大小不变，位置改变，沿直线方向移动。通过设问，自然引出课题，并明确本节课要解决的核心问题，激发学生的求知欲。）

（二）操作感知，概念生成（预计时间：12分钟）

活动一：动手操作，初步体验

1.请学生在课前准备的半透明纸（或描图纸）上任意画一个三角形ABC。

2.将半透明纸在固定位置的白纸上任意移动一次，然后沿着边缘将三角形ABC描在白纸上，得到三角形A’B’C’。

3.提出问题：

（1）移动前后，三角形ABC和三角形A’B’C’的形状和大小有什么关系？（重合验证，得出全等）

（2）你是如何保证三角形“整体”移动的？移动时需要注意什么？（引导学生思考：移动过程中图形不能旋转，也不能翻折，只能滑动。）

（3）如何描述这次移动？（学生可能说“往右下方移动了一点”，教师引导：需要更精确的描述——向哪个方向？移动了多远？）

活动二：模型抽象，形成定义

教师利用磁性黑板贴演示：将一个三角形板贴从黑板左侧平移到右侧。

师：为了精确描述这次平移，我们需要抓住哪些关键要素？

生：从哪儿到哪儿？怎么动的？

师：对，我们需要关注图形上每一个点的移动情况。请看（在黑板上标记原三角形的一个顶点A和平移后的对应点A’）。点A移动到了点A’，我们称点A’是点A的对应点。同样，点B对应点B’，点C对应点C’。那么，连接对应点A和A’的线段AA’，它有什么特征？

生：线段AA’指明了移动的方向，它的长度就是移动的距离。

师：那么，点B和它的对应点B’连成的线段BB’呢？它与AA’有什么关系？（引导学生用直尺和三角板测量、比较）通过测量，我们发现BB’与AA’平行且长度相等。实际上，图形上每一个点都和它的对应点有这样的关系。

师生共同归纳，形成平移的数学定义：

在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移不改变图形的形状和大小。

关键点强调：

1.“平面内”是前提。

2.“沿某个方向”和“移动一定的距离”是平移的两个要素，分别由“对应点连线的方向”和“长度”来刻画。

3.“不改变图形的形状和大小”是平移的结果，意味着平移前后的图形是全等形。

（设计意图：通过动手操作和教具演示，将模糊的生活感知转化为具体的数学活动。引导学生从“整体移动”的关注，转向对图形上“每一个点”移动情况的关注，这是理解平移数学本质的关键一步。通过层层设问，引导学生自己归纳出平移的定义和关键要素，实现概念的自主建构。）

（三）合作探究，发现性质（预计时间：18分钟）

我们已经知道平移前后的图形全等，这是平移的一个宏观性质。那么，从微观上看，平移前后图形的对应点、对应线段、对应角之间具体存在怎样的数量关系和位置关系呢？让我们通过探究来发现。

活动三：小组探究，猜想性质

探究任务：如图，三角形ABC经过平移得到三角形DEF。请以小组为单位，利用手中的工具（直尺、量角器、三角板）进行测量、比较和讨论，尽可能多地发现图中线段之间、角之间的关系。

（教师在黑板上或课件上呈现清晰的图形，或在学案上给出图形，图形中应明确标示对应点。建议使平移方向为非水平、非垂直的斜向，以增强一般性。）

学生分组活动，教师巡视指导。引导学生从以下几个方面观察：

1.连接各组对应点（如A与D，B与E，C与F），测量这些线段的长度，观察它们的位置关系（是否平行或在同一直线上）。

2.找出几组对应线段（如AB与DE，BC与EF，AC与DF），测量它们的长度，观察它们的位置关系。

3.找出几组对应角（如∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F），测量它们的度数。

各小组汇报探究成果，教师板书记录学生的猜想。

可能的猜想：

猜想1：连接对应点的线段平行且相等。（AD//BE//CF，且AD=BE=CF）

猜想2：对应线段平行且相等。（AB//DE,AB=DE；BC//EF,BC=EF；AC//DF,AC=DF）

猜想3：对应角相等。（∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F）

活动四：理性思考，证明性质

师：通过测量，我们得到了这些猜想。但测量总有误差，数学结论需要严密的逻辑证明。我们能否利用已经学过的知识来证明这些猜想呢？例如，要证明对应线段相等、对应角相等，我们可以借助什么？（全等三角形）

以“对应线段AB与DE平行且相等”为例，师生共同分析证明思路：

已知：三角形ABC平移得到三角形DEF。

求证：AB平行且等于DE。

分析：要证AB平行且等于DE，可以连接对应点A与D、B与E。若能证明四边形ABED是平行四边形，则结论成立。而要证明四边形ABED是平行四边形，目前可用的判定方法有哪些？（引导学生回忆：两组对边分别平行；两组对边分别相等；一组对边平行且相等）

结合平移的定义和已知条件，选择“一组对边平行且相等”来证明较为直接。

证明：连接AD、BE。

因为三角形ABC平移得到三角形DEF，

所以点A、B、C分别平移到点D、E、F。

根据平移的定义，有AD平行且等于BE。（这是由平移定义直接得到的结论：对应点连线平行且相等）

又因为点A、B分别平移到点D、E，所以线段AB平移到线段DE。

因此，AB平行且等于DE。（此处可详细解释：由于A、B、D、E四点满足AD平行且等于BE，且A、D、B、E的相对位置由平移固定，可推出AB平行且等于DE，或通过证明三角形全等来证）

同理，可证明其他对应线段平行且相等，对应角相等。

最终，师生共同归纳平移的基本性质：

一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等；对应线段平行（或在同一条直线上）且相等；对应角相等。

强调：“或在同一条直线上”是对应点连线或对应线段与平移方向共线时的特殊情况，不可遗漏。

（设计意图：本环节是突破教学难点的核心。首先通过小组合作、测量探究，让学生经历从具体数据中猜想一般结论的过程，培养合情推理能力。然后，引导学生将证明任务转化为已学的全等三角形和平行四边形的知识，经历从猜想到证明的完整数学探究过程，体会数学的严谨性。性质的证明过程，加深了学生对平移定义中“每一个点都沿同一方向移动相同距离”这一本质的理解。）

（四）应用迁移，掌握画法（预计时间：10分钟）

掌握了平移的性质，我们就可以更精确地进行平移作图。

例1：如图，经过平移，三角形ABC的顶点A移到了点D。

（1）指出平移的方向和距离。

（2）画出平移后的三角形。

教师引导学生分析：

问题（1）：平移方向由点A到点D的方向确定，平移距离是线段AD的长度。

问题（2）：方法一：根据“对应点连线平行且相等”。分别过点B、C作与AD平行且相等的线段BE、CF，连接D、E、F即可。

方法二：根据“对应线段平行且相等”。过点D作DE平行且等于AB，作DF平行且等于AC，连接EF即可。

教师在黑板上板演一种规范作法，强调作图工具（三角板和直尺配合推平行线）的使用和步骤的清晰性。学生模仿练习。

变式练习：在直线l外有一点A，将点A沿直线l平行的方向平移2cm到点A’。画出点A’。

（此练习旨在训练学生处理无网格、无具体图形背景下的平移作图，强化对平移方向和距离的理解。）

例2：如图，在长为30m，宽为20m的长方形场地内，修筑两条同样宽且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化。若道路的宽为1m，则绿化的面积是多少平方米？

引导学生思考：能否通过平移，将分散的绿化部分拼合在一起？让学生尝试在图上演示平移的想法（将左侧的绿化部分向右平移1m，将上方的绿化部分向下平移1m），从而将求不规则图形面积转化为求一个长方形的面积，轻而易举地解决问题：绿化面积=(30-1)×(20-1)=29×19=551(m²)。

教师总结：平移不仅是一种图形运动，也是一种重要的数学思想方法——转化思想。它可以把复杂、分散的问题变得简单、集中。

（设计意图：通过由易到难的例题，巩固平移性质的运用。例1聚焦于基本的平移作图技能，规范几何作图语言。变式练习提升抽象程度。例2则展现平移作为“转化思想”工具在解决实际问题中的巧妙应用，拓宽学生视野，体现数学的应用价值。）

（五）课堂小结，升华认知（预计时间：5分钟）

师：同学们，通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？请从知识、方法、思想等角度进行总结。

引导学生自主总结，可能涉及：

知识层面：理解了平移的数学定义（三要素：平面内、方向、距离；一结果：形状大小不变，即全等）。掌握了平移的基本性质（对应点连线、对应线段平行且相等；对应角相等）。学会了简单的平移作图。

方法层面：学习了从生活现象中抽象数学概念的方法。经历了“观察—操作—猜想—证明”的数学探究过程。体会了用平移进行图形转化来解决问题的方法。

思想层面：初步建立了用运动变化的观点研究图形的思想。感受了数学的严谨性与应用美。

教师进行补充和升华：平移，看似简单的“滑动”，背后却蕴含着丰富的数学规律。它是我们打开动态几何世界大门的第一把钥匙。希望同学们能用今天学到的眼光，去观察世界，发现更多图形运动的奥秘。

（六）分层作业，巩固拓展（预计时间：2分钟，布置作业）

A组（基础巩固）：

1.教科书习题3.1中相关的基础练习。

2.列举生活中5个平移现象的实例，并尝试用数学语言描述其中一个实例的平移过程（指出平移的要素）。

B组（能力提升）：

3.在方格纸中，将一个多边形进行两次不同方向、不同距离的连续平移，画出最终图形，并思考连续两次平移的结果是否可以用一次平移来实现？

4.一道几何证明题：利用平移的性质，证明“平移变换下，任意两条平行线被一组平行线（平移方向）所截得的对应线段相等”。

C组（探究拓展）：

查阅资料，了解平移变换在计算机图形学、动画设计、密码学等领域中的应用，写一篇200字左右的简要介绍。

（设计意图：设计分层作业，尊重学生个体差异，满足不同层次学生的发展需求。A组作业夯实基础，联系生活；B组作业深化理解，训练思维；C组作业开阔视野，激发兴趣，体现数学与其他学科的交叉融合。）

六、板书设计

（黑板左侧）

第三章图形的平移与旋转

§3.1图形的平移（第一课时）

一、平移的定义

在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离。

要素：方向、距离。

结果：不改变图形的形状和大小。（平移前后图形全等）

二、平移的性质

1.对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等。

∵△ABC平移得到△DEF

∴AA’//BB’//CC’，且AA’=BB’=CC’

2.对应线段平行（或在同一直线上）且相等。

∴AB//A’B’，AB=A’B’

3.对应角相等。

∴∠A=∠