初中数学七年级下册第五章《图形的轴对称》问题解决策略：转化 教学设计

初中数学七年级下册第五章《图形的轴对称》问题解决策略：转化教学设计

一、教学内容分析

（一）【基础】教材地位与作用

本章内容隶属于“图形与几何”领域，核心是研究图形的轴对称变换及其应用。本节课“问题解决策略：转化”并非孤立的新知讲授，而是在学生已经系统学习了轴对称的定义、性质，掌握了简单的轴对称图形（如线段、角）的基础上，针对如何运用这些知识解决复杂问题而专门设置的一节策略深化课。它位于章节的中间或末尾部分，起着承上启下的关键作用：一方面，它是对前序所学轴对称性质（对应点连线被对称轴垂直平分、对应线段相等、对应角相等）的综合运用与升华；另一方面，它为后续学习等腰三角形的“三线合一”性质、利用轴对称进行图案设计以及解决几何中的最值问题奠定了思想方法的基础。本节课将隐性的数学思想方法——转化，显性化为一套可操作的问题解决策略，旨在提升学生的数学核心素养，特别是几何直观、逻辑推理和模型观念。

（二）【重要】核心知识体系与要点罗列

本节课虽为策略课，但其根基在于对以下核心知识的综合运用与内化。学生必须对这些基础知识达到高度熟练的程度，才能在策略层面进行有效迁移。

1.【基础】轴对称图形与轴对称的概念：理解一个图形（或两个图形）关于某条直线对称的本质。

2.【基础】【高频考点】轴对称的基本性质：

a.成轴对称的两个图形全等。

b.【非常重要】对应点所连的线段被对称轴垂直平分。这是作图与推理的核心依据。

c.对应线段相等，对应角相等。

3.【基础】垂直平分线的定义与性质：垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线；垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

4.【基础】尺规作图：能作出一个点关于一条直线的对称点，能作出简单图形关于一条直线对称的图形。

（三）【热点】数学思想方法聚焦

本节课的灵魂是“转化”思想。具体在本章的语境下，转化主要体现在以下几个维度：

1.【重要】化“未知”为“已知”：将复杂的、不规则的图形问题，通过轴对称变换，转化为学生熟悉的、规则的、能用已有知识（如三角形全等、线段相等、角相等）解决的问题。

2.【非常重要】化“分散”为“集中”：利用轴对称的性质，将图形中分散但相关的条件（如几条线段、几个角）通过“搬动”（作对称点）到同一个基本图形（如一个三角形或一条直线上）中，使条件之间建立起直观的联系，从而发现解题路径。这是解决最短路径问题的核心思想。

3.化“抽象”为“直观”：通过动手操作（折纸）或几何画板演示，将抽象的几何推理转化为可视化的图形变换过程，帮助理解题意，寻找思路。

二、学情分析

（一）知识基础

学生已经掌握了轴对称的基本概念和性质，能够识别轴对称图形，并能进行简单的尺规作图，如作一个点的对称点。他们已经具备了一定的几何直观和初步的逻辑推理能力。然而，他们对轴对称性质的理解多停留在静态识别层面，缺乏主动运用“变换”的眼光动态处理几何问题的意识和经验。

（二）认知障碍与难点

1.【难点】策略意识的缺失：面对一个全新的几何问题时，学生往往不知从何下手，想不到可以“创造”一条对称轴来改变图形结构。他们习惯于直接从已知条件出发正向推导，缺乏逆向思维和变换视角。

2.【难点】如何“转化”的操作性困难：即使学生想到要用轴对称，但对于“为什么要作对称点？”、“应该以哪条线为对称轴？”、“作谁的对称点？”等关键操作性问题缺乏明确的判断依据，导致转化具有盲目性。

3.【难点】逻辑链条的构建：在利用轴对称将条件集中后，如何清晰地表述新的数量关系，并将其与所求结论连接起来，形成完整的推理链条，对学生而言也是一个挑战。

三、教学目标设计

基于核心素养导向，制定如下教学目标：

1.知识与技能：掌握利用轴对称的性质（特别是垂直平分线的性质）将分散的线段或角集中到一个图形中解决问题的基本策略。能识别并应用转化策略解决一类与线段和、差及最短路径相关的几何问题。

2.过程与方法：经历从具体问题出发，通过观察、操作、猜想、验证等数学活动，提炼“转化”策略的一般步骤的过程。在小组合作探究中，体会化分散为集中、化未知为已知的数学思想，提升几何直观和逻辑推理能力。

3.情感态度与价值观：在解决具有挑战性的问题的过程中，感受“转化”策略的巧妙与力量，激发探索欲望和数学学习的兴趣。通过对经典几何问题（如将军饮马）的探究，体会数学模型的普适性与简洁美。

四、教学重难点

1.【重要】教学重点：掌握利用轴对称变换将分散的条件集中到同一个图形中的转化策略。能够运用该策略解决简单的几何问题。

2.【难点】教学难点：理解并确定“在何处、以何线为轴、作何点的对称点”的思维过程，即如何根据问题情境创造性地应用转化策略。

五、教学方法与准备

1.教学方法：采用“问题驱动—自主探究—合作交流—归纳建模”的教学模式。结合启发式教学、小组合作学习法，并辅以多媒体（如几何画板）动态演示，直观展示图形变换的过程，突破教学难点。

2.教学准备：多媒体课件（含几何画板动画）、导学案（含探究问题与阶梯练习）、剪刀、方格纸、直尺、圆规。

六、教学实施过程

（一）创设情境，引入策略——感知“转化”的必要性

1.情境导入：教师利用多媒体展示一个实际问题：“如图，一位将军从营地A出发，先到一条笔直的河边l饮马，然后再返回营地B。请问，他应该选择在河边的哪个位置饮马，才能使所走的总路程最短？”（此为数学史上的经典问题“将军饮马”的简化版）。学生看到问题后，会感到新奇，但一时又难以找到明确的思路。教师提问：“你能将这个实际问题抽象成一个怎样的数学问题？”引导学生将其抽象为“在直线l上找一点P，使得PA+PB最小”。

2.认知冲突：教师追问：“点P是直线l上的一个动点，PA和PB是两条独立的线段，它们的长度都在变化。我们如何研究这两条变化的线段之和的最小值？能否将这两条线段‘搬到’一起，使它们变成一条连续的折线甚至是一条直线？”这个问题直接指向了本节课的核心策略——转化，引发了学生的认知冲突和学习动机。

3.揭示课题：教师总结：当直接解决问题遇到困难时，我们可以尝试改变问题的形式，将它转化为另一个更容易解决的问题。这就是数学中最重要的思想方法之一——转化。今天，我们就来专门研究在“图形的轴对称”这一章中，如何巧妙地运用轴对称的性质作为“工具”，实现问题的转化，从而找到解决复杂问题的金钥匙。由此引出并板书课题：【初中数学七年级下册第五章《图形的轴对称》问题解决策略：转化教学设计】。

（二）探究新知，建构模型——领悟“转化”的路径

1.【重要】任务驱动，小组合作：教师将学生分成若干小组，围绕“将军饮马”问题，发放导学案和学具（印有直线l和点A、B的方格纸）。提出探究任务：“请利用你所学的轴对称知识，尝试在直线l上找到那个神奇的点P。可以折一折、画一画，并在小组内交流你的想法和依据。”

2.操作感知，初步探索：学生开始在方格纸上进行探索。有的学生会尝试用测量的方法，取几个特殊点进行估算；有的学生会开始思考如何利用轴对称。教师巡视，关注学生的不同思路，特别是那些开始尝试“作对称”的小组，鼓励他们展示想法。

3.【非常重要】思路点拨，揭示核心：教师请有初步想法的小组代表上台展示。例如，有学生可能会想到：作点A关于直线l的对称点A‘。教师抓住这个关键操作，利用几何画板进行同步演示，并追问：“为什么想到作点A的对称点A’？作完对称点之后，你发现了什么？”

引导学生回答：根据轴对称的性质，直线l垂直平分AA‘，因此，对于直线l上的任意一点P，都有PA=PA’。于是，原来求PA+PB的最小值问题，就神奇地转化为了求PA’+PB的最小值问题。

4.动态验证，形成模型：教师继续用几何画板演示，拖动点P在l上运动，让学生观察PA‘+PB的长度变化。学生清晰地看到，当点P运动到使A’、P、B三点共线时，A‘P+PB最短（根据“两点之间，线段最短”）。此时，点P的位置就是A’B与直线l的交点。

5.归纳总结，提炼策略：引导学生回顾整个探究过程，总结出利用轴对称解决最短路径问题的基本策略模型：

a.【基础】定目标：求直线同侧两定点到直线上某动点距离和的最小值。

b.【核心】作对称：选取其中一个定点（或两个），作出它关于这条直线的对称点。（转化条件：利用对称性质将同侧线段转化为异侧线段，实现“化折为直”的铺垫）

c.【关键】连线段：连接所作对称点与另一个定点，得到一条线段。

d.【结论】找交点：该线段与直线的交点即为所求的动点位置。其依据是“两点之间，线段最短”。

e.教师强调：这里转化的“桥梁”就是轴对称的性质，它将无法直接使用的“折线”问题，转化为了可以度量的“直线”问题。

（三）变式训练，深化理解——拓展“转化”的应用

为了让学生更深刻地理解“转化”策略的灵活性，而不仅仅是记住“将军饮马”这一个模型，教师设计一组由浅入深的变式练习。

1.【基础】变式一：图形内部的转化

问题：如图，在锐角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D。M、N分别是AD和AB上的动点，求BM+MN的最小值。

探究引导：教师提问：“这道题和刚才的将军饮马问题有什么异同？我们的转化目标是什么？”引导学生发现，目标是求两个动点M、N与定点B构成的折线段之和的最小值。这里的“河”相当于AD（因为M在AD上运动），而N是AB上的动点，使得问题更复杂。

策略分析：

a.【重要】确定“河”：直线AD是动点M所在的线，可以视为“河”。

b.转化操作：求BM+MN最小，N在AB上，M在AD上。可考虑作定点B关于“河”AD的对称点B‘。根据角平分线的性质，因为AD平分∠BAC，所以AB关于AD的对称图形是AC。因此，B’一定落在AC上，且AB‘=AB=4。于是，BM=B’M。问题转化为求B‘M+MN的最小值。

c.【非常重要】二次转化：此时，M、N均为动点。B’是定点，M在AD上，N在AB上。B‘M+MN的最小值，就是求定点B’到AB上各点的连线中，垂线段最短。即过B‘作B’N⊥AB于点N，此时B‘N的长度即为B’M+MN的最小值（当M为B‘N与AD的交点时取到）。

d.计算求解：在Rt△AB’N中，∠B‘AN=∠BAC=45°，AB’=4，故B‘N=AB’×sin45°=4×(√2/2)=2√2。

教师小结：这道题通过两次转化（一次轴对称，一次垂线段），将复杂问题逐步降解。关键是识别出“河”和“岸”，并清楚我们要将哪条线段搬到哪里去。

2.【难点】变式二：涉及差的转化

问题：如图，在直线l上找一点P，使得|PA-PB|的值最大。

探究引导：教师启发学生逆向思考。“刚才我们利用轴对称将线段和转化为一条直线。现在要求差的绝对值最大，我们能否也利用轴对称，将两条线段之差转化为某一条线段的长度？”

小组讨论：学生可能会类比和的处理方式，尝试作对称点。引导学生分析，|PA-PB|的最大值，在三角形PAB中，根据三边关系，|PA-PB|<AB。当P、A、B三点共线时，|PA-PB|=AB。但这个共线是在直线l上吗？不一定。

策略分析：

a.情况讨论：如果A、B在直线l异侧，则连接AB并延长交l于P，此时|PA-PB|=AB为最大。

b.【核心】如果A、B在直线l同侧（最常见情况），为了构造三点共线，必须将其中一个点变换到直线的另一侧。可作点B关于直线l的对称点B‘，则对于直线l上任一点P，总有PB=PB’。因此，|PA-PB|=|PA-PB‘|。问题转化为在直线l上找一点P，使得|PA-PB’|最大。

c.此时，A和B‘在直线l异侧，连接AB’并延长，其与l的交点即为所求。此时|PA-PB‘|的最大值等于AB’。

教师强调：无论是求“和”的最小值还是求“差”的最大值，轴对称都扮演了“搬运工”的角色，它的目标是调整点的相对位置（同侧或异侧），以便利用三角形三边关系这一基本事实。

3.【热点】变式三：实际应用中的转化

问题：如图，村庄A、B位于一条河的两岸（河岸线近似平行，设为l1和l2）。现要在河上垂直河岸建一座桥MN（M在l1上，N在l2上），问桥建在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？

探究引导：这个问题较“将军饮马”更进一层。教师引导学生分析路径A-M-N-B，其中MN是垂直于河岸的定长（河宽）。因此，AM+MN+NB=MN+(AM+NB)。MN为定值，所以问题转化为求AM+NB的最小值。

a.【重要】转化难点：A和B位于两条平行线异侧，但M和N的连线又必须垂直于河岸，M和N是关联的动点。如何将这两条线段拉到一起？

b.策略建模：教师启发学生类比“将军饮马”的思想。如果河宽为零，A和B在一条直线上，直接连起来就行。河宽的存在相当于在A到B的路径中插入了一段固定的平移。因此，可以先将点A沿垂直于河岸的方向向下平移一个河宽的距离到A‘（或者将B向上平移），使得AA’=MN，且AA‘∥MN。这样，A’和B就处于同一“岸”了。

c.问题转化：此时，路径A-M-N-B就转化为了A-A‘-N-B，其中A-A’是固定的平移距离。而A‘到B的最短路径就是线段A’B。当A‘、N、B三点共线时，A’N+NB最小，且此时A‘N=AM。因此，连接A’B，交l2于点N，过N作MN⊥l2交l1于点M，则M、N即为桥址。

教师总结：此题的关键在于通过“平移”变换，将定长线段“消耗”掉，从而将问题转化为我们熟悉的“两点之间线段最短”模型。这启示我们，转化的工具不仅仅是轴对称，也可以是平移、旋转等，它们都是我们重组图形条件的有力武器。

（四）课堂练习，巩固提升——内化“转化”的思维

学生独立完成导学案上的分层练习题。

1.【基础】如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为多少？

（评析：本题是“将军饮马”模型在正方形中的应用，AC是对角线即对称轴，关键是找到点D或M关于AC的对称点。）

2.【重要】如图，在平面直角坐标系中，点A(-2,4)，B(4,2)，在x轴上找一点P，使AP+BP最小，并求出点P的坐标。

（评析：将几何问题与坐标系结合，既考查了对称点的坐标规律，又巩固了转化策略，是【高频考点】。）

（五）课堂小结，升华认识——构建“转化”的体系

教师引导学生从以下几个维度进行总结：

1.知识层面：今天我们主要学习了如何利用轴对称的性质（特别是垂直平分线的性质）来解决一类与线段和最值相关的几何问题。

2.【非常重要】策略层面：

a.什么是转化？转化就是把未知的、复杂的、不规则的问题变成已知的、简单的、规则的问题来解决。

b.为什么能用轴对称转化？因为轴对称能“搬动”图形，保持线段和角的大小不变，从而改变图形的位置关系，使分散的条件集中起来。

c.怎么用轴对称转化？（回顾三步走）明确目标（和最小或